涂水林，鄔正義，吳正陽

(常熟理工學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，常熟 215500)

自從Benzi等在研究古氣象冰川問題時(shí)提出隨機(jī)共振概念以來，隨機(jī)共振的理論和實(shí)驗(yàn)研究引起了人們的極大興趣。傳統(tǒng)的隨機(jī)共振是指在含有噪聲的非線性系統(tǒng)中合適的噪聲強(qiáng)度可以使得弱信號(hào)驅(qū)動(dòng)下的輸出信噪比達(dá)到某一最大值，其本質(zhì)是部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為了信號(hào)能量。隨著研究的不斷深入，隨機(jī)共振的研究范圍愈來愈得到拓展，從起初的非線性系統(tǒng)[1－2]到乘性色噪聲或分段噪聲驅(qū)動(dòng)下的線性系統(tǒng)[3－10]，從傳統(tǒng)的隨機(jī)共振到廣義的隨機(jī)共振[11－15]等。

廣義隨機(jī)共振是指在有噪聲的系統(tǒng)中，由于輸入信號(hào)和噪聲的協(xié)作效應(yīng)，系統(tǒng)輸出幅值或信噪比增益是噪聲或輸入信號(hào)的某個(gè)參數(shù)(噪聲強(qiáng)度、激勵(lì)信號(hào)的幅度或頻率等)的非單調(diào)函數(shù)這樣一種非線性現(xiàn)象。信噪比增益定義為輸出信噪比與輸入信噪比的比值，其與信噪比一直是傳統(tǒng)隨機(jī)共振的主要測(cè)度指標(biāo)，若其取值大于1，表明系統(tǒng)對(duì)輸入有用信號(hào)可能有增強(qiáng)和改善作用，但也可能是系統(tǒng)對(duì)背景噪聲相對(duì)于有用信號(hào)而言進(jìn)行了更強(qiáng)的抑制。進(jìn)一步確認(rèn)需引入另一測(cè)度指標(biāo)——譜功率放大系數(shù)。

諧振是交流電路中一種特定的工作狀態(tài)，被廣泛地應(yīng)用于實(shí)際電路中。諧振電路通常是由電阻、電感、電容元件構(gòu)成。本文采用四階Runge-Kutta算法，以信噪比增益和譜功率放大率為隨機(jī)共振測(cè)度指標(biāo)，研究電容參數(shù)和激勵(lì)信號(hào)均受高斯白噪聲擾動(dòng)時(shí)欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情況下的RLC串聯(lián)諧振電路的隨機(jī)共振現(xiàn)象。研究過程表明，僅僅依據(jù)信噪比增益大于1并不能說明噪聲能量轉(zhuǎn)化為了信號(hào)能量或信號(hào)能量得到了加強(qiáng)和改善，只有在同時(shí)滿足譜功率放大率大于1的條件下，才能得出上述結(jié)論。研究結(jié)論使得將欠阻尼RLC串聯(lián)諧振電路應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)成為可能。

圖1 RLC串聯(lián)諧振電路Fig.1 RLC series resonant circuit

1 RLC諧振電路模型

描述圖1所示RLC串聯(lián)諧振電路的動(dòng)態(tài)方程如式(1)所示。

式中:ui(t)為系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào);uo(t)為系統(tǒng)輸出信號(hào)。將式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換，并令，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

ξ和ωn分別是式(1)系統(tǒng)無噪聲時(shí)的阻尼系數(shù)和固有頻率。從傳遞函數(shù)的形式可以看出，這是一個(gè)典型的二階線性系統(tǒng)。當(dāng)0＜ξ＜1、ξ＞1、ξ=1時(shí)，即系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)將分別工作于欠阻尼、過阻尼、臨界阻尼三種工作狀態(tài)。

考慮系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為強(qiáng)高斯白噪聲ζ1(t)背景下的弱正弦信號(hào)和電容參數(shù)C受到高斯白噪聲ζ2(t)的擾動(dòng)，即 ui'(t)=Asin(2πf0t)+ ζ1(t)，C'=C(1+ζ2(t))，式中A是輸入信號(hào)的幅度，f0是輸入信號(hào)的頻率，C為無擾動(dòng)時(shí)的電容值，ζ1(t)、ζ2(t)為高斯白噪聲，其均值和相關(guān)函數(shù)為:

式中:D1(量綱為[伏特]2)、D2(無量綱)分別是噪聲ζ1(t)、ζ2(t)的強(qiáng)度。這時(shí)，式(1)變?yōu)?

