劉小寧

（武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 湖北 武漢：430205）

利用初等方法解決數(shù)學(xué)問題有時具有尖、深的特點(diǎn)［1－3］和取得意想不到的結(jié)果，文中利用復(fù)數(shù)棣莫弗定理等初等數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)得到了幾個不常見的三角多倍角公式，可供有關(guān)人員在教學(xué)與科研時參考。

1 三角多倍角公式

設(shè)n為正整數(shù)，則存在如下三角多倍角公式：

式（1）－（8）在有關(guān)的數(shù)學(xué)手冊［4－5］及三角書籍［6］不常見。

2 引 理

為證明公式（1）－（8），先敘述2個引理。

引理1［4，6］對于正整數(shù)n，有

引理1是著名的復(fù)數(shù)棣莫弗（De Moivre）定理。

引理2［7］對于正整數(shù)n，有

式（14）－（15）中，高斯符號［n］表示不超過n的最大整數(shù)。

引理2是二項(xiàng)式公式的2個等價形式［7］。

3 多倍角公式的證明

式（1）的證明：由引理2的式（14）可得

令式（16）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n＋1＋b2n＋1＝2isin（2n＋1）θ；因?yàn)閍＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）＋1＝i（－1）n－j，由式（16）即得式（1）。

式（2）的證明：由引理2的式（15）可得

令式（17）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n＋1－b2n＋1＝2isin（2n＋1）θ；因?yàn)閍＋b＝2cosθ，a－b＝2isinθ及ab＝1，根據(jù)式（17）即得式（2）。

式（3）的證明：

令式（16）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n＋1＋b2n＋1＝2cos（2n＋1）θ；因?yàn)閍＋b＝2cosθ及ab＝1，由此即得式（3）。

式（4）的證明：

令式（17）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n＋1－b2n＋1＝2isin（2n＋1）θ；因?yàn)閍－b＝2cosθ，a＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）＝（－1）n－j，根據(jù)式（17）即得式（4）。

式（5）的證明：由引理2的式（15）可得

令式（18）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n－b2n＝2isin2nθ；因?yàn)閍－b＝2cosθ，a＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）－1＝i（－1）n－j，根據(jù)式（18）即得式（5）。

式（6）的證明：

令式（18）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n－b2n＝2isin2nθ；因?yàn)閍－b＝2isinθ，a＋b＝2cosθ及ab＝1，由此即得式（6）。

式（7）的證明：由引理2的式（14）可得

令式（19）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n＋b2n＝2cos2nθ；因?yàn)閍＋b＝2cosθ及ab＝1，根據(jù)式（19）即得式（7）。

式（8）的證明：

令式（19）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n＋b2n＝2cos2nθ；因?yàn)閍＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）＝（－1）n－j，由式（19）即得式（8）。

式（9）－（12）的簡證：

把引理1利用二項(xiàng)式公式展開，比較其實(shí)部與虛部系數(shù)即可得到式（9）－（12）。

［1］劉小寧.用初等方法求一個無窮級數(shù)和［J］.武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，23（1）：79－80.

［2］劉小寧.直接計(jì)算貝努利數(shù)的新公式［J］.武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，23（3）：79－80.

［3］劉小寧.涉及變量個數(shù)的兩個不等式［J］.武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，24（2）：61－62.

［4］葉其孝，沈永歡.實(shí)用數(shù)學(xué)手冊（第2版）［M］.科學(xué)出版社，2006.

［5］《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊［M］.高等教育出版社，1979.

［6］劉楚炤，李永銀.復(fù)數(shù)與三角［M］.湖北教育出版社，1983.

［7］唐祐華.一個無名公式的問世 多個著名公式的等價［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1986，（4）：1－7.