趙 磊，姚 聰，劉勝榮

（1.黃山學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽黃山245041；2.化學(xué)工業(yè)第二設(shè)計(jì)院寧波工程有限公司，浙江寧波315040）

采用模糊控制實(shí)現(xiàn)不確定混沌系統(tǒng)投影同步

趙 磊，1姚 聰，2劉勝榮1

（1.黃山學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽黃山245041；2.化學(xué)工業(yè)第二設(shè)計(jì)院寧波工程有限公司，浙江寧波315040）

當(dāng)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)未知和不確定時，研究不同混沌系統(tǒng)的投影同步，采用Takagi-Sugeno(TS)模糊動態(tài)模型和Lyapunov穩(wěn)定性理論，導(dǎo)出了混沌系統(tǒng)廣義投影同步的一個充分條件。通過一些矩陣操作技巧，這個準(zhǔn)則被轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式形式，并用Matlab工具箱方便地解決了這些線性矩陣不等式的求解。對Lorenz方程和Rossler系統(tǒng)的數(shù)值模擬，仿真結(jié)果表明該方法的有效性。

混沌；廣義投影同步；模糊控制

1 引言

自從Pecora和Carroll[1]的驅(qū)動-響應(yīng)同步方法提出以后，這十多年來，混沌同步由于其在保密通信、生命科學(xué)和信息等領(lǐng)域的潛在應(yīng)用價值引起了非線性科學(xué)研究者的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)中已經(jīng)提出了許多有效的混沌控制與同步的方法。[2-4]同時，對混沌系統(tǒng)同步現(xiàn)象的研究也取得了一定的成果。如混沌系統(tǒng)完全同步、混沌系統(tǒng)的相位同步、廣義混沌系統(tǒng)同步和混沌系統(tǒng)延遲同步等。1999年，R.Mainieri和J.Rehacek[5]在研究部分線性混沌系統(tǒng)中觀察到了一種新的同步——投影同步，即在耦合某些部分線性混沌系統(tǒng)時，一定條件下耦合的主從系統(tǒng)狀態(tài)的輸出不僅相位鎖定，而且各對應(yīng)狀態(tài)的振幅還按某一比因子關(guān)系演化。隨后Xu等人對混沌系統(tǒng)的投影同步現(xiàn)象進(jìn)行深入研究，提出了三維混沌系統(tǒng)同步的穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)，任意維連續(xù)混沌系統(tǒng)出現(xiàn)投影同步的判斷準(zhǔn)則以及任意維離散混沌系統(tǒng)出現(xiàn)投影同步的必要條件。[6，7]

到目前為止，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多基于精確模型的混沌系統(tǒng)控制策略。[8-11]然而當(dāng)混沌系統(tǒng)模型不確定或者部分甚至所有參數(shù)未知時，這些方法就失效了。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，最關(guān)鍵且又最困難的是如何針對復(fù)雜、變化而且不確定性的受控對象和環(huán)境，做出有效的控制決策。同時，由于混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感性，那么，對不確定混沌系統(tǒng)的控制和同步將更加不易。由于模糊邏輯已證明具有對非線性系統(tǒng)任意逼近的特點(diǎn)，把模糊邏輯和混沌系統(tǒng)結(jié)合起來，本文提出了采用模糊控制實(shí)現(xiàn)不確定混沌系統(tǒng)投影同步的控制方法。為說明本文方法的有效性，考慮了Lorenz方程和Rossler混沌系統(tǒng)的廣義投影同步控制問題，仿真結(jié)果表明，本文的方法是有效的。

2 混沌系統(tǒng)的投影同步

考慮連續(xù)系統(tǒng)，其不確定TS模糊動態(tài)模型為：

式中Ri表示模糊系統(tǒng)的第i條規(guī)則，Mij(j=1,2…，p)是模糊集合，r是模糊推理規(guī)則數(shù)，x(t)∈Rn是狀態(tài)變量，z1(t),z2(t),…zp(t)是模糊前件變量，u(t)∈Rm是控制輸入。Ai，B是第i個子系統(tǒng)相應(yīng)維數(shù)的矩陣，△Ai表示參數(shù)攝動，di(t)表示外擾動，它們滿足如下匹配條件：

其中Fi是未知矩陣，pi(t)為未知有界函數(shù)，滿足：

這里ωi和ξi是未知常數(shù)。

假設(shè)1：存在矩陣A0使得Ai-A0=BGi(i=1,2,…，r)，這里Gi是已知矩陣。

若采用單點(diǎn)模糊化，加權(quán)平均反模糊化方法，（1）式可以表示成如下全局系統(tǒng)方程

μij（(t)）是zj(t)關(guān)于模糊集Mij的隸屬函數(shù)，wi（z(t)）滿足：

同時參考模型也是一不確定混沌系統(tǒng)，其T-S模糊動態(tài)模型為：

式中Nij(j=1,2…，p)是模糊集合，r是模糊推理規(guī)則數(shù)，y(t)∈Rn是狀態(tài)變量，(t)是模糊前變量，Di是第i個子系統(tǒng)相應(yīng)維數(shù)的已知參數(shù)矩陣，△Di表示參數(shù)攝動，ηi(t)表示外擾動，它們滿足如下匹配條件：