2 數(shù)值分析方法

式(3)描述的是一個(gè)二階微分方程的初值問題，可以歸結(jié)為一階微分方程組來求解。引進(jìn)新變量x=du0/dt，則式(3)可以化為一階方程組初值問題:

為了使得數(shù)值計(jì)算具有較好的精度，采用了四階龍格－庫塔算法，具體形式為:

式中:

式中:uin，uon分別表示系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào) ui'(t)=Asin(2πf0t)+ζ1(t)、輸出信號(hào)uo(t)的第n個(gè)采樣值，C'(n)為電容受噪聲擾動(dòng)后第n時(shí)刻的值，h=1/fs為時(shí)間步長(zhǎng)，等于采樣頻率fs的倒數(shù)。

3 隨機(jī)共振測(cè)度指標(biāo)

隨機(jī)共振的定量描述需要測(cè)度指標(biāo)來刻畫，隨著隨機(jī)共振研究的不斷深入，隨機(jī)共振測(cè)度測(cè)度指標(biāo)也一直是隨機(jī)共振研究的一個(gè)重要方面。常用的隨機(jī)共振測(cè)度指標(biāo)有信噪比增益、信噪比、譜功率放大率、線性響應(yīng)敏感度以及常用在非周期隨機(jī)共振上的互相關(guān)系數(shù)等。在傳統(tǒng)的隨機(jī)共振研究中，衡量隨機(jī)共振現(xiàn)象是否發(fā)生的依據(jù)是系統(tǒng)輸出信噪比對(duì)輸入噪聲強(qiáng)度呈現(xiàn)出非單調(diào)函數(shù)關(guān)系，而現(xiàn)在除了這一標(biāo)準(zhǔn)以外，根據(jù)廣義隨機(jī)共振的概念，若系統(tǒng)輸出幅值或信噪比增益是噪聲或輸入信號(hào)的某個(gè)參數(shù)(噪聲強(qiáng)度、激勵(lì)信號(hào)的幅度或頻率等)的非單調(diào)函數(shù)也可以就此判斷系統(tǒng)發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象。從系統(tǒng)對(duì)信號(hào)增強(qiáng)和改善的角度看，最直觀的衡量指標(biāo)是信噪比增益和譜功率放大率，若這兩項(xiàng)指標(biāo)均大于1才能說明系統(tǒng)具有增強(qiáng)和改善有用信號(hào)的作用。

在信號(hào)檢測(cè)及通信等領(lǐng)域中，常用的信噪比定義為:

式中:S(f0)為信號(hào)功率，是信號(hào)功率譜中f0頻率處的幅值，P為信號(hào)總功率，包括信號(hào)功率和噪聲功率，減去S(f0)后剩下的即為噪聲功率。

假設(shè)系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為強(qiáng)高斯白噪聲背景下弱正弦信號(hào)Acos(2πf0t)+ζ1(t)，經(jīng)過采樣頻率為fs的采樣后得到長(zhǎng)度為N的離散序列x(n)，通過四階Runge-Kutta算法數(shù)值求解得到系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(n)，對(duì)y(n)進(jìn)行FFT處理，可得其頻譜分布Y(k):

設(shè)Y(k0)為輸出端信號(hào)頻譜中f0頻率分量的幅值，且有，根據(jù)信噪比定義可得到輸出端信噪比:

同理，輸入端信號(hào)序列x(n)的信噪比可由下式得到:

式中:X(k0)為輸入端信號(hào)頻譜中f0頻率分量的幅值。

而信噪比增益和譜功率放大率則定義為:

式中:SNRgain為信噪比增益，SNRout為輸出端信噪比，SNRin為輸入端信噪比。

4 數(shù)值結(jié)果及分析

根據(jù)RLC串聯(lián)諧振電路動(dòng)態(tài)方程表達(dá)式(3)，令L=25 mH，C=1 000 μF，則系統(tǒng)無擾動(dòng)時(shí)諧振頻率為31.831 0 Hz。改變R的取值使系統(tǒng)分別處于欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)，然后在考慮電容參數(shù)和弱輸入激勵(lì)信號(hào)受到高斯白噪聲擾動(dòng)情況下，采用四階龍格－庫塔算法，仿真和分析信噪比增益和譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系。選擇采樣頻率fs=180f0，步長(zhǎng) h=1/fs，采樣點(diǎn)數(shù) N=1 024，信噪比增益和譜功率放大率均取100次計(jì)算的平均值。

