裴 榮，王曉鳴，高旭東，于紀(jì)言

(1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，210094南京;2.南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，210094南京)

石英振梁加速度計(jì)是一種把力敏石英振動(dòng)梁作為敏感元件，能直接數(shù)字輸出的加速度計(jì).其輸出頻率完全可以由數(shù)字電路處理，不再有因模數(shù)轉(zhuǎn)換帶來(lái)的速度增量誤差，能與高速數(shù)字導(dǎo)航系統(tǒng)兼容，具有精度高、成本低、體積小的特點(diǎn)，在中高精度領(lǐng)域諸如重力測(cè)量學(xué)、巡航導(dǎo)彈、自主水下導(dǎo)航、石油鉆井等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用前景.雙端調(diào)諧音叉石英諧振器是石英振梁高精度加速度計(jì)的關(guān)鍵部件，目前，高精度的石英振梁加速度計(jì)的研究還處于實(shí)驗(yàn)和探索階段，大部分工作圍繞在它的工作機(jī)理、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和加工工藝等研究上［1-4］.關(guān)鍵部件正確的振動(dòng)模式與合理的結(jié)構(gòu)尺寸是保證該加速度計(jì)優(yōu)良性能的重要條件，因此需要根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論，建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)各參量，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理細(xì)致的優(yōu)化.

1 優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型

1.1 雙端固定音叉的結(jié)構(gòu)

目前，石英諧振器結(jié)構(gòu)有單音叉式和雙音叉式兩種類型［5-6］.雙音叉式結(jié)構(gòu)可以抵消常值干擾誤差，大大減弱溫度對(duì)測(cè)量精度的影響，測(cè)量精度較高.同時(shí)，雙音叉結(jié)構(gòu)為石英諧振器內(nèi)部提供了動(dòng)態(tài)平衡，省掉了典型單音叉諧振器的笨重隔離系統(tǒng)，使諧振器體積減小，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，從而降低了制造成本.

本文以圖1所示的雙音叉式石英諧振器為研究對(duì)象進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).

圖1 雙端固定音叉石英諧振器

1.2 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)前，必須指定設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù).

設(shè)計(jì)變量可以用一個(gè)列向量表示:

該式稱作設(shè)計(jì)變量向量，其中x表示設(shè)計(jì)變量.

一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某種設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱為約束，狀態(tài)變量就是設(shè)計(jì)要求滿足的約束條件，它們是設(shè)計(jì)變量的函數(shù).約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系;有的則只能表示成隱式形式，需要通過(guò)有限元法或動(dòng)力學(xué)計(jì)算求得.約束從數(shù)學(xué)上可分為等式約束h)=0和不等式約束h()≤0.

目標(biāo)函數(shù)f(~x)是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)，它是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)總是使目標(biāo)函數(shù)最小化.因此，在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化問題可以表示成一般的數(shù)學(xué)形式:求設(shè)計(jì)變量

使f)→min，且滿足約束條件:

2 諧振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

軸向力F作用下引起的石英諧振器輸出頻率為［7］

式中，

其中:F表示沿長(zhǎng)度方向加在雙端石英音叉諧振器上的外力，單位N;f表示雙端石英音叉橫向彎曲振動(dòng)的固有頻率，單位Hz;ρ表示雙端石英音叉材料的密度，單位kg/m3;l表示單個(gè)音叉臂的長(zhǎng)度，單位m;w表示單個(gè)音叉臂的寬度，單位m;b表示單個(gè)音叉臂的厚度，單位m;s表示石英材料的彈性柔順常數(shù)，單位m2/N.

從式(1)可以看出，根據(jù)石英諧振器數(shù)學(xué)模型和預(yù)期工作頻率，只能得到石英諧振器單個(gè)音叉的長(zhǎng)、寬尺寸，而音叉厚度、雙音叉間距和固定塊長(zhǎng)度無(wú)法確定［7-8］.為了獲得這些參數(shù)，可以通過(guò)建立石英諧振器的力學(xué)模型進(jìn)行有限元計(jì)算，采用基于有限元方法的優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到滿足性能要求的尺寸.

