劉艷，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林541004）

ND樣本最近鄰密度估計(jì)的一致強(qiáng)相合性

劉艷，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林541004）

設(shè)X1，X2，…，Xn是同分布的負(fù)相依（ND）樣本，具有共同的密度函數(shù)f（x），利用相應(yīng)的Bernstein不等式，將負(fù)相關(guān)（NA）樣本最近鄰密度估計(jì)的一致強(qiáng)相合性推廣到ND樣本，得到其最近鄰密度估計(jì)的一致強(qiáng)相合性.

負(fù)相依序列；最近鄰密度估計(jì)；一致強(qiáng)相合性；Bernstein不等式

概率密度估計(jì)和非參數(shù)非線性回歸是非參數(shù)估計(jì)中兩大問題.最近鄰密度估計(jì)（NN－估計(jì)）是由Loftsgarden和Quesenberry［1］于1965年提出的.設(shè)X1，X2，…，Xn是來自未知密度f的樣本，先選定一個(gè)與n有關(guān)的整數(shù)k＝kn，1≤k＜n，對(duì)固定的x∈R，記an（x）為最小的正數(shù)a，使得［x－a，x＋a］中至少包含X1，X2，…，Xn中的k個(gè).注意到，對(duì)每一個(gè)a＞0可以期望在X1，X2，…，Xn中大約有2anf（x）個(gè)觀察值落入?yún)^(qū)間［x－a，x＋a］中.因而值f（x）的估計(jì)（記為＾fn（x））自然地可以通過令k＝2an＾fn（x）得到.于是定義＾fn（x）＝k／2nan（x）為f（x）的估計(jì).此后，許多著名學(xué)者都討論過它的性質(zhì).對(duì)于獨(dú)立樣本，Wagner［2］證明了NN－估計(jì)的強(qiáng)相合性，陳希孺［3］證明了它的漸近正態(tài)性，而楊善朝［4］在一定條件下給出了NA序列下NN－估計(jì)的相合性.ND相依序列是比NA相依序列弱的一種數(shù)列，這些負(fù)相依隨機(jī)變量的概念在可靠性理論、滲透理論和多元統(tǒng)計(jì)分析中均有廣泛的應(yīng)用.因此，將獨(dú)立序列或NA序列的一些性質(zhì)推廣到ND序列是十分必要的.文獻(xiàn)［5－7］分別討論了ND序列完全收斂性、ND隨機(jī)變量列的指數(shù)不等式等，但卻很少觸及NN－估計(jì).而NN－估計(jì)在獨(dú)立樣本下已有很多優(yōu)點(diǎn)，特別是計(jì)算簡(jiǎn)單，容易實(shí)施.因此，在ND樣本下也應(yīng)有一定的地位.本文在ND序列的基礎(chǔ)上，討論了ND序列的最近鄰密度估計(jì)的一致強(qiáng)相合性.

1 定義及引理

假設(shè)總體X的分布密度函數(shù)為f（x），X1，X2，…，Xn是抽自該總體的ND樣本；F（x）是密度函數(shù)f（x）相應(yīng)的分布函數(shù)，是樣本X1，X2，…，Xn的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)；c是與n無關(guān)的常數(shù)，在不同的地方可以表示不同的值.

定義1［5］稱隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，n≥2是ND的，若對(duì)?x1，x2，…，xn∈R，都有

稱隨機(jī)變量列｛Xn；n≥1｝是ND列，如果對(duì)任意的n≥2，X1，X2，…，Xn是ND的.

從有限總體不放回抽樣所得到的樣本不是獨(dú)立的，但是ND的.

引理1［5］設(shè)｛Xn；n≥1｝是ND的，?m≥2，A1，A2，…，Am是集合｛1，2，…，n｝的兩兩不交非空子集.如果fi（i＝1，2，…，m）是對(duì)每個(gè)變?cè)挤墙担ɑ蚍巧┑暮瘮?shù)，則f1（Xj；j∈A1），f2（Xj；j∈A2），…，fm（Xj；j∈Am）仍是ND的.

