朱家興，孫兆偉，陳長(zhǎng)春

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

可靠性、安全性和有效性是航天產(chǎn)品品質(zhì)的主要指標(biāo)。對(duì)衛(wèi)星等航天器來說，一旦發(fā)射入軌便成為不可維修系統(tǒng)，因此研究控制算法，保證航天器在部分執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生故障時(shí)能全部或部分完成飛行任務(wù)，是挽救損失和提高系統(tǒng)可靠性的有效途徑［1］。理論上，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)屬于二階非完整系統(tǒng)，即系統(tǒng)加速度具有不可積性。文獻(xiàn)［2］建立了二階非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與控制的理論框架，并分析了系統(tǒng)的可控性和可鎮(zhèn)定性，為欠驅(qū)動(dòng)控制領(lǐng)域的深入研究提供了基礎(chǔ)。欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是指由控制輸入向量構(gòu)成空間的維數(shù)小于位形空間維數(shù)的系統(tǒng)，即指控制輸入數(shù)小于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)［3］。欠驅(qū)動(dòng)航天器，是指姿態(tài)控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是非完整配置的航天器，即執(zhí)行機(jī)構(gòu)不能提供三軸獨(dú)立的控制力矩［4］。由于研制、發(fā)射等費(fèi)用巨大和幾乎不可維修的特點(diǎn)，當(dāng)部分執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生故障時(shí)，設(shè)計(jì)者希望航天器控制系統(tǒng)仍具有令人滿意的性能。欠驅(qū)動(dòng)控制可為此提供一種備份技術(shù)，欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制的研究對(duì)提高整個(gè)控制系統(tǒng)的可靠性、延長(zhǎng)航天器的使用壽命，具有重要的意義。

目前，欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)控制已成為研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［5］的研究表明，采用角動(dòng)量交換裝置作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的航天器，在系統(tǒng)總角動(dòng)量不為零條件下，當(dāng)控制輸入的個(gè)數(shù)小于3時(shí)，系統(tǒng)將不可控；文獻(xiàn)［6］認(rèn)為僅有兩個(gè)控制輸入的剛體航天器，因不滿足文獻(xiàn)［7］的Brockett必要條件，不能由光滑狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)控制。文獻(xiàn)［8］針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)軸是否為對(duì)稱軸，通過開關(guān)控制，分別提出非連續(xù)的反饋控制策略。文獻(xiàn)［9、10］基于（w，z）參數(shù)，在欠驅(qū)動(dòng)軸為對(duì)稱軸和欠驅(qū)動(dòng)軸初始角速度為零的假設(shè)條件下，設(shè)計(jì)了非連續(xù)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)的漸近穩(wěn)定。

本文利用開關(guān)算法，通過在不同控制律間的切換，研究了航天器姿態(tài)角速度和姿態(tài)角的欠驅(qū)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)。

1 剛體航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

1.1 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)Euler方程，剛體航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：Ii（i＝1，2，3）為航天器的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωi為航天器相對(duì)慣性空間的角速度矢量在星體固聯(lián)坐標(biāo)系中的分量；Mi為外力矩矢量在星體固聯(lián)坐標(biāo)系中的分量。假設(shè)M3＝0，即第三軸為欠驅(qū)動(dòng)軸，則成立

式中：uj（j＝1，2）為控制量，且uj＝Mj／Ij；α1，α2，α3為與航天器主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的常數(shù)，且α1＝（I2－I3）／I1，α2＝（I3－I1）／I2，α3＝（I1－I2）／I3。

1.2 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

根據(jù)歐拉有限轉(zhuǎn)動(dòng)定理，將參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)3次即可得星體固聯(lián)坐標(biāo)系，3次轉(zhuǎn)過的歐拉角分別為滾動(dòng)角φ，俯仰角θ，偏航角ψ，如圖1所示。

圖1 3－2－1順序歐拉角Fig.1 Eulerian angles sequence 3－2－1

歐拉角（3－2－1順序）參數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

2 欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)軸是否為慣性對(duì)稱軸，利用開關(guān)算法和退步控制技術(shù)，本文設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定的控制律。剛體航天器的欠驅(qū)動(dòng)控制較難處理的是對(duì)失控軸角速度的控制，因此本文先對(duì)姿態(tài)角速度進(jìn)行穩(wěn)定控制，再對(duì)姿態(tài)角進(jìn)行穩(wěn)定控制。