2.1 參量設(shè)計(jì)

2.1.1 設(shè)計(jì)變量

針對(duì)圖2，依據(jù)石英振梁的加工工藝和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，音叉厚度、雙音叉間距和固定塊長(zhǎng)度依次尺寸要求為

式中:B、T、L分別為加速度計(jì)上的音叉厚度、雙音叉間距和固定塊長(zhǎng)度;B1、B2、T1、T2、L1，L2分別為設(shè)計(jì)要求的音叉最小、最大厚度、雙音叉最小、最大間距、雙音叉固定塊最小、最大長(zhǎng)度.

圖2 雙端固定音叉結(jié)構(gòu)示意圖

2.1 .2狀態(tài)變量

1)邊界條件約束.在設(shè)計(jì)振梁加速度計(jì)時(shí)，綜合考慮石英器件加工工藝和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，將結(jié)構(gòu)的主要部分如:結(jié)構(gòu)厚度、音叉的寬度、長(zhǎng)度等限制在一定的范圍內(nèi).這不僅使設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)更具有可行性，同時(shí)也可減少優(yōu)化計(jì)算的計(jì)算量，提高計(jì)算效率.

2)函數(shù)約束.以石英振梁加度計(jì)的一些性能指標(biāo)作為約束條件.

①總體尺寸.按照加工工藝與安裝要求，加速度計(jì)局部尺寸要合理安排與限制.

②耐沖擊.加速度計(jì)工作時(shí)會(huì)受到一定的沖擊，在此沖擊力的作用下，諧振器應(yīng)該是安全的，即其最大拉應(yīng)力σmax不大于許用應(yīng)力［σ］.

③工作模態(tài).石英諧振器的工作振型應(yīng)該是在寬度方向完全對(duì)稱振動(dòng).

④振動(dòng)基頻約束.選擇理論諧振頻率為40 kHz，用有限元方法分析了石英振梁加速度計(jì)的模態(tài)振型和諧響應(yīng)，得到其固有頻率為39.6 kHz［8］.依據(jù)這個(gè)結(jié)果，對(duì)振動(dòng)基頻要求為

⑤ 敏感加速度的頻率輸出.頻率輸出受振動(dòng)基頻影響，考慮到測(cè)量范圍，設(shè)計(jì)目標(biāo)在基頻10%左右，即

式中:fW為諧振器敏感外界加速度的振動(dòng)頻率輸出.

前期設(shè)計(jì)的石英諧振器切型是5°［7］，其使用頻率范圍是2～50 kHz［4］，因此fW的制定既滿足了加速度計(jì)的測(cè)量范圍和標(biāo)度因數(shù)提升的空間，又保證了石英諧振器合理的工作模態(tài).

2.1.3 目標(biāo)函數(shù)

加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)是指其輸出頻率和輸入加速度的比值，是加速度計(jì)的重要設(shè)計(jì)指標(biāo).為了通過(guò)各結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化標(biāo)度因數(shù)，選擇單個(gè)石英擺片的標(biāo)度因數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，找出其最大值，表達(dá)式為

式中K為標(biāo)度因數(shù)，通過(guò)仿真得到加速度計(jì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化前的標(biāo)度因數(shù)值是52 Hz/g.

2.2 優(yōu)化方法

運(yùn)用ANSYS中的APDL參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言將ANSYS中的有限元分析模塊同優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)完整的參數(shù)化建模、有限元分析、參數(shù)靈敏度分析和優(yōu)化設(shè)計(jì).ANSYS程序提供了兩種優(yōu)化方法:零階法和梯度尋優(yōu)法［9-10］.

1)零階方法(直接法)是一種通用的函數(shù)逼進(jìn)優(yōu)化方法，不容易陷入局部極值點(diǎn)，消耗的機(jī)時(shí)較少，但優(yōu)化精度不高，因此多用作粗優(yōu)化的手段.

2)梯度尋優(yōu)法使用偏導(dǎo)數(shù)，即使用因變量的一階偏導(dǎo)數(shù).該方法是針對(duì)第一種優(yōu)化方法的缺點(diǎn)而改進(jìn)的方法.如果第一種方法是C0階、大范圍普適的粗優(yōu)化方法，那么第二種方法就是C1階、局部尋優(yōu)的精優(yōu)化方法.

