謝欣平， 田阿利，王自力， 尹曉春

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003;2.南京理工大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，南京 210094;3.南京航空航天大學(xué) 航空宇航制造工程系，南京 210016)

變幅桿作為超聲加工系統(tǒng)的重要組成部分，主要實(shí)現(xiàn)能量傳輸和聚能作用。變幅桿的振動(dòng)特性理論分析，通常基于其波動(dòng)方程，由邊值問(wèn)題定解［1－2］，通過(guò)模態(tài)分析研究放大系數(shù)、位移節(jié)點(diǎn)等。Mason［3］首次將變幅桿引入超聲加工系統(tǒng)，提出等效網(wǎng)絡(luò)分析法。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展了用于解決復(fù)雜形狀變幅桿振動(dòng)特性的傳輸矩陣法［4］，四端網(wǎng)絡(luò)法［5－6］，表觀彈性法［7］等。林仲茂［8］對(duì)常見(jiàn)形狀的變幅桿和復(fù)合變幅桿的振動(dòng)特性進(jìn)行了系列研究。

近年來(lái)，有限元法廣泛應(yīng)用于變幅桿的振動(dòng)特性研究，例如:采用有限元軟件，基于Lanczos法分析變幅桿的振動(dòng)模態(tài)，優(yōu)化設(shè)計(jì)包含輔助工具在內(nèi)的超聲加工系統(tǒng)［9］;分析變幅桿的前若干階振動(dòng)模態(tài)的諧振頻率、放大系數(shù)及局部共振等問(wèn)題［10］等。

目前，變幅桿的設(shè)計(jì)通常按半波、空載考慮，實(shí)際應(yīng)用時(shí)再加以調(diào)整［11］。然而實(shí)際工作狀態(tài)中的變幅桿接收換能器輸入激勵(lì)，連接加工工具，產(chǎn)生超聲波振動(dòng)，不斷撞擊被加工表面而成型。為考慮加工件的影響，提高用于精細(xì)超聲加工的變幅桿加工精度，Neumann［12］研究了超聲鉆孔過(guò)程中不同接觸面對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響。Statnikov等［13］在微秒級(jí)范圍內(nèi)測(cè)量了實(shí)際工作狀態(tài)下變幅桿的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變，分析了超聲焊接的瞬態(tài)響應(yīng)。值得注意的是，超聲加工過(guò)程是加工工具與加工件表面高頻撞擊接觸的過(guò)程，高頻重復(fù)撞擊接觸可能對(duì)超聲變幅桿動(dòng)力特性產(chǎn)生影響。

考慮與加工工件表面高頻撞擊接觸過(guò)程對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，本文研究周期激勵(lì)作用下階梯形超聲變幅桿的瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)，及其對(duì)變幅桿放大特性的影響。首先，基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，建立階梯形變幅桿力學(xué)模型;通過(guò)變幅桿系統(tǒng)與工件的接觸過(guò)程和分離過(guò)程的高頻轉(zhuǎn)換，反映超聲加工的工作狀態(tài);以瞬態(tài)波響應(yīng)法［14－16］分別對(duì)接觸過(guò)程和分離過(guò)程動(dòng)力控制方程進(jìn)行求解，得到適用于任意級(jí)數(shù)的階梯形變幅桿的特征項(xiàng)傳遞函數(shù)，和重復(fù)撞擊系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)理論解。以工程中常用的三級(jí)階梯形變幅桿為例，分析撞擊位移，撞擊力，分析了不同頻率的外激勵(lì)下變幅桿重復(fù)撞擊動(dòng)力特性和負(fù)載工件對(duì)變幅桿聚能效果的影響。

1 力學(xué)模型

超聲加工的過(guò)程中，換能器產(chǎn)生超聲振動(dòng)輸入給變幅桿，變幅桿作縱向振動(dòng)將振動(dòng)位移放大并沖擊加工表面(負(fù)載)，加工表面在高頻的撞擊之下逐漸磨損，直至形成所要求的形狀。變幅桿為變截面的細(xì)長(zhǎng)桿件，若不考慮材料的機(jī)械耗損，可只考慮一維平面波沿桿的軸向傳播，即采用一維波動(dòng)理論建立相應(yīng)的力學(xué)模型。

