員美娟，鄭 偉

（1.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室，湖北武漢，430081；2.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點實驗室，湖北武漢，430077）

單毛細(xì)管中卡森流體的分形分析

員美娟1，鄭 偉2

（1.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室，湖北武漢，430081；2.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點實驗室，湖北武漢，430077）

研究非牛頓流體類卡森流體在單毛細(xì)管中的流動特性。根據(jù)彎曲毛細(xì)管的分形特征，推導(dǎo)該流體在單毛細(xì)管中的流量、流速、啟動壓力梯度和有效滲透率的分形解析解，所得分形模型將卡森流體的流動特性與毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)有機聯(lián)系起來。

分形；毛細(xì)管；卡森流體

卡森流體是一種典型的具有屈服應(yīng)力值的非牛頓流體，某些非牛頓流體如血液、巧克力、黃原膠溶液、含蠟原油等，其流動行為都呈現(xiàn)出卡森流動特性，這些流體被稱為卡森流體。

自然界中的多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)服從分形幾何規(guī)律，且分形幾何理論已被證實是分析多孔介質(zhì)的強有力工具［1－7］，因此可以用分形理論來研究多孔介質(zhì)中卡森流體的流動特性。流體在多孔介質(zhì)中流動時，其流動的通道不可能完全是直線性的，可能是彎彎曲曲的，這種彎曲通道也可以用分形形式表示。文獻(xiàn)［3］～文獻(xiàn)［5］利用分形毛細(xì)管模型研究了幾種非牛頓流體的流動特性。本文在考慮實際彎曲毛細(xì)管的分形特性基礎(chǔ)上，研究卡森流體在單毛細(xì)管中的流動特性，以得到不含經(jīng)驗常數(shù)的分形表達(dá)式。

1 卡森流體在單毛細(xì)管中流動的分形模型

1.1 流量

卡森流體在單根毛細(xì)管中流量q的方程為［6］

流體流動的彎曲毛細(xì)管通道分形冪規(guī)律為［7］

式中：Lt為彎曲毛細(xì)管通道的實際長度，Lt≥L0；DT為毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)，1＜DT＜2。

考慮到彎曲流線的分形特征，采用毛細(xì)管的實際長度Lt，式（1）可改寫為

式（3）中，取τ0＝0可得單毛細(xì)管中牛頓流體的流量表達(dá)式為

式（4）中，當(dāng)DT＝1時，方程可簡化為直管中牛頓流體的流量表達(dá)式：

式（3）和式（4）給出了單毛細(xì)管中卡森流體和牛頓流體流量方程的分形表達(dá)式，可以看出流量是流體特性參數(shù)、毛細(xì)管結(jié)構(gòu)參數(shù)和毛細(xì)管兩端壓降的函數(shù)。

1.2 流速

由式（3）可得單毛細(xì)管中卡森流體流速ν的表達(dá)式：

式（6）中，取τ0＝0可得單毛細(xì)管中牛頓流體的流速表達(dá)式：

式（7）中，當(dāng)DT＝1時，方程可簡化為直管中牛頓流體的流速表達(dá)式：

1.3 啟動壓力梯度

當(dāng)式（6）中流速ν＝0時，可以得到單毛細(xì)管中卡森流體的啟動壓力梯度λ為

由式（9）中可以看出，卡森流體的啟動壓力梯度不僅與流體的屈服應(yīng)力τ0有關(guān)，而且與毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)R、L0、DT有關(guān)。當(dāng)τ0＝0時，卡森流體簡化為牛頓流體，所以牛頓流體的啟動壓力梯度為0。

1.4 有效滲透率

卡森流體的本構(gòu)方程［8］為

式中：τ為切應(yīng)力；γ·為剪切速率。

當(dāng)τ0＝0時，卡森模型就簡化成牛頓模型。

由式（10）可得單毛細(xì)管中卡森流體的表觀黏度μa為

管壁處的切應(yīng)力τw為

結(jié)合式（6）和式（11）～式（13）可得單毛細(xì)管中卡森流體的有效滲透率ke為

式（14）中，取τ0＝0可得單毛細(xì)管中牛頓流體的有效滲透率為

由式（15）可以看出，卡森流體的有效滲透率是與流體特性相關(guān)的，而牛頓流體的有效滲透率只與毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與流體性質(zhì)無關(guān)。

2 結(jié)語

本文考慮到彎曲毛細(xì)管的分形特性，研究了卡森非牛頓流體在單毛細(xì)管中的流動特性，給出了該流體在單毛細(xì)管中的流量、流速、啟動壓力梯度和有效滲透率的分形解析解，模型中的每一個參數(shù)都具有明確的物理意義，它將卡森流體的流動特性與毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)有機聯(lián)系起來，所得分形模型對深刻理解卡森等非牛頓流體在天然隨機多孔介質(zhì)內(nèi)流動的物理機理有一定作用。

［1］Mandelbrot B B.The fractal geometry of nature［M］.San Francisco：Freeman，1982.

［2］ 姜志強.分形理論應(yīng)用研究若干問題及現(xiàn)狀與前景分析［J］.吉林大學(xué)學(xué)報，2004（1）：57－61.

［3］ Yun M J，Yu B M，Cai J C.A fractal model for the starting pressure gradient for Bingham fluids in porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2008，51（5）：1 402－1 408.

［4］Yun M J，Yu B M，Cai J C.Analysis of seepage characters in fractal porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2009，52（13）：3 272－3 278.

［5］ Yun M J，Yu B M，Xu P，et al.Fractal analysis of power－law fluid in a single capillary［J］.ChinesePhysics Letters，2008，25（2）：616－619.

［6］ Govier G W，Aziz K.The flow of complex mixtures［M］.New York：Krieger，1972：73.

［7］ Yu B M.Fractal character for tortuous streamtubes in porous media［J］.Chinese Physics Letters，2005，22（1）：158－160.

［8］Casson N.Rheology of disperse systems［M］.London：Pergamon Press，1959：84.

Fractal analysis of Casson fluid flow in a capillary

Yun Meijuan1，Zheng Wei2
（1.Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China；2.State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China）

In order to study the flow characteristics of Casson non－Newtonian fluid in a single capillary，fractal models for the flow rate，velocity，starting pressure gradient and effective permeability of Casson fluid in a capillary are proposed on the basis of the fractal properties of tortuous capillary.The proposed models relate the properties of Casson fluid to the structural parameters of fractal capillary.

fractal；capillary；Casson fluid

O357.3

A

1674－3644（2012）03－0229－03

［責(zé)任編輯 鄭淑芳］

2011－12－30

西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室開放基金資助項目（PLN1113）；武漢科技大學(xué)綠色制造與節(jié)能減排科技研究中心開放基金資助項目（B1219）.

員美娟（1980－），女，武漢科技大學(xué)副教授，博士.E－mail：yunmeijuanwei＠yahoo.com.cn