4.1 欠阻尼狀態(tài)

首先來看欠阻尼RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)對(duì)噪聲能量的作用情況。

對(duì)式(3)描述的系統(tǒng)，令R=1 Ω，此時(shí)阻尼系數(shù)ξ=0.1，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。再令 f0=31.831 0 Hz，A=0.1，D1=2，D2=0.01，因此時(shí)激勵(lì)信號(hào)頻率等于系統(tǒng)無噪聲擾動(dòng)時(shí)的諧振頻率，故系統(tǒng)也可認(rèn)為處于諧振狀態(tài)。通過仿真得到系統(tǒng)輸入、輸出信號(hào)及其頻譜圖如圖2所示。圖2(a)為弱正弦有用信號(hào)，幅值為0.1，在與噪聲強(qiáng)度為2的高斯白噪聲疊加后時(shí)域波形如圖2(b)所示，信號(hào)已經(jīng)完全淹沒于噪聲中，對(duì)其進(jìn)行FFT分析，得到噪聲背景下信號(hào)頻譜圖2(c)，從圖2(c)中無法確定有用信號(hào)的存在;將該含噪聲信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)輸入式(3)系統(tǒng)，并對(duì)系統(tǒng)輸出信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，得到輸出信號(hào)頻譜圖2(d)，可以看出，在圖2(d)中很容易分辨出有用信號(hào)頻率，表明系統(tǒng)在諧振狀態(tài)下具有很好的信噪比增益和譜功率放大率。若令A(yù)=0，僅僅將噪聲強(qiáng)度為2的高斯白噪聲輸入式(3)系統(tǒng)，其輸出頻譜圖如圖2(e)所示。

圖2 欠阻尼RLC串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)輸入、輸出信號(hào)及其頻譜圖Fig.2 The input and output signals and their spectrums of underdamped RLC series resonant circuit at resonance

圖2 很清楚地顯示了RLC串聯(lián)諧振電路的選頻放大特性，它不僅能放大電路諧振頻率處的有用信號(hào)，而且能選擇性地增強(qiáng)諧振頻率處的噪聲信號(hào)。這就為將噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量提供了條件。在圖2(d)、(e)中還可看出系統(tǒng)對(duì)大于諧振頻率的高頻噪聲信號(hào)具有很強(qiáng)的抑制作用。這和無擾動(dòng)時(shí)欠阻尼二階系統(tǒng)頻率特性在低頻段呈現(xiàn)低通，頻率處出現(xiàn)谷峰，高頻段以－40 dB/十倍頻程下降的低通特性相符，表明欠阻尼二階系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)受到噪聲擾動(dòng)后其頻率特性并未發(fā)生根本變化。

圖3 欠阻尼情況下信噪比增益和譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率的關(guān)系Fig.3 The relation curves of SNR gain and spectral power magnification of underdamped circuit with the excitation signal frequency

保持上述其它參數(shù)不變，僅改變激勵(lì)信號(hào)頻率f0，并按照式(8)～(11)計(jì)算信噪比增益 SNRgain和譜功率放大率η，得到欠阻尼情況下信噪比增益和譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率的關(guān)系曲線如圖3(a)、(b)所示;令D1=0，重復(fù)上述仿真計(jì)算得到無噪聲背景下信噪比增益和譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率的關(guān)系曲線如圖3(c)、(d)所示。對(duì)比圖 3(a)、(b)和(c)、(d)，可以很明顯地看出輸入信號(hào)含有噪聲時(shí)系統(tǒng)輸出的信噪比增益和譜功率放大率比無噪聲背景時(shí)要大得多。且信噪比增益和譜功率放大率在外加激勵(lì)信號(hào)頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)出現(xiàn)了最大值，表明信噪比增益和譜功率放大率是激勵(lì)信號(hào)頻率的非單調(diào)函數(shù)。RLC串聯(lián)諧振電路是一個(gè)無源系統(tǒng)，在輸入噪聲強(qiáng)度不變的情況下信噪比增益和譜功率放大率出現(xiàn)峰值，且均大于1，這說明有用信號(hào)的能量得到了加強(qiáng)和改善，部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為了信號(hào)能量，系統(tǒng)發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象。

由圖3還可看出，信噪比增益和譜功率放大率的峰值高度均隨著阻尼系數(shù)ξ的增大而減小，且共振峰隨著ξ增大而向激勵(lì)信號(hào)頻率變小的方向移動(dòng)，所以較小的阻尼系數(shù)有利于信噪比增益和譜功率放大率的提高。

