俞芳 由守科 楊紅梅 秦麗華

(1．昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系新疆昌吉831100; 2．新疆大學(xué)數(shù)學(xué)系新疆烏魯木齊830046; 3．昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院新疆昌吉831100)

具有不同時間尺度的分布時滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性

俞芳1由守科2楊紅梅1秦麗華3

(1．昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系新疆昌吉831100; 2．新疆大學(xué)數(shù)學(xué)系新疆烏魯木齊830046; 3．昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院新疆昌吉831100)

運(yùn)用分析方法結(jié)合微分不等式技巧研究了具有不同時間尺度的分布時滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性，并取得了其指數(shù)穩(wěn)定性的一個充分條件。

競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);分布時滯;時間尺度;全局指數(shù)穩(wěn)定性

引言

競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它模擬生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)依賴神經(jīng)元之間的興奮、協(xié)調(diào)、抑制、競爭的方式進(jìn)行信息處理［1－2］。具有不同時間尺度的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種特殊的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有兩類神經(jīng)元:一類是短期記憶神經(jīng)元(STM)，一類是長期神經(jīng)元(LTM)，在不同類型的神經(jīng)元中有不同的時間尺度［3－5］。從生物神經(jīng)系統(tǒng)來看，人的大腦時刻處在周期和混沌狀態(tài)，因此對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性研究十分有意義。近年來，對于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性的研究已經(jīng)取得了較豐富的結(jié)果［6－9］，但對具有不同時間尺度的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究相對較少。文獻(xiàn)［10］研究了帶有時間變量和分布時滯的多時間刻度的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性，該文獻(xiàn)主要側(cè)重于研究該系統(tǒng)有唯一的平衡點(diǎn)。本文將研究具有不同時間尺度的分布時滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性，推廣了文獻(xiàn)［10］的工作。

1 預(yù)備知識

考慮如下的具有時滯與分布時滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

我們作如下假設(shè):

(H1)函數(shù)αi(x)為連續(xù)與單調(diào)增的，即存在一個正對角矩陣A=diag(a1，a2，…，aN)，使得對所有x≠y，i=1，2，…，N，有

(H2)函數(shù)fi(x)滿足Lipschitz條件，即存在一個正對角矩陣K=diag(k1，k2，…，kN)，使得對所有x，y∈R，i=1，2，…，N，有

系統(tǒng)(1)的初始條件為如下形式:

為了方便起見，下面介紹兩種范數(shù)

對于任意的u(t)=(u1(t)，u2(t)，…，uN(t))T∈RN，定義范數(shù)如下:

對于任意的φ(s)=(φ1(s)，φ2(s)，…，φN(s))T∈RN，s∈(－∞，0］定義范數(shù)如下:

定義1．對于系統(tǒng)(1)，如果存在正常數(shù)M及α，使得對?t＞0有下式成立

則系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)(x1*，x2*，…，x*N，S1*，…，S*N)T為全局指數(shù)穩(wěn)定的，其中α為收斂率．

引理1［11］令a，b≥0，s≥1，則有as－1

引理2［12］令a，b≥0，p≥q＞0，則有

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)條件(H1)—(H3)成立，且滿足下列條件:

則系統(tǒng)(1)為全局指數(shù)穩(wěn)定的．

證明:從文獻(xiàn)［10］，我們易知系統(tǒng)(1)有唯一的平衡點(diǎn)(x*1，x*2，…，x*N，S*1，…，S*N)T，

令(x1(t)，x2(t)，…，xN(t)，S1(t)，…，SN(t))T為系統(tǒng)(1)的任意解，則有:

由定理1的條件，我們考慮如下函數(shù):

由式(9)及假設(shè)(H3)，我們可選取一個非常小的正數(shù)，使得

利用(7)式、(11)式以及假設(shè)(H1)—(H3)，我們?nèi)〉猛砜勺C:假設(shè)(16)式不成立，不失一般性，則存在某個i0和t*＞0，使得

其中，由(18)式及引理2，可得到對所有t＞0，有下式

成立．

由定義1知，系統(tǒng)(1)全局指數(shù)穩(wěn)定的．

推論1．假設(shè)條件(H1)—(H3)成立，且滿足下列條件:

則系統(tǒng)(1)為全局指數(shù)穩(wěn)定的．

證明:取定理1中的p=q=1，則(6)式變?yōu)?19)式，結(jié)論成立。

［1］王林山．時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［M］．北京:科學(xué)出版社，2008．

［2］楊建剛．人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)用教程［M］．杭州:杭州大學(xué)出版社，1995．

［3］A．Meyer－Basese，S．S．Pilyugin，Y．Chen．Global exponential stability of competitive neural networks with different time scales［J］．IEEE Trans．Neural Networks，2003，14:716－719．

［4］H．T．Lu，Z．He．Global exponential stability of delayed competitive neural networks with different time scales［J］．Neural Networks，2005，18:243－250．

［5］H．Lu，A．Shun－ichi．Global exponential stability of multitime scale competitive

neural networks with nonsmooth functions［J］．IEEE Trans:Neural Networks，2006，17(5):1152－11646．

［6］Qiu J．Exponential stability of impulsive neural networks with time－varying delays and reaction－diffusion terms．Neurocomputing 70(2007):1102－1108．

［7］J．G．Lu．Global exponential stability and periodicity of reaction－diffusion delayed recurrent neural networks with Dirichlet boundary conditions．Chaos，Solitions and Fractals，35(2008):116－125．

［8］桂江生，應(yīng)義斌．混沌理論及其在建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的應(yīng)用［J］．生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，20(4):463－468．

［9］趙洪涌，王廣蘭．具有變時滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解存在性與全局吸引性［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，2004，24 (6):732－729．

［10］［11］［12］Yu Fang，Jiang Haijun，Teng Zhidong．Exponential stability of multitime scale competitive neural networks with time－varyng and distributed delays［J］．新疆大學(xué)學(xué)報，2010，27(2):156－163．

(責(zé)任編輯:馬海燕)

O175．13

A

1671－6469(2012)02－0081－05

2012－02－28

昌吉學(xué)院院級科研課題(2010YJYB008)

俞芳(1982－)，女，山東煙臺市人，昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，助教，研究方向:常微分方程及其應(yīng)用。