圖1為一n級(jí)階梯形變幅桿及加工工件的簡(jiǎn)化系統(tǒng)。變幅桿各階桿件材料相同，其彈性模量E1和密度ρ1相同，橫截面積和長(zhǎng)度從輸入端到輸出端依次為:A1，l1，A2，l2，…，An，ln。為分析加工工件的影響，將其近似簡(jiǎn)化為一維樁，彈性模量為E2，密度為ρ2，橫截面積和長(zhǎng)度分別為An+1，ln+1。變幅桿加工過(guò)程是變幅桿與工件表面高頻重復(fù)碰撞接觸的過(guò)程，其碰撞力學(xué)機(jī)理可看成為變幅桿與加工工件表面碰撞接觸過(guò)程和分離過(guò)程的高頻反復(fù)交替發(fā)生。

圖1 階梯形變幅桿超聲加工結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Illustration of ultrasonic machining

1.1 控制方程

由Lamé-Navier's方程:

在不考慮橫向慣性效應(yīng)影響時(shí)，對(duì)階梯形變幅桿的各級(jí)桿分段求得其控制方程為:

在控制方程中，位置坐標(biāo)原點(diǎn)分別建立在各級(jí)桿件的左端面處。

1.2 初邊值條件

階梯形變幅桿的各級(jí)桿件之間所滿足的力連續(xù)條件和位移連續(xù)條件分別為:

而變幅桿與加工件表面之間的接觸面邊界條件，則需要根據(jù)加工接觸和分離兩個(gè)過(guò)程，分別進(jìn)行討論。

在接觸過(guò)程中，變幅桿輸出端與加工工件表面滿足接觸面位移連續(xù)和接觸力連續(xù)的要求，即:

在分離過(guò)程中，變幅桿輸出端和加工工件表面將成為自由表面，即:

當(dāng)接觸過(guò)程結(jié)束時(shí)，變幅桿右端面與工件左端面的接觸壓力下降為0。在接觸過(guò)程的邊界條件下，此刻該面的應(yīng)變從數(shù)值上表現(xiàn)為由負(fù)轉(zhuǎn)正。故進(jìn)入分離狀態(tài)的判斷條件為:

當(dāng)分離過(guò)程結(jié)束時(shí)，變幅桿右端的位移與工件左端的位移又重新相等。在分離過(guò)程的邊界條件下，此刻變幅桿右端的位移由小于變?yōu)榇笥诠ぜ蠖说奈灰啤９蔬M(jìn)入接觸狀態(tài)的判斷條件為:

2 解的構(gòu)造與求解

階梯形變幅桿的各級(jí)桿的位移解可由準(zhǔn)確性靜態(tài)位移解和動(dòng)態(tài)位移解構(gòu)成，即:

通過(guò)構(gòu)造滿足非齊次邊界條件的準(zhǔn)靜態(tài)解Uis(xi，t)和滿足齊次邊界條件的動(dòng)態(tài)解Uid(xi，t)的微分方程，以解決原控制方程非齊次邊界條件的問(wèn)題。

2.1 準(zhǔn)靜態(tài)解

準(zhǔn)靜態(tài)解應(yīng)滿足靜力學(xué)假設(shè)和非齊次邊界條件，因而得到接觸狀態(tài)下的準(zhǔn)靜態(tài)解為:

分離狀態(tài)下的準(zhǔn)靜態(tài)解為:

其中:

2.2 動(dòng)態(tài)解

由控制方程(2)及解的構(gòu)成形式(8)可得動(dòng)態(tài)解的微分方程:

接觸狀態(tài)下的齊次邊界條件和連續(xù)性條件化為:

分離狀態(tài)下的齊次邊界條件和連續(xù)性條件的處理方法同上。

在接觸狀態(tài)下，根據(jù)瞬態(tài)波函數(shù)法將動(dòng)態(tài)解展開(kāi)成具有分離變量的形式:

在分離狀態(tài)下，動(dòng)態(tài)解按變幅桿與工件分別求解，均根據(jù)瞬態(tài)波函數(shù)法展開(kāi)為分離變量形式:

接觸狀態(tài)下特征函數(shù)解為:

系數(shù)aij，bij由特征函數(shù)的邊界條件和連續(xù)性條件確定。

所得到的一組關(guān)于待定系數(shù)的方程組為:

其中:

為使得方程組(18)式有非零解，矩陣行列式值應(yīng)為零，構(gòu)成計(jì)算加工過(guò)程中各階波數(shù)和系統(tǒng)的頻率方程。

結(jié)合方程組(18)和正交歸一化特征式(19)，確定特征函數(shù)的待定系數(shù)aij，bij。

分離狀態(tài)下的特征函數(shù)的求法同接觸狀態(tài)的相同。值得注意的是，分離狀態(tài)下的變幅桿動(dòng)態(tài)解應(yīng)疊加剛性平動(dòng)項(xiàng)，剛性平動(dòng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為常數(shù)。

