李小珍，朱 艷，強(qiáng)士中

(西南交通大學(xué) 土木學(xué)院，成都 610031)

車輛－橋梁耦合分析始于19世紀(jì)40年代，至今已有150多年的歷史了。從最初的移動(dòng)荷載分析模型到輪軌密貼模型再到現(xiàn)在的允許輪軌分離即車輛－線路－橋梁模型，所得到車輛和橋梁的響應(yīng)只是一個(gè)或者多個(gè)樣本值，車橋耦合運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，由于涉及多學(xué)科的交叉，加之隨機(jī)振動(dòng)理論建立至今只有60多年的歷史，因此運(yùn)用隨機(jī)理論對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行的研究十分有限。從上世紀(jì)60年代起，各國(guó)的學(xué)者開始使用移動(dòng)隨機(jī)荷載模型進(jìn)行車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)分析［1］，至今該模型仍被許多學(xué)者采用［2～3］，但是移動(dòng)荷載分析模型無(wú)法考慮車輛的隨機(jī)性以及車輛橋梁的相互作用。目前，Monte-Carlo法、協(xié)方差分析法、演變隨機(jī)響應(yīng)法以及虛擬激勵(lì)法等均被應(yīng)用到車橋系統(tǒng)的隨機(jī)分析中［4～7］。其中虛擬激勵(lì)法由于其精確、高效的優(yōu)勢(shì)，被應(yīng)用于抗風(fēng)、抗震、車橋耦合等多個(gè)方面［8～11］。對(duì)于平穩(wěn)激勵(lì)問(wèn)題，虛擬激勵(lì)法可將隨機(jī)響應(yīng)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析，對(duì)于演變非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)問(wèn)題，虛擬激勵(lì)法可將其響應(yīng)分析轉(zhuǎn)化為瞬態(tài)時(shí)程分析。

本文采用虛擬激勵(lì)法對(duì)空間車橋耦合系統(tǒng)的隨機(jī)性進(jìn)行分析，以三跨簡(jiǎn)支梁為例，討論橋梁、車輛在不同車速下隨機(jī)響應(yīng)的變化規(guī)律。

1 車橋系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)

1.1 系統(tǒng)響應(yīng)的均值

車輛－橋梁空間耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可寫成:

式中，M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣

F1(t)為車輛重力引起的確定性荷載項(xiàng)

Fi(t)(i=2～4)為由軌道高低、方向和左右軌高差不平順引起的隨機(jī)荷載項(xiàng)

運(yùn)動(dòng)方程(1)的解用杜哈米積分表示為:

耦合系統(tǒng)響應(yīng)的均值為:

假設(shè)軌道不平順為零均值平穩(wěn)過(guò)程，式(3)可化為:

由式(4)可知，系統(tǒng)響應(yīng)的均值是由確定性荷載項(xiàng)引起的。

1.2 構(gòu)造車橋系統(tǒng)的虛擬荷載

響應(yīng)的方差矩陣［12］為:

假設(shè)隨機(jī)荷載項(xiàng)表示為:

式中α(t)為表示輪對(duì)位置的矩陣，fi=［fi1(t)fi2(t)… fin(t)］T是由輪軌接觸點(diǎn)處軌道方向不平順(i=2)、高低不平順(i=3)和左右軌高差不平順(i=4)組成的向量，具體表達(dá)式可以寫成:

其中，xwi為第i個(gè)輪對(duì)的局部位置;v為車輛的行駛速度;t為車輛的行駛時(shí)間;ti為第i個(gè)輪對(duì)的行駛時(shí)間間隔，得到響應(yīng)的方差矩陣為:

式中:

I(ω，t)=∫0tH(t－ τ)α(τ)Qeiωτdτ，I(ω，t)可看作由激勵(lì) α(τ)Qeiωτ引起的響應(yīng)，因此構(gòu)造虛擬激勵(lì):

由虛擬激勵(lì)得到的響應(yīng)為:

式(7)和式(11)相吻合，從而證明了虛擬激勵(lì)構(gòu)造的正確性。

2 車橋耦合系統(tǒng)計(jì)算模型

2.1 模型的建立

將車輛和橋梁看成兩個(gè)子系統(tǒng)，分別建立車輛和橋梁系統(tǒng)的模型。

車輛系統(tǒng)空間模型，獨(dú)立自由度總數(shù)為15，分別為車體和前后兩個(gè)轉(zhuǎn)向架的橫擺、浮沉、側(cè)滾、點(diǎn)頭和搖頭［13］，即:

其中下標(biāo)c代表車體，t1和t2代表前后兩個(gè)轉(zhuǎn)向架。w1～w4分別代表4個(gè)輪對(duì)。lc為車輛定距之半，lt為車輛軸距之半。

車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可寫成矩陣的形式:

式中:Mv，Cv，kv分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)v為車輛系統(tǒng)受到的車橋系統(tǒng)相互作用力。

橋梁系統(tǒng)模型采用空間梁?jiǎn)卧问?，每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，分別為沿著x，y，z軸的平移和繞著x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。橋梁系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可寫成矩陣的形式:

式中，Mb，Cb，Kb分別為橋梁系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。Fb為橋梁系統(tǒng)受到的車橋系統(tǒng)相互作用力。ub=(xb，yb，zb，θxb，θyb，θzb)T。

2.2 車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的求解

采用分離迭代法［14］求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。將車輛和橋梁看成兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的子系統(tǒng)，分別建立二者的運(yùn)動(dòng)方程，如式(12)和(13)所示，并通過(guò)位移協(xié)調(diào)條件和力的平衡條件將兩個(gè)子系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)迭代過(guò)程來(lái)滿足協(xié)調(diào)條件與平衡關(guān)系。對(duì)子系統(tǒng)的分離求解采用Newmark－β直接積分法。

3 虛擬激勵(lì)法的驗(yàn)證

本節(jié)以德國(guó)ICE3動(dòng)車通過(guò)單跨32 m簡(jiǎn)支梁(墩高15 m)為例，檢驗(yàn)虛擬激勵(lì)法的正確性。32 m簡(jiǎn)支梁彈性模量E=3×1010N/m2，泊松比為0.2，密度為ρ =3.64 ×103kg/m3，剛度為 Ixx=35.4 m4，Iyy=9 m4，Izz=70.158 m4，面積為 7.5 m2。阻尼比為 0.02，車輛速度為220 km/h，軌道不平順的波長(zhǎng)范圍為1～80 m，計(jì)算頻率的范圍為0.3～60 Hz，頻率增量為0.3 Hz。采用德國(guó)低干擾譜［15］。將使用本文提出的方法得到的計(jì)算結(jié)果與使用Monte Carlo法計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，在Monte Carlo法中，采用三角級(jí)數(shù)法模擬軌道不平順的樣本。

采用Monte Carlo法計(jì)算時(shí)，分別選取500、5 000、10 000和20 000個(gè)樣本進(jìn)行比較。圖1～圖4為橋梁響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較，圖5、圖6為車體加速度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較，圖7、圖8為動(dòng)車首輪對(duì)受到的輪軌力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較。

由圖1和圖2比較可以看到，橋梁橫向位移的標(biāo)準(zhǔn)差除以相同時(shí)刻下均值的比值均比橋梁垂向位移的標(biāo)準(zhǔn)差除以相同時(shí)刻下均值的比值大，說(shuō)明跨中橫向位移的隨機(jī)性較其垂向位移的隨機(jī)性要大。

同理，由圖3和圖4比較可以發(fā)現(xiàn)橋梁跨中橫向加速度的隨機(jī)性較其垂向加速度的隨機(jī)性要大。

由圖5和圖6可以看到，車體加速度的標(biāo)準(zhǔn)差比其均值要大，說(shuō)明車體加速度的隨機(jī)性比較大。

由圖7和圖8可以看到，動(dòng)車首輪對(duì)受到的橫向輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差比其均值要大，而垂向輪軌力的標(biāo)準(zhǔn)差比其均值要小100倍左右，說(shuō)明動(dòng)車首輪對(duì)受到的橫向輪軌力的隨機(jī)性較大。

由圖1～4可以看到，采用Monte－Carlo法模擬時(shí)，橋梁跨中響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算結(jié)果對(duì)于樣本點(diǎn)數(shù)為500、5000、10 000和20 000區(qū)別并不大。

由圖5和圖8可以看出，動(dòng)車車體橫向加速度以及動(dòng)車首輪對(duì)受到的橫向輪軌力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差離散性很大，采用Monte-Carlo法模擬時(shí)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果只有在樣本點(diǎn)數(shù)為20 000時(shí)才和由確定性荷載引起的均值以及使用虛擬激勵(lì)法得到的標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果相吻合。

由圖6和圖7可以看出，動(dòng)車車體垂向加速度以及動(dòng)車首輪對(duì)受到的垂向輪軌力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的離散型較橫向要小，采用Monte-Carlo法模擬時(shí)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果在樣本點(diǎn)數(shù)為5 000時(shí)和由確定性荷載引起的均值以及使用虛擬激勵(lì)法得到的標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果相吻合。

