楊 威，應(yīng)保勝，邱新橋，吳岳敏

（1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動化學(xué)院，湖北武漢，430081；2.湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，湖北十堰，442002）

逐點(diǎn)比較直線插補(bǔ)算法的優(yōu)化

楊 威1，應(yīng)保勝1，邱新橋2，吳岳敏1

（1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動化學(xué)院，湖北武漢，430081；2.湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，湖北十堰，442002）

基于八方向插補(bǔ)算法，提出一種改進(jìn)的逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法。通過最大插補(bǔ)誤差分析，利用解析求解、數(shù)值比較及計算機(jī)運(yùn)算，得到一種插補(bǔ)精度較高、運(yùn)算速度較快、速率較平穩(wěn)的偏差計算方法。

數(shù)控系統(tǒng)；逐點(diǎn)比較插補(bǔ)法；直線插補(bǔ)；優(yōu)化改進(jìn)

插補(bǔ)運(yùn)算是計算機(jī)數(shù)控（Computer Numerical Control，CNC）系統(tǒng)中生成加工軌跡的一個基本子程序，它直接影響到工件的輪廓精度、表面光滑度和機(jī)床的最大進(jìn)給速度［1－3］。插補(bǔ)算法分為基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)算法和數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法?；鶞?zhǔn)脈沖插補(bǔ)算法中最常用的是逐點(diǎn)比較法。逐點(diǎn)比較法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單、插補(bǔ)計算速度快、插補(bǔ)誤差較小，但同時也存在如下缺點(diǎn)：①不能兩軸聯(lián)動，影響加工精度；②插補(bǔ)次數(shù)多，執(zhí)行時間長，影響生產(chǎn)效率［4］。

本文在逐點(diǎn)比較法的基礎(chǔ)上，改變判斷點(diǎn)的取值，增加一個進(jìn)給方向，以圖進(jìn)一步提高插補(bǔ)精度和運(yùn)算速度。

1 插補(bǔ)原理

逐點(diǎn)比較法的基本原理［5］為：計算機(jī)在控制加工軌跡的過程中，刀具每進(jìn)一步（一個脈沖當(dāng)量）都將實際加工點(diǎn)同規(guī)定的軌跡進(jìn)行比較，并計算一次偏差值，從而決定下一進(jìn)給點(diǎn)，以逼近給定的軌跡。因此刀具每進(jìn)給一步都要經(jīng)過如下4個節(jié)拍：偏差計算、位置判別、坐標(biāo)進(jìn)給、終點(diǎn)判別。

2 改進(jìn)算法的插補(bǔ)方法與實現(xiàn)過程

逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法只有＋x、＋y、－x、－y四個進(jìn)給方向，八方向插補(bǔ)算法［6］是在該四個進(jìn)給方向上再增加＋x＋y、－x＋y、－x－y、＋x－y四個進(jìn)給方向。其中，＋x＋y是指＋x和＋y坐標(biāo)方向同時進(jìn)給，其余類推。八方向插補(bǔ)算法進(jìn)給方向如圖1所示。

圖1 八方向插補(bǔ)算法進(jìn)給方向Fig.1 Coordinates of eight directions interpolation algorithm

2.1 證明插補(bǔ)直線與任意插補(bǔ)點(diǎn)的位置關(guān)系

圖2 任意加工起點(diǎn)時插補(bǔ)直線通過區(qū)域Fig.2 Interpolation curve at any starting point of processing

設(shè)任意直線AB為加工軌跡，則刀具瞬時加工點(diǎn)p0（xi，yi）在任意位置都有3個進(jìn)給方向（見圖2），下一進(jìn)給點(diǎn)是p′1、p″1、p?1中的某一點(diǎn)。點(diǎn)A與插補(bǔ)起點(diǎn)p0重合，此時直線AB通過正方形區(qū)域p0p′1p″1p?1，證明插補(bǔ)i次后，直線AB通過區(qū)域pip′i＋1p″i＋1p?i＋1。證明：