接觸狀態(tài)下時(shí)間函數(shù)的求解方法如下:將已求得特征函數(shù)的動(dòng)態(tài)解代入微分方程(12)，結(jié)合正交歸一化特性(19)，得時(shí)間函數(shù)的微分方程為:

式中，

解得的時(shí)間函數(shù)為:

其中，qj(0)，(0)由初始條件確定。

分離狀態(tài)下的時(shí)間函數(shù)按變幅桿與工件分別求解，求解方法與接觸過(guò)程相同。在每一次接觸狀態(tài)或分離狀態(tài)中，時(shí)間函數(shù)的時(shí)間變量采用各自狀態(tài)內(nèi)的相對(duì)時(shí)間坐標(biāo)，即在絕對(duì)時(shí)間坐標(biāo)下，tp，(p=1，2…)記錄下了每一次分離及接觸的時(shí)刻，而時(shí)間函數(shù)中的時(shí)間變量t*=t－tp，(p=1，2，…)，t*為相對(duì)坐標(biāo)，t為絕對(duì)坐標(biāo)。

3 算例與分析

結(jié)合工程實(shí)際，將變幅桿輸出端連接的加工工具簡(jiǎn)化為變幅桿系統(tǒng)的一部分，即為變幅桿的小端(輸出端)。本文研究了45鋼三級(jí)階梯變幅桿系統(tǒng)在周期驅(qū)動(dòng)力作用下加工球墨鑄鐵工件的工況，計(jì)算模型如圖2所示，各參數(shù)如表1所示?；谒矐B(tài)波特征函數(shù)展開(kāi)法計(jì)算階梯形變幅桿重復(fù)撞擊加工的解析解，在Matlab環(huán)境中編程，數(shù)值計(jì)算階梯形變幅桿在加工過(guò)程中的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，并比較分析不同外載頻率下變幅桿的聚能效果。

圖2 數(shù)值計(jì)算模型Fig.2 Model for numerical calculus

表1 計(jì)算模型中的物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of the model for calculus

周期驅(qū)動(dòng)力:

3.1 瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)

圖3為外激勵(lì)頻率ω=40π kHz時(shí)，撞擊接觸面的撞擊力與位移的時(shí)間歷程。從撞擊力時(shí)間歷程可以看出，當(dāng)變幅桿中由外激勵(lì)激發(fā)的瞬態(tài)應(yīng)力波振面?zhèn)鞑サ竭_(dá)撞擊接觸面時(shí)，撞擊力曲線發(fā)生變化，力峰值大于外激勵(lì)幅值，而變幅桿輸出端與加工件表面位移滿足位移連續(xù)。約經(jīng)過(guò)一個(gè)外激勵(lì)周期后，接觸過(guò)程結(jié)束，變幅桿與加工件分離。此時(shí)，撞擊力為零，變幅桿輸出端不受加工件影響，位移幅值顯著增加。由于應(yīng)力波傳播的持續(xù)效應(yīng)，使得分離過(guò)程中變幅桿和加工工件位移曲線，均存在波動(dòng)，波動(dòng)半周期為應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中傳播一次的時(shí)間。t=0.119 ms時(shí)，在外激勵(lì)作用下，發(fā)生再次接觸。但由于瞬態(tài)波的持續(xù)效應(yīng)，使得撞擊力時(shí)間歷程曲線不光滑，存在鋸齒狀變化。再次分離過(guò)程中，發(fā)生了幅值小、歷程短的次撞擊現(xiàn)象［16］。由于接觸、分離產(chǎn)生的強(qiáng)間斷瞬態(tài)波，不斷的在結(jié)構(gòu)中傳播、反射、透射，使得后續(xù)撞擊力時(shí)間歷程和結(jié)構(gòu)響應(yīng)更加復(fù)雜。

3.2 不同外載頻率下的聚能效果

不同的外載頻率，對(duì)變幅桿系統(tǒng)的聚能效果影響顯著。本文比較分析了外載圓頻率 分別為50 kHz，70 kHz，40 πkHz，208.57 kHz 和 350 kHz 時(shí)，階梯形變幅桿系統(tǒng)的聚能效果。其中70 kHz為變幅桿與工件系統(tǒng)在接觸過(guò)程中的諧振圓頻率;208.57 kHz為階梯形變幅桿的諧振圓頻率。

圖3 接觸點(diǎn)的位移及撞擊力響應(yīng)Fig.3 Displacement and impact force at the contact interface