圖1～圖8驗(yàn)證了本文方法的合理性。

4 數(shù)值算例

以一列車通過(guò)3跨簡(jiǎn)支梁為例，討論車橋系統(tǒng)空間隨機(jī)動(dòng)力特性。簡(jiǎn)支梁截面特性同第3節(jié)程序驗(yàn)證中的單跨簡(jiǎn)支梁截面特性，計(jì)算車輛采用德國(guó)ICE3高速列車，車輛編組為1動(dòng)+2拖+1動(dòng)，采用德國(guó)低干擾譜［15］，線路偏心2.5 m，車輛上橋前先以與橋上相同的線路條件行駛100m，待車輛振動(dòng)趨于穩(wěn)定后進(jìn)入橋跨結(jié)構(gòu)。出橋后車輛再行駛50 m。

由第1節(jié)的推導(dǎo)可知耦合系統(tǒng)在確定性荷載作用下得到的響應(yīng)為均值，在虛擬激勵(lì)作用下得到響應(yīng)的自功率譜密度，經(jīng)過(guò)積分可以得到其均方差。假設(shè)軌道不平順為高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，線性系統(tǒng)下的響應(yīng)也應(yīng)該滿足高斯分布。根據(jù)三倍標(biāo)準(zhǔn)差原理可以確定車橋系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的最大值和最小值。選取車速為100 km/h、150 km/h、180 km/h、200 km/h、220 km/h、250 km/h、300 km/h、320 km/h 和350 km/h，計(jì)算這9 種車速下車橋系統(tǒng)響應(yīng)的最大、最小值，將其絕對(duì)值的最大值作為響應(yīng)的代表值，分析車橋響應(yīng)隨車速變化的規(guī)律。計(jì)算頻率范圍為 0.3－97.2 Hz，頻率增量為0.3 Hz。

圖9～圖10為橋梁跨中響應(yīng)曲線，圖11～圖12為第一輛動(dòng)車響應(yīng)曲線，圖13為第一輛動(dòng)車的首輪對(duì)受到的輪軌力曲線。

由圖9可以看到橋梁跨中橫向和垂向位移的絕對(duì)值并不是隨車速的提高而單調(diào)增加的，在車速為320 km/h時(shí)響應(yīng)達(dá)到最大值。車速為100～180 km/h時(shí)，橫向位移的絕對(duì)值反而隨著車速的提高而減少。車速為150～200 km/h以及320～350 km/h時(shí)，垂向位移的絕對(duì)值隨著車速的提高而減少，在其他速度范圍內(nèi)，隨車速的提高而單調(diào)增加。

由圖10可以看到，橋梁跨中橫向和垂向加速度的絕對(duì)值均在車速為320 km/h時(shí)達(dá)到最大值。橫向加速度的絕對(duì)值在車速為180～200 km/h以及250～320 km/h時(shí)，隨著車速的提高而單調(diào)增加，其余車速范圍內(nèi)，橫向加速度的絕對(duì)值隨著車速的提高反而減少。對(duì)于跨中垂向加速度的絕對(duì)值而言，在車速為100～150 km/h以及200～320 km/h時(shí)，響應(yīng)隨著車速的增加而增加，在其余車速范圍內(nèi)，響應(yīng)隨車速的增加而減少。

由圖11～圖13可以看到，車體響應(yīng)的絕對(duì)值以及動(dòng)車首輪對(duì)受到的輪軌力的絕對(duì)值均是隨著車速的提高而增加。

5 結(jié)論

本文采用虛擬激勵(lì)法對(duì)空間車橋耦合系統(tǒng)的隨機(jī)性進(jìn)行分析，根據(jù)三倍標(biāo)準(zhǔn)差原理得到車橋響應(yīng)的最大、最小值，并取其絕對(duì)值的最大值做為響應(yīng)的代表值，以三跨簡(jiǎn)支梁為例，討論橋梁、車輛在不同車速下隨機(jī)響應(yīng)的變化規(guī)律。得到結(jié)論如下:

(1)橋梁跨中橫向響應(yīng)、車體加速度以及橫向輪軌力的隨機(jī)性較大，做為車橋系統(tǒng)的主要激勵(lì)之一的軌道不平順是一隨機(jī)過(guò)程，是其主要影響因素;

(2)橋梁跨中響應(yīng)的絕對(duì)值并不是簡(jiǎn)單得隨著車速的提高而單調(diào)增加;

(3)車體響應(yīng)的絕對(duì)值以及動(dòng)車首輪對(duì)受到的輪軌力的絕對(duì)值均是隨著車速的提高而單調(diào)增加的。

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