淺談反函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 王金玲

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 王金玲

反函數(shù)是函數(shù)一章的重點(diǎn)，它的性質(zhì)如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖像的對稱性等常被作為高考考查的重點(diǎn)，本文總結(jié)了反函數(shù)的幾個(gè)常用性質(zhì)，記住它們可以直接解決反函數(shù)的一些常見問題，從而避免復(fù)雜的運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果.

若函數(shù)y=（fx）（x∈A，y∈C）存在反函數(shù)y=f-（1x），則有下列性質(zhì)：

①y=f-1（x）與y=f（x）的定義域與值域互換；

②y=f（x）?x=f-1（y）（x∈A，y∈C）；

③y=f-1（x）與y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱（而不是y=f（x）與?x=f-1（y）的圖像關(guān)于直線y=x對稱）；

④函數(shù)y=f（x）（x∈A，y∈C）的圖像關(guān)于直線y=x對稱的充分必要條件是f-1（x）=f（x）；

⑤若函數(shù)y=f（x）（x∈A）為單調(diào)函數(shù)，則y=f-1（x）（x∈C）也是單調(diào)函數(shù)且單調(diào)性一致，即原函數(shù)與反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；

⑥若函數(shù)y=f（x）（x∈A）為奇函數(shù)，則y=f-1（x）（x∈C）也是奇函數(shù)（注意偶函數(shù)是沒有反函數(shù)的）；

⑦f-1［f（x）］=x（x∈A，A為定義域），f［f-1（x）］=x（x∈C，C為值域）；

⑧若y=f-1（x）與y=f（x）的圖像有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線y=x上或交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱；

⑨若函數(shù)y=f（x）（x∈A）為增函數(shù)，則y=f（x）與其反函數(shù)的圖像的交點(diǎn)必在直線y=x上；

⑩（a，b）在y=f（x）的圖像上?（b，a）在y=f-1（x）的圖像上.

例1（2007年高考天津）函數(shù)y=log2（x+4）（x＞0）的反函數(shù)是_________.

解：先求原函數(shù)的值域，它就是反函數(shù)的定義域，由x＞0得x+4＞4.

則y=log2（x+4）＞log24=2，原函數(shù)的值域是（2，+∞），它就是反函數(shù)的定義域，再由原式解出x=2y－4，反函數(shù)為f-1（x）=2x－4（x＞2）.

例2 （2008年高考重慶）設(shè)P（3，1）為二次函數(shù)f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）的圖像與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像的一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）.

解：因P（3，1）在反函數(shù)圖像上，由性質(zhì)⑩得P′（1，3）在原函數(shù)圖像上，又已知P（3，1）也在原函數(shù)圖像上，將P（3，1）和P′（1，3）分別代入f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）中，得

故選C.

此解法避免了求反函數(shù)的繁瑣過程，既靈活又簡練.

解：y=f（x）的圖像為雙曲線，顯然其對稱中心為P（－a，1），則其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像的對稱中心為P′（1，－a）.

又函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，由性質(zhì)④可知f（x）=f-1（x）.

則P與P′也重合，－a=1，即a=－1.

分析：由題意知，只需求出y=f-1（x+1），進(jìn)而求出y=g（x），可求得g（5）的值.

結(jié)論錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪兒呢？ 我們知道y=f（x）與y=f-1（x）互為反函數(shù)，但y=f（x+1）與y=f-1（x+1）則不互為反函數(shù)，對這點(diǎn)一定要理解.

實(shí)際上，可以這樣求：由y=f（x+1）兩邊用f作用得x+1=f-1（y）即x=f-1（y）-1.

故y=f（x+1）的反函數(shù)是y=f-1（x）-1.

（2）正是由于（1）的方法，我們可以給出本題的另一個(gè)更好的解法.由y=f-1（x+1）兩邊用f作用得x+1=f（y），則x=f（y）－1，故y=g（x）=f（x）-1.