退步控制是一種基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論的控制器遞推設(shè)計(jì)方法，一般用于控制量與被控量間存在一個(gè)或多個(gè)積分器的非線性系統(tǒng)［11］。退步控制設(shè)計(jì)過程如下：將一子系統(tǒng)（假設(shè)該子系統(tǒng)中不含直接控制量）中的其他狀態(tài)變量視作“虛擬控制量”，按李雅普諾夫設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)“中間控制律”，使該子系統(tǒng)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定；引入誤差變量，利用直接控制量設(shè)計(jì)誤差系統(tǒng)，使真實(shí)狀態(tài)變量與“虛擬控制量”間具有某種漸近特性，從而得到最終的退步控制律，實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的漸近鎮(zhèn)定或跟蹤。

設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)控制律需要用兩個(gè)函數(shù)。對(duì)雙積分系統(tǒng)

用退步控制算法，函數(shù)

具有性質(zhì)：在控制律u＝f（x1，x2，β）作用下，可使雙積分系統(tǒng)式（4）由任意初始狀態(tài)到達(dá)最終狀態(tài)（β，0）。此處：x1，x2分別為姿態(tài)角和姿態(tài)角速度；k1，k2，α均為大于0的控制參數(shù)；β為任意常數(shù)。不失一般性，令β＝0，利用李雅普諾夫定理分析系統(tǒng)，可得

在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)

則有

因V（x）正定，－V（x）半負(fù)定，故系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。進(jìn)一步分析可知，－V（x）＝0所包含的最大不變集中僅有1個(gè)點(diǎn)（x1，x2）＝（0，0），由LaSalle不變集定理可知，系統(tǒng)的狀態(tài)最終會(huì)收斂至原點(diǎn)，即系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

設(shè)［ω10ω20ω30φ0θ0ψ0］為描述航天器全局運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)，取控制目標(biāo)為

2.1 姿態(tài)角速度穩(wěn)定控制律設(shè)計(jì)

當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)軸為非對(duì)稱軸，即I1≠I2時(shí)，可通過姿態(tài)動(dòng)力學(xué)之間的耦合進(jìn)行三軸姿態(tài)角速度的控制。通過3次姿態(tài)機(jī)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角速度的穩(wěn)定控制。

考慮欠驅(qū)動(dòng)軸為非對(duì)稱軸的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

機(jī)動(dòng)1：執(zhí)行反饋控制律

式中：k3為大于0的控制參數(shù)；上標(biāo)表示控制律的切換次數(shù)。在此控制律作用下，ω1，ω2，很快衰減為零，且當(dāng)ω1＝ω2＝0時(shí)，將有ω3＝（常數(shù)）。此處：ω3為繞欠驅(qū)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的自旋角速度。

機(jī)動(dòng)2：執(zhí)行反饋控制律

機(jī)動(dòng)3：執(zhí)行反饋控制律

在此控制律作用下，經(jīng)過有限時(shí)間t＝／k3，將再次有ω1＝ω2＝0，積分可得，此時(shí)ω3＝0，即系統(tǒng)的姿態(tài)角速度收斂至狀態(tài)［ω1ω2ω3］＝［0 0 0］。

至此，實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)角速度的穩(wěn)定控制。

2.2 姿態(tài)角穩(wěn)定控制律設(shè)計(jì)

在姿態(tài)角速度收斂的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)f（x1，x2，β），根據(jù)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，每次只利用1個(gè)控制力矩，通過改變姿態(tài)角速度ω1，ω2，進(jìn)而改變一個(gè)姿態(tài)角，5次機(jī)動(dòng)后，即可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角穩(wěn)定控制。

考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

機(jī)動(dòng)4：執(zhí)行反饋控制律

直至φ＝0，ω＝0，即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

該次機(jī)動(dòng)僅用到控制力矩u1。前4次機(jī)動(dòng)后，有。

機(jī)動(dòng)5：執(zhí)行反饋控制律

直至θ＝0，ω2＝0，即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

該次機(jī)動(dòng)僅用控制力矩u2。在前5次機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)上，再次有。

機(jī)動(dòng)6：執(zhí)行反饋控制律

直至φ＝0.5π，ω1＝0，即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

該次機(jī)動(dòng)僅用到控制力矩u21。在前6次機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)上，將有。

機(jī)動(dòng)7：執(zhí)行反饋控制律

直至ψ＝0，ω2＝0，即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

該次機(jī)動(dòng)僅用到控制力矩u2。在7次機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)上，又有。

機(jī)動(dòng)8：執(zhí)行反饋控制律

直至φ＝0，ω1＝0，即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到了目標(biāo)狀態(tài)

根據(jù)精度要求決定是否重新執(zhí)行機(jī)動(dòng)1。由此實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定控制。

