周勝利，姚志遠

(南京航空航天大學 機械結構力學與控制國家重點實驗室，南京 210016)

直線超聲電機具有結構簡單、直接驅動、推力比大、響應快、斷電自鎖、定位精度高等優(yōu)點，在航空航天，武器裝備和精密驅動等領域具有重要的應用前景，其研究也受到越來越多的關注[1－4]。

直線超聲電機的動力學建模是超聲電機研究的重要內容。不僅有助于理解超聲電機的運行機理，實現(xiàn)電機結構的優(yōu)化設計、運行控制和壽命估計，且有利于提高電機運行的穩(wěn)定性。

動力學建模主要包括建立自由定子的振動模型，定/動子的接觸模型和機電耦合模型。由于直線超聲電機通過定/動子的摩擦作用驅動動子運動，因此分析定/動子的摩擦機制，建立正確的定/動子接觸模型是建立超聲電機動力學模型的前提。

在國內直線超聲電機的研究落后于行波超聲電機[5－6]，當前的研究熱點是其結構設計，尚缺乏動力學建模的研究。許海等[7－8]在對直線超聲電機進行動力學建模時，對摩擦界面采取了與傳統(tǒng)行波超聲電機類似的辦法，即假設定/動子有光滑的接觸表面，定/動子間有一可等效為線性彈簧的摩擦層。而實際的定/動子接觸表面是粗糙的，且定/動子間并無摩擦層的存在。目前尚未見到有關直線超聲電機定/動子接觸表面摩擦學調查研究，以及粗糙表面對定/動子運行特性影響研究的報道。

本文以南京航空航天大學精密驅動所研制的V型直線超聲電機的表面微觀力學特性為研究對象，首先通過實驗測試了定/動子接觸表面的粗糙度和統(tǒng)計參數(shù)，并基于概率統(tǒng)計方法得到了定子接觸表面各點高度的概率分布函數(shù)，通過偽隨機數(shù)模擬的方法給出接觸表面的模擬模型;再通過赫茲微觀接觸模型建立定/動子接觸的微觀力學模型。在此模型基礎上得到了定/動子的預壓力和接觸變形量和真實接觸面積之間的關系。

1 定、動子接觸界面的微觀表面特性

V型直線超聲電機的定子由兩變幅桿組成，端部有一驅動足，材質是45鋼，動子接觸表面為Al2O3陶瓷，電機實際工作時，預壓力一般在30～80 N之間。利用4 000倍光學顯微鏡拍得摩擦后定/動子接觸表面形貌如下:

圖1 定子接觸表面形貌Fig.1 The morphology of stator’s contact surface

圖2 動子接觸表面形貌Fig.2 The morphology of mover’s contact surface

其中，AB為采樣線段。對其上各點高度進行均值化處理(各點高度減去所有點高度的平均值)后，其形貌曲線見圖5虛線部分。

經(jīng)調查計算，摩擦后定/動子接觸表面特性如表1所示:

由表1可知，動子接觸表面比定子接觸表面光滑的多，且彈性模量和硬度要大得多。利用SPSS軟件對定子接觸表面在采樣線段AB上各點高度進行統(tǒng)計分析，得其關于正態(tài)分布的P－P圖如圖4。

圖3 動子接觸表面輪廓曲線Fig.3 The contour curve of mover’s contact surface

圖4 P－P圖Fig.4 The P － P figure

圖5 偽隨機數(shù)表面模擬1Fig.5 Surface simulation by pseudo-random number 1

圖6 偽隨機數(shù)表面模擬2Fig.6 Surface simulation by pseudo-random number 2

表1 定/動子接觸表面統(tǒng)計參數(shù)Tab.1 Statistical parameters of stator’s and mover’s contact surface

由圖可見，圖中各點近似呈一條直線，說明定子接觸表面上各點高度服從正態(tài)分布[11]。定子接觸表面上各點高度的概率分布函數(shù)為:

其中方差 σ2=1.12。

利用matlab生成服從上述概率分布的偽隨機數(shù)的方法來模擬定子接觸表面的表面輪廓線如下:

圖5表明，偽隨機數(shù)模擬的方法可模擬摩擦后定子接觸表面形貌。用該方法模擬另外四條表面輪廓線如下，由此可證明該方法是有效的。

2 定/動子接觸表面的微觀力學分析

2.1 物理模型

實際上定/動子接觸表面是粗糙的，由許多高度不一的微凸體和凹谷組成。為簡化計算，假設:

(1)動子表面剛性光滑平面，定子表面粗糙;

