胡安峰，孫 波，謝康和

(浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 310058)

土體在移動荷載作用下的動力響應(yīng)研究在很多領(lǐng)域都有重要的意義。由于飽和土體是由土顆粒和水組成的兩相介質(zhì)，而且孔隙水的存在對移動荷載作用下土體內(nèi)波的傳播有很大影響，因此研究飽和土體在移動荷載作用下的動力響應(yīng)時，引入飽和多孔介質(zhì)的土體模型比線性彈性模型或Visco-Elastic土體模型更接近實際情況。Biot［1－2］開辟了對飽和多孔介質(zhì)理論研究的先河。Burke和Kingsbury［3］獲得了二維多孔飽和半空間在表面移動壓力作用下的解析解。但他們的解沒有考慮慣性項，所以不是真正的動力解。Siddharthan等［4］在忽略了水土耦合作用的情況下，求解了平面應(yīng)變條件下飽和土體的動力響應(yīng)問題。Theodorakopoulos［5］利用 Mei和 Foda［6］的理論，在平面應(yīng)變條件下采用級數(shù)的方法研究了位于基巖上的有限層厚土體在運動荷載作用下的動力響應(yīng)，但是他沒有考慮土顆粒的壓縮性。孫宏磊等［7］在平面應(yīng)變條件下研究了移動荷載作用下橫觀各向同性飽和土體的動力響應(yīng)問題。Cai等［8］研究了移動矩形荷載作用下飽和土體的動力響應(yīng)問題。金波等［9－10］研究了勻速移動的振動荷載作用下半無限多孔飽和固體中產(chǎn)生的應(yīng)力和孔隙水壓力，并利用擴展的梯形求積公式獲得數(shù)值解答。蔡袁強等［11］研究了下臥飽和土體的軌道系統(tǒng)在列車荷載作用下的動力響應(yīng)問題。Xu等［12－13］分別研究了移動荷載作用下飽和成層土體的動力響應(yīng)和下臥飽和成層土體的Euler梁的動力響應(yīng)問題。

盡管不少學(xué)者在移動荷載作用下飽和土體的動力響應(yīng)問題方面開展了相關(guān)的研究工作，但是這些研究主要把土體考慮成半空間或半平面，很少有考慮到下臥基巖的影響。但在實際工程中，飽和土層厚度總是有限的，一般到某一深度之下便為基巖。因此本文將地基考慮為有下臥基巖的飽和土體很有實際意義(見圖1)。

本文針對這一模型，通過引入勢函數(shù)并利用Helmholtz原理，再經(jīng)過Fourier變換和逆變換，獲得了移動線荷載作用下飽和地基的位移、應(yīng)力、孔隙水壓力的解答。最后通過快速逆傅里葉變化(IFFT)得到數(shù)值計算結(jié)果，詳細分析了土顆粒的壓縮性、孔隙水的壓縮性、飽和土的剪切模量、孔隙率、滲透性、移動荷載速度和飽和土層厚度等參數(shù)對動力響應(yīng)的影響。

1 控制方程

圖1 問題的模型Fig.1 Geometry of problem

對于飽和土體，可采用飽和多孔介質(zhì)動力問題的 Biot方程［1－2］。在原始方程中，Biot考慮了固液兩相的慣性耦合，但在理論和實驗中慣性質(zhì)量ρa很難確定，所以在大多數(shù)的研究中，慣性耦合項經(jīng)常忽略不計。此時Biot方程可以簡化為如下形式:

其中ui和wi為飽和土土骨架位移和孔隙水相對于土骨架產(chǎn)生的位移表示對時間t的二階導(dǎo)數(shù)，表示對時間t的一階導(dǎo)數(shù)，λ和 μ為飽和土的Lame常數(shù);α和M為考慮兩相材料壓縮性的Biot常數(shù)，一般0≤α≤1，0≤M ＜∞，對于完全干性材料有M=0，而對于不可壓縮的材料有M→∞ 且α=1;ρ=nρf+(1－ n)ρs，n為土的孔隙率，ρs和 ρf分別為土骨架和孔隙水的質(zhì)量密度;m=ρf/n，b為與內(nèi)部摩擦力有關(guān)的參數(shù)，如果忽略介質(zhì)的內(nèi)摩擦，則b=0。