假設(shè)2：存在矩陣D0使得Di-D0=BRi(i=1,2,…，r)，這里Ri是已知矩陣。

采用類似上面的方法可得到參考模型（5）的全局系統(tǒng)方程為：

定義誤差向量為e(t)=αx(t)-y(t)，其中α為尺度因子，結(jié)合系統(tǒng)（4）和（7）得：

由假設(shè)1和假設(shè)2，（8）式可以寫成：

根據(jù)系統(tǒng)模型構(gòu)造控制器u(t)為：

其中

這里P∈Rn×n是一個待求的正定矩陣，K1∈Rn×n，K2∈Rn×n，sgn表示符號函數(shù)，δ(t),p^(t),c^(t)和d^(t)滿足自適應(yīng)調(diào)解律，即

則混沌系統(tǒng)（1）和（5）為廣義投影同步。

假設(shè)3：存在矩陣K1和K2使得

定理1：在假設(shè)1,2,3下，若存在正定矩陣P和矩陣K1使得

證明：將（10）式代入（8）式得閉環(huán)系統(tǒng)

在假設(shè)3下，系統(tǒng)（16）還可以寫成

構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)

tere kümün ?ɡd?r(??ɡed?r)tere tuqai ü (那個人昨天就把那件事說了)

對V(t)關(guān)于時間t求導(dǎo)得

采用自適應(yīng)律（13）式，進(jìn)一步化為：

假設(shè)(14)式可以轉(zhuǎn)化為求解

這里X和Y是兩個正定矩陣，且STS＜I。

令P=X-1和Yi=KiX，i=1,2,則定理1中控制u(t)的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為如下不等式求解問題：

3 數(shù)值仿真

考慮如下的Lorenz方程

當(dāng)a=10,b=8/3,c=28時系統(tǒng)呈混沌態(tài)，由于混沌系統(tǒng)的有界性，我們假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)x1(t)∈[-θ,θ]，其中θ＞0都呈混沌態(tài)。根據(jù)系統(tǒng)（1）,Lorenz的TS模糊模型可表示為

R1：如果z(t)是M1；則

R2：如果z(t)是M2；則

其中x(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),]T,

參考模型為Rossler混沌系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)y1(t)∈[4.5-θ,4.5+θ]，根據(jù)系統(tǒng)（5）,Rossler的TS模糊模型可表示為：

R1：如果z^(t)是M1；則

R2：如果是M2；則

選取A0=A1和D0=D1，根據(jù)定理1，應(yīng)用Matlab軟件的LMI工具箱可求得滿足條件（20）的矩陣為

設(shè)初始條件x(0)=[0.1,0.1,0.5]T，y(0)=[0.2,0.1,0.6]T，選取，仿真結(jié)果分別如圖1所示：

圖1 Lorenz方程和Rossler混沌系統(tǒng)在的廣義投影同步

4 結(jié)論

本文研究了由TS模糊模型表示不確定混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，給出了一種簡單有效的控制方法，該方法利用線性矩陣不等式技術(shù)，把系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化成對一組線性矩陣不等式的求解問題。本方法構(gòu)造簡單，同步速度快，精度高，且仿真結(jié)果表明該方法是有效的。

[1]Pcora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys.Rev.Lett,1990,64(8):821-823.

[2]趙磊,趙雪峰,鄭永愛.采用模糊控制實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的廣義投影同步[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào),2007,11(6):644-647.

[3]孟娟，王興元.基于模糊觀測器的Chua混沌系統(tǒng)投影同步[J].物理學(xué)報(bào),2009,52(2):413-416.

[4]Kazuo T,Takayuki I and Wang.H O.A unified Approach to Controlling Chaos via an LMI Based Fuzzy Control System Design[J].IEEE Trans.Circ.Syst,1998,45(10):1021-1040.

[5]Mainieri R and Rehacek J.Projective synchronization in Three-Dimensional chaotic system[J].Phys Rev Lett,1999,82(15):3042-3045.

[6]Xu D L.Control of projective synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,2001,63(2):027201(1-4).

[7]Wen G L,Xu D L.Nonlinear observer control for fullstate projective synchronization in chaotic continuos-time systems[J].Chaos Solitons and Fractals.2005,26(1):71-77.

[8]Yan J P,Li C P.Generalized projective synchronization of a unified chaotic system[J].Chaos Solitons and Fractals,2005,26(4):1119-1124.

[9]L i G H.Generalized projective synchronization of two chaotic systems by using active control[J].Chaos Solitons and Fractals,2006,30(1):77-82.

[11]趙磊,鄭永愛.基于模糊觀測器混沌系統(tǒng)的廣義投影同步[J].控制工程,2007,14(6):622-624.

責(zé)任編輯：胡德明

Abstact:This paper presents projective synchronization between two different chaotic systems when the parameters of the drive and response systems are unknown and uncertain.Based on Takagi-Sugeno(TS)fuzzy dynamical models and the Lyapunov Stability Theory,a sufficient condition is derived for the generalized projective synchronization of chaotic systems.By using some matrix operation techniques,this criterion is then transformed into linear matrix inequalities(LMI)form,which can be solved numerically using readily available Matlab software packages.The effectiveness of the proposed generalized projective synchronization method is illustrated through numerical simulations of the Lorenz equation and Rossler system.

Key words:chaos;generalized projective synchronization;fuzzy control

Realizing Projective Synchronization of Uncertain Chaotic Systems by Fuzzy Control

Zhao Lei1,Yao Cong2,Liu Shengrong1
(1.College of Information Engineering,Huangshan University,Huangshan245021,China;2.SEDIN,Ningbo Engineering Co,Ltd;Ningbo315040,China)

TP273

A

1672-447X（2012）03-0018-004

2011-11-06

黃山學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2008xkjq016）；黃山學(xué)院自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（2011xkjq002）

趙磊（1981－），山西長治人，黃山學(xué)院信息工程學(xué)院教師，碩士，研究方向?yàn)榉蔷€性控制。