因此，利用零階方法進(jìn)行粗優(yōu)化，初步確定最優(yōu)解的基本位置，在此范圍內(nèi)利用一階方法進(jìn)行精確優(yōu)化，從而確定更精確的解.

2.3 優(yōu)化結(jié)果

采用零階方法優(yōu)化的結(jié)果如圖3.在雙音叉間距(T)和標(biāo)度因數(shù)的優(yōu)化曲線中，在T=2×10-4m左右時(shí)，標(biāo)度因數(shù)(E)值雖然大，但是由于過(guò)小的雙音叉間距會(huì)不利于激勵(lì)電極的涂敷.在T=3.7×10-4m左右時(shí)，標(biāo)度因數(shù)值不穩(wěn)定，T從4.5×10-4m開始，標(biāo)度因數(shù)值穩(wěn)定且處于增長(zhǎng)趨勢(shì).圖4是雙音叉固定塊長(zhǎng)度(L)和標(biāo)度因數(shù)的優(yōu)化曲線.可以看出，當(dāng)L=7.2×10-4m及L=1.0×10-3m時(shí)，標(biāo)度因數(shù)值達(dá)到兩個(gè)峰值.從圖5可以看出，綜合考慮雙音叉間距和固定塊長(zhǎng)度的改變對(duì)標(biāo)度因數(shù)值的影響，選定T=4.5×10-4m、L=1.0×10-3m，此時(shí)對(duì)應(yīng)的音叉厚度為2.2×10-4m左右.

圖3 雙音叉間距和標(biāo)度因數(shù)的關(guān)系

圖4 固定塊長(zhǎng)度和標(biāo)度因數(shù)的關(guān)系

圖5 音叉厚度和雙音叉間距、固定塊長(zhǎng)度的關(guān)系

采用梯度尋優(yōu)法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步細(xì)致優(yōu)化，結(jié)果如圖6，達(dá)到峰值點(diǎn)的位置在T=458 μm左右，圖7中在L=1.01×10-3m左右.圖8為三條曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系綜合考慮，可以看出，此時(shí)音叉厚度值應(yīng)為2.16×10-4m左右.在得到的15組優(yōu)化序列中，第5組為最優(yōu)組合，因此對(duì)石英諧振器優(yōu)化后的結(jié)果見表1.

圖6 雙音叉間距和標(biāo)度因數(shù)的關(guān)系(梯度法)

圖7 固定塊長(zhǎng)度和標(biāo)度因數(shù)的關(guān)系(梯度法)

圖8 音叉厚度和雙音叉間距、固定塊長(zhǎng)度的關(guān)系(梯度法)

表1 優(yōu)化序列中的最優(yōu)組合

加速度計(jì)的高靈敏度，使得尺寸的微小變化都會(huì)影響到輸出，結(jié)合實(shí)際加工尺寸要求，對(duì)前3個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了專門的四組分析，結(jié)果見表2.取最優(yōu)分析為第3組.3個(gè)變量?jī)?yōu)化結(jié)果為:音叉厚度0.21 mm，雙音叉間距0.45 mm，固定塊長(zhǎng)度1 mm.

表2 設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化結(jié)果

3 結(jié)論

1)對(duì)石英振梁加速度計(jì)中的關(guān)鍵部件進(jìn)行了優(yōu)化，從優(yōu)化設(shè)計(jì)的角度給出了設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建出結(jié)構(gòu)隱式約束函數(shù)，揭示了各設(shè)計(jì)變量的變化規(guī)律及影響.

2)優(yōu)化后，標(biāo)度因數(shù)從52 Hz/g提高到60.5 Hz/g，提高了16%，這對(duì)提高加速度計(jì)的穩(wěn)定性、靈敏度等性能，縮短石英振梁加速度計(jì)的研制周期都具有重要理論意義和實(shí)用價(jià)值.優(yōu)化后結(jié)構(gòu)尺寸比較合理，滿足了設(shè)計(jì)目標(biāo).

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