(2)定/動子接觸時只定子發(fā)生變形，且變形完全彈性變形，變形時各微凸體之間無相互作用。

(3)每個微凸體都是半徑不等的球體組成，球體在動子剛性光滑平面的作用下發(fā)生變形，其變形量和受力大小的相互關系滿足Hertz接觸理論。

(4)直線超聲電機的定、動子接觸在Oxy平面。考慮Oxy平面的正方形區(qū)域，認為在該區(qū)域內定子表面微凸體排列成n×n的方陣，一行或一列上的接觸壓力為，整個正方形區(qū)域上的接觸壓力為

(5)取一行微凸體，沿行方向作剖切面的輪廓線由隨機數(shù)模擬的方法給出，如圖6所示。

實際上，若已知單個微凸體上所承受壓力與變形量、實際接觸面積之關系，可由Hertz描述。由于表面輪廓線已知，即可求出在這一區(qū)域內的總壓力與總變形量、總實際接觸面積之關系。

圖7 單粗糙峰彈性接觸Fig.7 Single asperity elastic contact

2.2 Hertz接觸模型

依據(jù)以上假設，動子是由剛性、平整的陶瓷材料組成，它構成了一個剛性平面;而定子是由彈性、粗糙的45鋼材料構成，構成了一個由若干個半徑不等的半球體組成的彈性曲面。首先研究單個球體與剛性平面接觸的問題，根據(jù)Hertz接觸理論[10]，圖7展示單個球體在壓力F下變形狀態(tài)。

圖中，F(xiàn)為載荷;δ為變形量;實際接觸區(qū)域是以a為半徑的圓，而不是以e為半徑的圓。

在彈性范圍內有:

實際接觸面積:

2.3 數(shù)值仿真計算

以圖7所示輪廓曲線為研究對象，仿真計算的正方形區(qū)域面積為0.2×0.2 mm2。定子驅動足表面積為16 mm2，實際表面的壓力、接觸點數(shù)和接觸面積是前者相應量的400倍。數(shù)值計算該區(qū)域內的總壓力F與實際接觸面積SF之間關系的算法如下:

(1)給定動子剛性平面在預壓力作用下的位置高度z;

(2)通過表面輪廓線找到輪廓線與動子剛性平面等高的點{xk}，并從中確定其微凸體所在的區(qū)域{x1k，為微凸體的個數(shù)。

(3)由區(qū)間[x1k，x2k]中波峰坐標[x'k，y'k]和區(qū)間端點坐標[x1k，0]、[x2k，0]插值出與微凸體等效的半球體，并得到半球體的半徑rk和變形量 δk。

(4)由式(4)計算出每個半球體上的載荷Fk，進而得到該正方形區(qū)域上的總載荷F。

(5)由式(5)計算出每個半球體上的實際接觸面積Ak，進而得到總的實際接觸面積SF。

由上述算法可得定子驅動足變形量與預壓力之間的關系如圖8所示。

用二次函數(shù)擬合，有:

實際接觸面積與變形量的關系如下:

用線性函數(shù)擬合，有:

實際接觸面積與預壓力之間的關系如圖10所示。

用線性函數(shù)擬合，有:

圖8 變形量與預壓力的關系Fig.8 The relationship between deformation and pre-stress

圖9 實際接觸面積與變形量的關系Fig.9 The relationship between real contact area and deformation

圖10 實際接觸面積與預壓力之間的關系Fig.10 The relationship between real contact area and pre-stress

3 結論

本文利用偽隨機數(shù)的表面模擬方法模擬摩擦后定子的接觸表面形貌，并建立了相應的微觀接觸力學模型，計算結果表明:

(1)陶瓷的硬度和彈性模量都比45鋼大得多，且摩擦后的動子接觸表面粗糙度比定子接觸表面粗糙度低得多，故在建模時，可認為動子接觸表面是光滑剛性的。

(2)接觸變形量隨預壓力的變化呈2次多項式的變化規(guī)律，在電機正常工作時，變形量一般在0.1－0.2 μm之間。

(3)定/動子實際接觸面積隨預壓力的變化近似為線性變化規(guī)律，在電機正常工作時，實際接觸面積在0.002－0.005 mm2之間，只占名義接觸面積中極小的一部分。

(4)通常驅動足振幅在0.3－0.4 μm 之間，而接觸變形量在0.1－0.2 μm 之間，表明定、動子的接觸層起非線性的彈簧作用，對電機的振動產(chǎn)生影響。

分析反映了實際直線超聲電機定/動子接觸的狀況，研究有助于建立直線超聲電機的整體動力學模型和分析摩擦摩損特性。

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