2 主要結(jié)果

且f（x）在R上一致連續(xù)，則有

定理1 設(shè)｛Xn；n≥1｝是ND序列，kn滿足

證明 ?ε＞0，P｛｜＾fn（x）－f（x）｜＞ε｝＝P｛＾fn（x）＞f（x）＋ε｝＋P｛＾fn（x）＜f（x）－ε｝，當(dāng)f（x）＜ε時(shí)，f（x）－ε的值為負(fù)值，由＾fn（x）的非負(fù)性知，事件｛＾fn（x）＜f（x）－ε｝是不可能事件，故其概率為零.因此，對(duì)P｛＾fn（x）＜f（x）－ε｝的估計(jì)，只需考慮f（x）≥ε的情況.

3 應(yīng)用舉例

設(shè)在可靠性問題中r.v.X的分布函數(shù)記為F（x），密度函數(shù)為f（x），生存函數(shù)和失效率函數(shù)分別定義為Fˉ（x）＝1－F（x）＝P（X≥x）和r（x）＝.又設(shè)X，X，…，X為從總體F（x）中抽取的同分12n布ND樣本，則生存函數(shù)和失效率函數(shù)的自然估計(jì)為

定理2 設(shè)定理1的條件滿足，則對(duì)任何滿足F（c）＜1的c，均

證明 記ˉFn（x）＝1－F（x），ˉFn（x）＝1－Fn（x），顯然有

注意到0＜Fˉ（c）≤Fˉ（x）≤1，?x≤c，sup f（x）≤M＜∞.由定理1和引理4知，sup｜＾fn（x）－f（x）｜→

xx≤c0，a.s.，而且從而當(dāng)n充分大時(shí)，對(duì)于x≤c，一致地有Fˉ（c）＞Fˉ（x）－Fˉ（c）／2＞Fˉ（c）／2＞0.由這些事實(shí)和式（9）即得定理2的結(jié)論.證畢.

［1］ LOFTSGARDEN D O，QUENSBERRY C D.A Nonparametric estimator of a multivariate density function［J］.Ann Statist，1965，36（3）：1049－1051.

［2］ WAGNER T J.Strong consistency of a nonparametic estimate of a density function［J］.IEEE Trans Systems Man Cybenet，1973（3）：289－290.

［3］ CHENG Xi－ru.Convergence rates for nearest neighbor density estimator［J］.Sci China Ser A，1980（12）：1419－1428.

［4］ YANG Shan－chao.Consistency of nearest neighbor density function for pairwise NA sequence［J］.Acta Math Application，2003，26（3）：385－395.

［5］ BOZORGNIA A，PATTERSON R F，TAYLOR R L.Limit theorems for ND r.v.′s［R］.Athens：University of Georgia，1993.

［6］ WU Qun－ying，JIANG Yuan－ying.The strong consistency of estimator in linear model for negatively dependent random samples［J］.Communications in Statistics－Theory and Methods，2011，40（3）：467－491.

［7］ 楊善朝.NA樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性［J］.應(yīng)用數(shù)報(bào)，2003，26（3）：385－408.

Uniform Strong Consistency of Nearest Neighbor Estimator of Density Function for Negative Dependent Samples

LIU Yan，WU Qun－ying
（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

Suppose that X1，X2，…，Xnare negative dependent（ND）samples，with a common density function f（x）.By the use of the corresponding Bernstein inequality，the uniform strong consistency of nearest neighbor estimator of density function for negatively associated（NA）samples is extended to ND samples，and the latter uniform strong consistency of nearest neighbor estimator of density function is obtained.

negative dependent sequence；nearest neighbor density estimator；Bernstein inequality

O 212.7

A

（責(zé)任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

1000－5013（2012）05－0590－05

2012－01－07

吳群英（1961－），女，教授，主要從事概率統(tǒng)計(jì)的研究.E－mail：wqy666＠glite.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11061012）；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2011GXNSFA018147）；廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（2011105960202M32）