飽和土體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:

式中 θ=ui，j，ζ=－ wi，j分別為土骨架的體積應(yīng)變和流體的體積應(yīng)變，δij為 Kronecker delta 符號，σij，p 分別為總應(yīng)力分量和空隙水壓力。

位移矢量 ui，wi(i=1，2)可以用六個勢函數(shù) φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)來表示［10］，其中 φ 為標(biāo)量，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)為矢量:

將式(5a)，式(5b)，代入式(1)，式(2)中，得到標(biāo)量 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)的如下關(guān)系:

式中▽2為Laplace算子，

定義Fourier變換和Fourier逆變換為:

其中上標(biāo)“^”表示對時間t做一次Fourier變換，上標(biāo)“－”表示對空間坐標(biāo)x做一次Fourier變換。對式(6a)～式(6f)應(yīng)用式(7)中的Fourier變換，得到變換域內(nèi)關(guān)于 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)的常微分方程，求解后再利用式(3)，式(4)可得到變換域內(nèi)各響應(yīng)分量的表達式:

其中:

{Δ}={ABCD EF}T，A，B，C，D，E，F(xiàn) 與z無關(guān)的未知量。

其中:

L1，L2，S對應(yīng)于第一、二類縱波和橫波的復(fù)波數(shù)。

2 邊界條件及解答

考慮一有限厚度的單層飽和地基，表層有勻速運動的線性荷載(如圖1)。其中 H為層厚，F(xiàn)為作用在地基表面的移動線性荷載，2L是線性荷載的長度，c，ω0分別為移動荷載的速度和頻率，φ(x，y，z)為地基中任意一點在時間t的動力響應(yīng)。邊界條件為:

z=0時，

z=H時，

對上述邊界條件進行式(7a)的Fourier變換后，代入方程(8)，得到頻率－波數(shù)域的解，然后對上述解進行式(7b)Fourier逆變換，得到時間－空間域的解:

R1(z)，R2(z)分別為R(z)的前三行和后三行，即:

3 數(shù)值計算及討論

在得到上述時間至空間域的解答后，要直接對其進行求逆Fourier變換較為困難，為此采用離散快速Fourier逆變換(IFFT)。截斷積分范圍，可令－16＜ξ＜16，取639 個積分點，可滿足計算精度［14］。Theodorakopoulos在文獻［5］中通過級數(shù)分解的方法得到不考慮土顆粒壓縮性時的動力響應(yīng)解，為了和他的結(jié)果進行對比，本文中的相關(guān)參數(shù)取值均與文獻［5］中的相同(見表1)。其中為了考慮土體的粘彈性，

表1 土體參數(shù)Tab.1 Parameters of a soil

3.1 土顆粒壓縮性常數(shù)α的影響

圖2 土顆粒壓縮性常數(shù)α對豎向位移的影響Fig.2 Effect of soil particles compressibility on solid vertical displacement

從圖2中可以看到土顆粒壓縮性常數(shù)α的變化對豎向位移的影響很小。而且在實際中，土顆粒本身的壓縮性也較小。綜合上述兩個原因，土顆粒的壓縮性在飽和土體的動力響應(yīng)中可以忽略不計，這與文獻［10］中的結(jié)論相同。而且當(dāng)不考慮土顆粒的壓縮性，即α=1時，本文中的控制方程與Theodorakopoulos［5］中的控制方程可以相互轉(zhuǎn)換。為了便于比較，在本文以后的討論中均取α=1。