（1）在插補(bǔ)起點(diǎn)時，直線AB通過正方形區(qū)域p0p′1p″1p?1；

（2）插補(bǔ)i次后，插補(bǔ)點(diǎn)為pi（xi，yi），直線AB通過正方形區(qū)域pip′i＋1p″i＋1p?i＋1；

（3）第i＋1次插補(bǔ)有3個插補(bǔ)點(diǎn)p′i＋1（xi＋1，yi）、p″i＋1（xi＋1，yi＋1）、p?i＋1（xi，yi＋1），分別為如下3種情形：①第i＋1次插補(bǔ)點(diǎn)為p′i＋1（見圖3），直線AB通過p′i＋1p′i＋2p″i＋2p?i＋2；②第i＋1次插補(bǔ)點(diǎn)為p″i＋1（見圖4），直線AB通過p″i＋1p′i＋2p″i＋2p?i＋2；③第i＋1次插補(bǔ)點(diǎn)為p?i＋1（見圖5），直線AB通過p?i＋1p′i＋2p″i＋2p?i＋2。

可見上述假設(shè)成立。證畢。

圖3 插補(bǔ)點(diǎn)為p′i＋1時插補(bǔ)直線通過區(qū)域Fig.3 Interpolation line at the interpolated point p′i＋1

圖4 插補(bǔ)點(diǎn)為p″i＋1時插補(bǔ)直線通過區(qū)域Fig.4 Interpolation line at the interpolated point p″i＋1

圖5 插補(bǔ)點(diǎn)為p?i＋1時插補(bǔ)直線通過區(qū)域Fig.5 Interpolation line at the interpolated point p?i＋1

2.2 最大誤差臨界角計算

任意直線AB為加工軌跡，刀具瞬時加工點(diǎn)pi（xi，yi）在任意位置都有3個進(jìn)給方向（見圖6）。下一進(jìn)給點(diǎn)是p′i＋1（xi＋1，yi）、p″i＋1（xi＋1，yi＋1）或p?i＋1（xi，yi－1）中的某一點(diǎn)。根據(jù)2.1的證明，直線AB總是通過區(qū)域pip′i＋1p″i＋1p?i＋1。分別作p′i＋1L、p″i＋1N垂直于直線AB，垂足為L、N。點(diǎn)M為直線AB與直線p′i＋1p″i＋1的交點(diǎn)。則，當(dāng)下一進(jìn)給點(diǎn)為p′i＋1時，誤差為p′i＋1L；當(dāng)下一步進(jìn)給點(diǎn)為p″i＋1時，誤差為p″i＋1N。從圖6中可看出，顯然點(diǎn)p?i＋1不可能成為最小誤差插補(bǔ)點(diǎn)，因此只需在p′i＋1L與p″i＋1N中選擇。

圖6 M點(diǎn)在p′i＋1p″i＋1上時最大誤差臨界角Fig.6 Maximal critical angle of error at point M for middle point of p′i＋1p″i＋1

圖7 M點(diǎn)為p″i＋1p?i＋1中點(diǎn)時最大誤差臨界角Fig.7 Maximal critical angle of error at point M for middle point of p″i＋1p?i＋1

2.3 最大誤差計算

2.4 偏差計算

偏差計算以第Ⅰ象限的直線為例（見圖8、圖9）。設(shè)直線的起點(diǎn)為o（0，0），終點(diǎn)為B（xe，ye），其他點(diǎn)定義同圖6。當(dāng)xe＝0時，刀具沿x軸方向進(jìn)給；當(dāng)ye＝0時，刀具沿y軸方向進(jìn)給；當(dāng)xe≠0且ye≠0時，交點(diǎn)為M1、M2、M3、M4，顯然，延長線上的交點(diǎn)M2和M4應(yīng)被排除掉。

