李洪發(fā)

分段三次Hermite插值的同時(shí)逼近

李洪發(fā)

（天津師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，天津300387）

討論基于等距節(jié)點(diǎn)的分段三次Hermite插值的同時(shí)逼近，給出了相應(yīng)量的收斂估計(jì)．

分段三次Hermite插值；同時(shí)逼近；誤差估計(jì)；等距節(jié)點(diǎn)

分段三次Hermite插值是函數(shù)擬合的基本方法，在基礎(chǔ)研究和工程技術(shù)中有著非常重要的應(yīng)用［1－3］．光滑函數(shù)的同時(shí)逼近問(wèn)題是逼近理論研究的重要課題，并且在工程問(wèn)題中有著重要的實(shí)際意義，文獻(xiàn)［4－6］討論了多項(xiàng)式插值的同時(shí)逼近問(wèn)題，本研究討論分段三次Hermite插值的同時(shí)逼近問(wèn)題．

若f（x）∈C（1）［a，b］，a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，則存在唯一的分段插值函數(shù)In（x），滿足條件

1）In（x）∈C（1）［a，b］；

2）In（xk）＝f（xk），I′n（xk）＝f′（xk），k＝0，…，n；

3）In（x）在每個(gè)小區(qū)間［xk，xk＋1］上是關(guān)于x的三次代數(shù)多項(xiàng)式．稱（x）為f（x）的基于結(jié)點(diǎn)組，k＝0，…，n的分段三次Hermite插值．若［a，b］＝［0，1］，x＝，k＝k0，1，…，n，則In（x）記為Hn（f，x），

其中：

本研究得到：

定理 若f（x）∈C（2）［a，b］，則有

證明 由式（1）～式（3）可知，若x∈［xk－1，xk］，則

對(duì)式（8）兩邊求二階導(dǎo)數(shù)，整理可得

利用積分交換順序可得

類似地有

將式（10）和式（11）代入式（9），整理可得

直接計(jì)算可檢驗(yàn)

由式（12）和式（13）可得

由于當(dāng)s，x∈［0，h］時(shí)，｜f″（s）－f″（x）｜≤ω（f，h），因此

直接計(jì)算得

由式（16）可得

由式（15）和式（17）可得

類似于式（15）的證明可得

由式（17）和式（18）可得式（4）．

對(duì)于x∈［xk，xk＋h／2］，由分段函數(shù)滿足的條件2）可得

對(duì)于x∈［xk＋h／2，xk＋1］，同樣可得

由式（19）和式（20）以及式（4）可得到式（5）．

對(duì)于x∈［xk，xk＋h／2］，由分段函數(shù)滿足的條件2）可得

對(duì)于x∈［xk＋h／2，xk＋1］，由分段函數(shù)滿足的條件1）可得

由式（21）和式（22）以及式（5）可得到式（6）．

［1］ 張文強(qiáng)，楊耀民，許珉．基于三次樣條函數(shù)的加Rife－Vincent（Ⅲ）窗FFT插值算法［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2009，12：36－39．

［2］ 王東，陶躍珍．基于Matlab三次樣條插值的連桿機(jī)構(gòu)軌跡再現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］．機(jī)械傳動(dòng)，2011，35（1）：38－41．

［3］ GAO G H，WANG T K．Cubic superconvergent finite volume element method for one－dimensional elliptic and parabolic equations［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，233：2285－2301．

［4］ VERTESI P，XU Y．Mean convergence of Hermite interpolation revisited［J］．Acta Math Hungar，1995，69（2）：185－210．

［5］ KIGORE T．An elementary simultaneous polynomials［J］．Proc Amer Math Soc，1993，118：529－536．

［6］ 許貴橋．插值多項(xiàng)式在一重積分Wiener空間下的同時(shí)逼近平均誤差［J］．中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（5）：407－426．

（責(zé)任編校 馬新光）

Simultaneous approximation of piecewise cubic Hermite interpolation

LI Hong－fa
（College of Politics and Public Adminstration，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The simultaneous approximation of the piecewise cubic Hermite interpolation based on the equidistant nodes is discussed．The convergence rate is given．

piecewise cubic Hermite interpolation；simultaneous approximation；error estimate；equidistant nodes

book=2012,ebook=32

O174．41

A

1671－1114（2012）02－0038－03

2011－09－25

李洪發(fā)（1963－），男，講師，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)軟件方面的研究．