2.3 欠驅(qū)動(dòng)軸為對(duì)稱軸的航天器姿態(tài)穩(wěn)定

當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)軸為對(duì)稱軸，即I1＝I2時(shí)，姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程式（2）變?yōu)?/p>

可知ω3恒為常值，且不可控。此時(shí)若假設(shè)ω3（0）＝0，可得簡(jiǎn)化模型。文獻(xiàn)［6］證明簡(jiǎn)化模型在任意平衡點(diǎn)是“短時(shí)間局部可控的”，從而可進(jìn)行非連續(xù)控制律設(shè)計(jì)。

此時(shí)，只需經(jīng)過6次機(jī)動(dòng)即可實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器的姿態(tài)控制，其分析過程同欠驅(qū)動(dòng)軸為非對(duì)稱軸情況類似。

3 仿真

3.1 非軸對(duì)稱欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制

采用控制律式（11）～（13）、（15）～（19）對(duì)系統(tǒng)式（10）、（14）進(jìn)行穩(wěn)定。取控制參數(shù)k1＝k2＝0.25，α＝0.8，k3＝0.7；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常數(shù)α1＝α2＝－1，α3＝－0.42857；姿態(tài)角速度的初值為ω（0）＝［0.05－0.04－0.03］rad／s，姿態(tài)角初值為φ0＝π／3，θ0＝π／6，ψ0＝π／4，仿真結(jié)果如圖2～4所示。

由仿真結(jié)果可知：在t＝20s左右時(shí)，姿態(tài)角速度收斂至零附近；在t＝50s左右時(shí)，控制律式（15）作用，滾動(dòng)角φ收斂至零；在t＝75s左右時(shí)，控制律式（16）作用，俯仰角θ收斂至零；在t＝125s左右時(shí)，控制律式（17）作用，滾動(dòng)角φ收斂至π／2；在t＝155s左右時(shí)，控制律式（18）作用，偏航角ψ收斂至零；在t＝225s左右時(shí)，控制律式（19）作用，滾動(dòng)角φ再次收斂至零；在t＝350s左右時(shí)，姿態(tài)角速度和姿態(tài)角均收斂至零附近，姿態(tài)角的控制精度達(dá)到5×10－2（°），驗(yàn)證了本文控制律的有效性。

圖2 姿態(tài)角速度Fig.2 Attitude angular velocity

圖3 姿態(tài)角Fig.3 Attitude angle

圖4 控制輸入Fig.4 Control input

3.2 軸對(duì)稱欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制

采用控制律式（11）、（15）～（19）對(duì)系統(tǒng)式（20）、（14）進(jìn)行穩(wěn)定。取控制參數(shù)k1＝k2＝0.2，α＝0.5，k3＝0.5；慣量常數(shù)α1＝－0.2，α2＝0.2；姿態(tài)角速度初值ω（0）＝［0.001 2－0.001 25］rad／s，姿態(tài)角初值φ0＝π／2，θ0＝π／4，ψ0＝π／2，仿真結(jié)果 如 圖5～7。

圖5 姿態(tài)角速度Fig.5 Attitude angular velocity

圖6 姿態(tài)角Fig.6 Attitude angle

圖7 控制輸入Fig.7 Control input

由仿真結(jié)果可知：在t＝40s左右時(shí)，控制律式（15）作用，滾動(dòng)角φ收斂至零；在t＝100s左右時(shí)，控制律式（16）作用，俯仰角θ收斂至零；在t＝150s左右時(shí)，控制律式（17）作用，滾動(dòng)角φ收斂至π／2；在t＝230s左右時(shí)，控制律式（18）作用，偏航角ψ收斂至零；在t＝200s左右時(shí)，控制律式（19）作用，滾動(dòng)角φ再次收斂至零；在t＝500s左右時(shí)，姿態(tài)角速度和姿態(tài)角均收斂至零附近，姿態(tài)角的控制精度達(dá)到5×10－3（°），驗(yàn)證了本文控制律的有效性。

4 結(jié)束語

本文對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)只能提供兩軸獨(dú)立控制力矩的欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)控制進(jìn)行了研究。利用開關(guān)算法和退步控制技術(shù)，通過在不同控制律間的切換，分別設(shè)計(jì)了姿態(tài)角速度穩(wěn)定和姿態(tài)角穩(wěn)定的控制律，實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定控制律的設(shè)計(jì)。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制律的有效性，以及良好的動(dòng)態(tài)過程和控制精度。本文控制律的優(yōu)點(diǎn)是可在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)漸近穩(wěn)定，缺點(diǎn)主要是因采用不同控制律間的切換實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制，魯棒性較差，對(duì)存在干擾和慣量積非零情況也需進(jìn)一步研究。

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