楊留猛，俞建寧，安新磊，張文娟，宮興榮

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

在過(guò)去的幾十年，混沌系統(tǒng)的構(gòu)造一直被人們所關(guān)注［1－8］。自從1990年P(guān)ecora和Carroll［9］首次采用驅(qū)動(dòng)－響應(yīng)的方案實(shí)現(xiàn)混沌同步，并在電子線(xiàn)路上觀察到混沌同步現(xiàn)象以來(lái)，混沌同步就成為人們研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［10］根據(jù)混沌同步理論從時(shí)間序列中構(gòu)造出了混沌系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)［11］研究了2個(gè)隨機(jī)耦合RBNS混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象。Miliou等［12］研究了一個(gè)滿(mǎn)足混沌同步通信的非線(xiàn)性電子振蕩器。Kuntanapreeda.s［13］根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI法構(gòu)造了一個(gè)使2個(gè)相同混沌系統(tǒng)同步的控制器。文獻(xiàn)［14］利用混沌同步理論對(duì)Josephson結(jié)進(jìn)行了有效的控制。

本文首先提出了一個(gè)具有復(fù)雜混沌吸引子的非線(xiàn)性混沌自治三維系統(tǒng)，采用線(xiàn)性反饋控制方法，通過(guò)混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)確定控制參數(shù)的取值范圍，避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)所帶來(lái)的困難，實(shí)現(xiàn)了新系統(tǒng)的同步控制。最后進(jìn)行了電路實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了混沌吸引子的存在性和同步現(xiàn)象。

1 數(shù)學(xué)模型

本文構(gòu)造了一個(gè)三維自治混沌系統(tǒng):

其中:x=(x，y，z)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a，b，c∈R為參數(shù)。系統(tǒng)(1)中只含有2個(gè)非線(xiàn)性項(xiàng)。可以驗(yàn)證系統(tǒng)(1)和Lorenz系統(tǒng)族中的每一個(gè)系統(tǒng)都不具有拓?fù)涞葍r(jià)性，是一個(gè)全新的三維自治混沌系統(tǒng)。當(dāng)參數(shù)a=5，b=4，c=－4時(shí)，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)混沌吸引子，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

2 線(xiàn)性反饋同步控制及數(shù)值仿真

2.1 線(xiàn)性反饋同步

考慮混沌系統(tǒng):

以系統(tǒng)(2)為主系統(tǒng)，構(gòu)造從系統(tǒng):

采用線(xiàn)性反饋后得控制系統(tǒng):

令E=X－Y，則式(4)可寫(xiě)為

其中:G=［g1，g2，…，gn］T為 N 維非線(xiàn)性函數(shù)向量;E=［e1，e2，…，en］T為 N 維誤差狀態(tài)向量;K=diag［k1，k2，…，kn］T為線(xiàn)性反饋控制參數(shù)。

定理1 設(shè)k=k1=k2=…=kn，系統(tǒng)(2)的最大Lyapunov指數(shù)為λmax，則當(dāng)k＞λmax時(shí)‖E‖ =0。

本文定義▽V(X)為系統(tǒng)(2)的向量場(chǎng)散度。

由式(4)得

由式(5)得

又因?yàn)閗=k1=k2=…=kn，所以k＞λmax，定理1得證。

2.2 新系統(tǒng)的數(shù)值仿真

下面構(gòu)造受控系統(tǒng):

其中k為線(xiàn)性耦合系數(shù)。

定義狀態(tài)誤差信號(hào)

直接參照定理1來(lái)求取滿(mǎn)足同步條件的k值。當(dāng)a=5，b=4，c=－4時(shí)，可以很容易地求出系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.5888。當(dāng)k＞0.5888時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(6)的同步控制。

圖2 k取不同值時(shí)系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線(xiàn)

3 電路實(shí)驗(yàn)

混沌系統(tǒng)的最直接、最簡(jiǎn)單的物理實(shí)現(xiàn)是通過(guò)電路來(lái)完成的，許多混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為都是通過(guò)電路得到的驗(yàn)證［15］?；陔娮与娐吩O(shè)計(jì)原理，設(shè)計(jì)了混沌系統(tǒng)(2)在a=5，b=4，c=－4時(shí)的電路，如圖3所示。電路中的運(yùn)算放大器型號(hào)為T(mén)L084CN，乘法器型號(hào)為AD633(增益為0.1)，電源電壓值為12 V，其余電路元件參數(shù)值見(jiàn)圖3。

系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時(shí)的電路方程為

圖3 系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時(shí)的電路

根據(jù)圖3所示的電路進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)，分別在輸出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真相圖，如圖4所示，這與圖1的Matlab數(shù)值仿真結(jié)果一致。

圖4 系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時(shí)的電路實(shí)驗(yàn)相圖

通過(guò)加入線(xiàn)性反饋電路也可以得到系統(tǒng)(6)的電路，如圖5所示。

圖5中:R1=R2=R14=R16=R19=R20=R30=R32=100 kΩ;R3=R8=R9=R13=R15=R21=R26=R27=R29=R31=10 kΩ;R4=R10=R22=R28=20 kΩ;R7=R25=25 kΩ;R5=R6=R11=R12=R17=R18=R23=R24=R33=R34=R35=R36=R37=R38=R39=R41=R42=R43=R45=R46=R47=1kΩ;C1=C2=C3=C4=C5=C6=1 μF。

當(dāng) R40=R44=877.19 kΩ，R48=175.44 kΩ 時(shí)，k=0.57;當(dāng) R40=R44=625 kΩ，R48=125 kΩ 時(shí)，k=0.8;當(dāng) R40=R44=500 kΩ，R48=100 kΩ 時(shí)，k=1;當(dāng)R40=R44=333.33 kΩ，R48=66.67 kΩ 時(shí)，k=1.5。當(dāng)k取不同值時(shí)，系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線(xiàn)如圖6所示。由此可見(jiàn)，電路實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，系統(tǒng)(6)的同步電路是真實(shí)存在的。

圖5 系統(tǒng)(6)在a=5，b=4，c=－4時(shí)的電路

圖6 系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線(xiàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先提出了一個(gè)非線(xiàn)性混沌自治三維系統(tǒng)以及線(xiàn)性反饋控制同步的思想，從理論和數(shù)值2方面對(duì)線(xiàn)性反饋同步控制進(jìn)行了分析和仿真。結(jié)果表明，該控制方法具有普適性，可以應(yīng)用于其他的混沌系統(tǒng)的同步控制當(dāng)中。最后利用電路仿真軟件對(duì)新系統(tǒng)的一個(gè)吸引子及其同步進(jìn)行了仿真，達(dá)到很好的效果。

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