點(diǎn)M1坐標(biāo)可由下式確定：

圖8 M點(diǎn)在p′i＋1p″i＋1上時的偏差Fig.8 Error at point M for middle point of p′i＋1p″i＋1

圖9 M點(diǎn)在p″i＋1p?i＋1上時的偏差Fig.9 Error at point M for middle point of p″i＋1p?i＋1

2.5 偏差判別

2.5.1 長度比較法

如圖8、圖9所示：

當(dāng)β∈［arctan0.5，90°－arctan0.5）時，F(xiàn)ij＝2；

當(dāng)β∈［90°－arctan0.5，90°）時，F(xiàn)ij＝3。

2.6 坐標(biāo)進(jìn)給

當(dāng)Fij＝1時，下一個插補(bǔ)點(diǎn)選擇點(diǎn)p′i＋1；

當(dāng)Fij＝2時，下一個插補(bǔ)點(diǎn)選擇點(diǎn)p″i＋1；

當(dāng)Fij＝3時，下一個插補(bǔ)點(diǎn)選擇點(diǎn)p?i＋1。

2.7 終點(diǎn)判別

起點(diǎn)為（x0，y0）（一般取為原點(diǎn)（0，0）），終點(diǎn)為（xe，ye）的直線，其判別值（直線在x、y軸方向上的總步長）為Im，則：Im＝xe－x0＋ye－y0。

2.8 不同象限的插補(bǔ)分析

對于任意象限的直線插補(bǔ)，可以先通過坐標(biāo)平移將起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，再根據(jù)直線終點(diǎn)的所在象限，應(yīng)用坐標(biāo)變換方法，將其變換為標(biāo)準(zhǔn)的第一象限內(nèi)直線來插補(bǔ)。直線插補(bǔ)坐標(biāo)變換法如表1所示，其中U表示x軸方向進(jìn)給，V表示y方向進(jìn)給。

表1 直線插補(bǔ)坐標(biāo)變換法Table 1 Coordinate synopsis of linear interpolation

3 結(jié)語

改進(jìn)后的逐點(diǎn)比較直線插補(bǔ)算法通過改變判斷點(diǎn)的取值，增加了一個插補(bǔ)運(yùn)動方向，其插補(bǔ)誤差僅為傳統(tǒng)算法誤差的1／2，插補(bǔ)次數(shù)相應(yīng)減少，從而提高了插補(bǔ)精度和加工速度。

［1］ 王愛玲.現(xiàn)代數(shù)控原理及控制系統(tǒng)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2002.

［2］ 張建剛，胡大澤.數(shù)控技術(shù)［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.

［3］ 李佳.數(shù)控技術(shù)及應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2001.

［4］ 張柱銀，姚建明，李碩.數(shù)控系統(tǒng)中逐點(diǎn)比較法的優(yōu)化算法［J］.機(jī)械研究與應(yīng)用，2010，23（1）：42－44.

［5］ 蘇秀平.細(xì)論直線的逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)［J］.機(jī)床與液壓，2004（4）：119－121.

［6］ 范希營，郭永環(huán).數(shù)控系統(tǒng)基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)的發(fā)展方向［J］.機(jī)床與液壓，2010，38（20）：109－111.

Optimization of point－by－point comparison linear interpolation algorithm

Yang Wei1，Ying Baosheng1，Qiu Xinqiao2，Wu Yuemin1
（1.College of Machinery and Automation，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China；2.Department of Mechanical Engineering，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China）

Based on the eight directions interpolation algorithm，an improved point－by－point comparison interpolation algorithm was proposed.By maximum interpolation error analysis，analytical solution，numerical comparison，and computer computation，an error calculation method was obtained，which boasts higher interpolation precision，stable computation，and higher computation speed.

NC system；point－by－point comparison interpolating algorithm；linear interpolation；optimization

TB115

A

1674－3644（2012）03－0222－04

［責(zé)任編輯 彭金旺］

2011－10－25

楊 威（1989－），男，武漢科技大學(xué)碩士生.E－mail：710327911＠qq.com

應(yīng)保勝（1964－），男，武漢科技大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.E－mail：635125316＠qq.com