圖4 欠阻尼情況下信噪比增益和譜功率放大率與噪聲強(qiáng)度的關(guān)系Fig.4 The relation curves of SNR gain and spectral power magnification of underdamped circuit with the noise intensity

圖4 為欠阻尼狀態(tài)下電路諧振時(shí)信噪比增益和譜功率放大率與噪聲強(qiáng)度的關(guān)系曲線。為便于分析，令ζ1(t)=ζ2(t)，D1=D2=D(下同)。圖 4(a)說明隨著噪聲強(qiáng)度D的增大，信噪比增益也有峰值出現(xiàn)，即信噪比增益對(duì)噪聲強(qiáng)度呈現(xiàn)非單調(diào)依賴關(guān)系。圖4(b)表明譜功率放大率對(duì)噪聲強(qiáng)度為單調(diào)增關(guān)系，且其取值在ξ＜0.7時(shí)均大于1，這說明欠阻尼狀態(tài)下電路諧振時(shí)信號(hào)能量確實(shí)得到了改善。

4.2 臨界阻尼狀態(tài)

保持L、C參數(shù)值不變，將電阻R調(diào)整為10 Ω，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。圖5為臨界阻尼情況下信噪比增益與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系曲線，圖6為臨界阻尼情況下譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系曲線。從圖5可以看出，信噪比增益是激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的非單調(diào)函數(shù)，系統(tǒng)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象。但圖6顯示在信噪比增益取得峰值時(shí)，其對(duì)應(yīng)譜功率放大率均小于1，這說明信噪比的改善并不一定意味著信號(hào)能量的提高。

圖5 臨界阻尼情況下信噪比增益與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系Fig.5 The relation curves of the SNR gain of critical damping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

圖6 臨界阻尼情況下譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系Fig.6 The relation curves of the spectral power magnification of critical damping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

4.3 過阻尼狀態(tài)

繼續(xù)調(diào)整電阻R的取值，使其分別為11 Ω、15 Ω、20 Ω、25 Ω、30 Ω，電路此時(shí)處于過阻尼狀態(tài)。圖 7 和圖8分別為過阻尼狀態(tài)下信噪比增益和譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系曲線圖。從圖7可以看出，信噪比增益依然是激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的非單調(diào)函數(shù)，系統(tǒng)同樣存在隨機(jī)共振現(xiàn)象。圖8與圖6顯示的結(jié)果一樣，即在臨界阻尼和過阻尼兩種狀態(tài)下，盡管信噪比增益在某一噪聲強(qiáng)度下取得了最大值，且取值大于1，但此時(shí)對(duì)應(yīng)譜功率放大率小于1，結(jié)合分析表達(dá)式(6)，說明此時(shí)系統(tǒng)輸出信號(hào)中高頻噪聲能量相比信號(hào)能量得到了更大的抑制，而信號(hào)能量本身并未得到加強(qiáng)。

圖7 過阻尼情況下信噪比增益與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系Fig.7 The relation curves of the SNR gain of overdamping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

圖8 過阻尼情況下譜功率放大率與激勵(lì)信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系Fig.8 The relation curves of the spectral power magnification of overdamping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

5 結(jié)論

本文采用四階Runge-Kutta算法，以信噪比增益和譜功率放大率為隨機(jī)共振測(cè)度指標(biāo)，通過數(shù)值仿真，研究了電容參數(shù)受高斯白噪聲擾動(dòng)時(shí)欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情況下的RLC串聯(lián)諧振電路的隨機(jī)共振現(xiàn)象。仿真分析結(jié)果表明:

(1)參數(shù)擾動(dòng)下RLC串聯(lián)諧振電路在一定條件下的欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)均存在隨機(jī)共振現(xiàn)象。

(2)臨界阻尼和過阻尼情況下盡管信噪比增益在一定條件下也是噪聲強(qiáng)度和輸入信號(hào)頻率的非單調(diào)函數(shù)，但此時(shí)譜功率放大率取值小于1，電路發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象，改善了信噪比，信號(hào)能量卻并未得到加強(qiáng)。

(3)在欠阻尼情況下，諧振狀態(tài)時(shí)的電路發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象非常明顯，尤其阻尼系數(shù)越小隨機(jī)共振效果越好。這一結(jié)論說明欠阻尼RLC串聯(lián)諧振電路可以利用隨機(jī)共振機(jī)制達(dá)到強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)檢測(cè)的目的。

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