3.2 流體體積模量β的影響

3.3 土體剪切模量μ的影響

圖4給出了在不同剪切模量情況下豎向位移隨著深度z的變化曲線圖，從圖中可以知道，剪切模量的減小時，豎向位移增大，此變化規(guī)律很容易理解，因為土體越軟，位移便越大。

3.4 土體滲透系數(shù)k的影響

在Biot方程中，b是反映粘性耦合的參數(shù)，b=1/k，其中 k被稱為動力滲透系數(shù)，單位為kg－1·m3·s。圖5給出了不同的動力滲透系數(shù)對豎向位移的影響。從圖中可以看到隨著滲透系數(shù)的減小，豎向位移也相應(yīng)的逐漸減小，但當(dāng)滲透系數(shù)小于10－9時，豎向位移的變化不再明顯。這種規(guī)律可以解釋如下:當(dāng)滲透系數(shù)減小時，空隙流體承擔(dān)的荷載增大，即土骨架分擔(dān)的荷載相應(yīng)減小，所以土體位移減小。但當(dāng)滲透系數(shù)減小到一定程度后，空隙流體相當(dāng)于靜止不動，此時土體的位移變化不再明顯。

3.5 土體孔隙率n的影響

圖3 流體體積模量β對豎向位移的影響Fig.3 Effect of porewater compressibility on solid vertical displacement

圖4 土體剪切模量μ對豎向位移的影響Fig.4 Effect of shear modulus on solid vertical displacement

圖5 土體滲透系數(shù)k對豎向位移的影響Fig.5 Effect of permeability on solid vertical displacement

圖6給出了孔隙率n對飽和土體豎向位移的影響。從圖6(a)中可以看到在剪切模量μ=108、荷載速度c=20 m/s，c=100 m/s時，孔隙率的改變對豎向位移的影響不明顯。從圖6(b)中可以看到μ=0.2×108，荷載速度c=20 m/s時，孔隙率的改變對豎向位移的影響仍不明顯，但當(dāng)荷載速度增大到c=100 m/s時，孔隙率的改變對豎向位移就有了明顯的影響:孔隙率增大，豎向位移減小。這種現(xiàn)象可理解為在荷載速度增大到一定程度時，孔隙率的影響被激發(fā)了出來。由此可以類推出在μ=108時(圖6(a))，當(dāng)荷載速度增大到某一值(大于100 m/s)后，孔隙率的影響也可以表現(xiàn)出來。這與Theodorakopoulos在文獻［5］的結(jié)論相同。

3.6 荷載速度c的影響

圖7(a)給出了點(x=0，z=0，t=0)處的豎向位移隨著移動荷載速度比c/cs的變化曲線圖104.94 m/s為飽和土的剪切波波速。在速度較低時(小于0.4cs，豎向位移變化不大，當(dāng)速度繼續(xù)增加，豎向位移開始有了顯著的增大。對于彈性土，0.9cs時豎向位移達到峰值，對于兩種不同k值的飽和土，1.0cs(約等于飽和土的瑞利波速)時豎向位移達到峰值。在達到峰值之后，豎向位移又有了顯著的減小。飽和土豎向位移峰值要比彈性土滯后一些出現(xiàn)是因為考慮了水土之間的耦合效應(yīng)。同時還可以看到彈性土的豎向位移要比飽和土的豎向位移大，這是由于空隙水的存在分擔(dān)了部分荷載，即土骨架相應(yīng)承擔(dān)的荷載減小造成的。

圖6 土體孔隙率n對豎向位移的影響Fig.6 Effect of porosity on solid vertical displacement

圖7(b)給出了地基表面的豎向位移隨著移動荷載速度c、坐標(biāo)x的變化曲線圖。一方面可以看到如圖7(a)中的豎向位移先增大后減小的現(xiàn)象。另一方面，可以看到在移動荷載作用下，地基的豎向位移關(guān)于x=0不對稱，荷載速度越大，不對稱越明顯，峰值逐漸向x＜0方向移動。