當(dāng)外激勵(lì)頻率為208.57 kHz時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)［8］中的理論，計(jì)算得到本算例的變幅桿空載放大系數(shù)為Mp=1.72?？紤]結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，圖4給出了外激勵(lì)頻率為208.57 kHz工況下，分離狀態(tài)(即空載)時(shí)輸入輸出端的位移變化幅值(消除剛性位移項(xiàng))。計(jì)算得到放大系數(shù)的平均值為1.67，小于由振動(dòng)理論計(jì)算得到的空載放大系數(shù)Mp。

圖5為208.57 kHz工況下接觸狀態(tài)時(shí)，變幅桿輸入輸出端的位移變化幅值，此時(shí)輸出端位移變化幅值與輸入端位移變化幅值之比的平均值約為0.8。對(duì)比圖4，表明在變幅桿的實(shí)際工作中，負(fù)載的存在使位移變化明顯減弱。

圖6為不同頻率周期驅(qū)動(dòng)力下，接觸過(guò)程中變幅桿輸入端與輸出端的位移曲線?？梢钥闯?，當(dāng)外激勵(lì)頻率顯著小于變幅桿諧振頻率時(shí)，變幅桿分離狀態(tài)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，撞擊頻率下降，且輸出位移遠(yuǎn)小于輸入位移，表現(xiàn)出明顯的平動(dòng)狀態(tài)，不利于超聲加工;當(dāng)外激勵(lì)頻率顯著大于變幅桿諧振頻率時(shí)，變幅桿與工件長(zhǎng)期接觸，難以形成高頻撞擊，且輸出位移始終小于輸入位移，即變幅桿始終受壓縮，難以實(shí)現(xiàn)加工效果。當(dāng)外激勵(lì)圓頻率調(diào)整為變幅桿的諧振圓頻率ω=208.57 kHz附近時(shí)，從變幅桿的輸出、輸入位移曲線，可以看出變幅桿兩端為拉伸與壓縮狀態(tài)的高頻交替，變幅桿高頻撞擊工件，為超聲加工的理想狀態(tài)。

圖7為不同頻率周期驅(qū)動(dòng)力下，接觸過(guò)程中變幅桿輸出力阻抗值的自然對(duì)數(shù)。力阻抗特性分析表明，變幅桿系統(tǒng)開(kāi)始工作后，其力阻抗值逐漸過(guò)渡至穩(wěn)定狀態(tài)。與其他工況相比，外激勵(lì)頻率接近變幅桿諧振頻率的情況下，輸出力阻抗調(diào)整迅速，調(diào)整后平穩(wěn)。這表明，超聲加工過(guò)程，外激勵(lì)頻率調(diào)整為接近變幅桿固有的諧振頻率時(shí)，具有理想的阻抗匹配特性。

4 結(jié)論

根據(jù)變幅桿工作狀態(tài)，考慮與加工工件高頻重復(fù)撞擊負(fù)載的瞬態(tài)響應(yīng)影響，研究了階梯形變幅桿的瞬態(tài)動(dòng)力特性和結(jié)構(gòu)聚能效果。基于動(dòng)力學(xué)，采用瞬態(tài)響應(yīng)法，給出結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)解。通過(guò)工程常見(jiàn)的三級(jí)階梯形變幅桿的數(shù)值計(jì)算，得出以下結(jié)論:

(1)瞬態(tài)響應(yīng)解能實(shí)現(xiàn)對(duì)考慮工作負(fù)載的超聲變幅桿的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)研究，分析結(jié)果精確可靠。

(2)變幅桿高頻撞擊工件為超聲加工的理想工作狀態(tài)。通過(guò)本文計(jì)算比較，負(fù)載及瞬態(tài)波傳播對(duì)變幅桿的最優(yōu)工作頻率影響微弱，外激勵(lì)頻率與變幅桿諧振頻率相同或接近時(shí)，變幅桿為理想工作狀態(tài)。因此超聲變幅桿系統(tǒng)的工作頻率(外激勵(lì)頻率)按空載設(shè)計(jì)［8］是合理的。

(3)與負(fù)載重復(fù)撞擊產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)，對(duì)變幅桿實(shí)際放大系數(shù)有影響，實(shí)際放大系數(shù)(撞擊過(guò)程為0.8，分離過(guò)程為1.6)低于振動(dòng)理論空載設(shè)計(jì)值1.72，表明沒(méi)有考慮高頻波動(dòng)效應(yīng)的振動(dòng)理論預(yù)測(cè)值偏高。

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