圖7(c)給出了移動荷載作用下，豎向位移不再關(guān)于x=0對稱的原因。圖中當(dāng)k=∞時，則，即此時不考慮水土之間的粘性耦合項。從圖中可以看到在 δ=0，k=10－9或 δ=0.1，k= ∞ 兩種情況下，不對稱的現(xiàn)象都存在。而當(dāng)δ=0.1，k=∞時，即土體的黏滯性和水土之間的粘性耦合均不考慮時，從圖中可以看到，豎向位移關(guān)于x=0完全對稱。因此移動荷載作用下，豎向位移關(guān)于x=0不對稱是由土體的黏滯性和水土之間的粘性耦合兩個原因共同決定的。

3.7 飽和土層厚度H的影響

圖8給出了點(x=0，z=0，t=0)處的豎向位移隨著飽和層厚度的變化曲線圖。從圖中可以看到在移動荷載速度較低(小于0.6cs)時，當(dāng)飽和層厚度增大到一定程度后，豎向位移趨于穩(wěn)定，此時可把有下臥基巖的飽和地基簡化為飽和半空間。但是值得注意的是，荷載速度越大，影響深度越大，比如在c=0時，H＞120 m豎向位移就趨于穩(wěn)定，但在c=0.6cs時，H＞200 m豎向位移才趨于穩(wěn)定。

圖7 荷載速度c對豎向位移的影響Fig.7 Effect of load speed on solid vertical displacement

圖8 飽和土層厚度H對豎向位移的影響Fig.8 Effect of the saturated porous layer thickness on solid vertical displacement

當(dāng)荷載速度大于0.6cs后，隨著飽和層厚度的增大，豎向位移先增大，當(dāng)達到某個峰值后，豎向位移又顯著的減小，然后在某一個值附近震蕩。隨著荷載速度的增大，峰值位置向飽和層厚度較小的方向移動。即此時在飽和層厚度較小時，豎向位移就能達到峰值。

由此可見，有下臥基巖的飽和地基在移動荷載作用下的動力響應(yīng)不能簡單的簡化為飽和半空間時的情形，在荷載速度較低且飽和層足夠厚時，二者沒有明顯區(qū)別。但當(dāng)荷載速度超過一定值后，二者有明顯的區(qū)別。

4 結(jié)論

本文通過引入勢函數(shù)并利用Helmholtz原理，再經(jīng)過Fourier變換和逆變換，獲得了移動線荷載作用下飽和地基的位移、應(yīng)力、孔隙水壓力解答。最后通過IFFT變化得到數(shù)值計算結(jié)果，詳細分析了飽和土的各參數(shù)以及移動荷載速度和飽和層厚度對動力響應(yīng)的影響。得到如下結(jié)論:

(1)土顆粒壓縮性常數(shù)α的變化對動力響應(yīng)的影響很小，在實際中可以忽略不計。

(2)土體豎向位移均隨著空隙流體體積模量、土體剪切模量的增大而減小。當(dāng)土體滲透性增大時，豎向位移也增大。

(3)當(dāng)荷載速度較小時，孔隙率對豎向位移的影響不大，但當(dāng)荷載速度達到土體瑞利波速附近時，孔隙率對豎向位移的影響很明顯。

(4)荷載速度對動力響應(yīng)的影響較顯著，當(dāng)荷載速度較低時，豎向位移變化不大，但當(dāng)接近瑞利波速時，豎向位移有顯著的增加，超過瑞利波速后，又有顯著的減小。由于考慮了土體的黏滯性和水土之間的耦合作用，豎向位移不再關(guān)于 x=0對稱，峰值向x＜0方向逐漸移動，速度越大，不對稱性越明顯。

(5)有下臥基巖的飽和地基在移動荷載作用下的動力響應(yīng)不能簡單的簡化為飽和半空間時的情形，在荷載速度較低且飽和層足夠厚時，二者沒有明顯區(qū)別。但當(dāng)荷載速度超過一定值后，二者有明顯的區(qū)別。

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