馬曉峰 湯永浩 盛衛(wèi)星

（南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094）

引 言

為有效提高雷達系統(tǒng)的威力和抗干擾能力，要求其天線具有窄波束、高增益、低旁瓣。現(xiàn)有的有源相控陣雷達、數(shù)字陣列雷達，通常采用幅度加權的方式來抑制旁瓣電平，該方法的缺點是每個陣元的功率無法充分利用，加窗還會造成波瓣展寬、能量泄露等問題。有文獻討論采用子陣優(yōu)化布陣的方法來降低旁瓣和抑制柵瓣［1-2］，但依然需要采用加窗處理的方法；也有文獻討論相控陣唯相位的發(fā)射波束形成方法，但是由于自由度的限制，低旁瓣優(yōu)化程度有限［3-4］，無法滿足實際需要。

多輸入多輸出（MIMO）雷達是近期雷達領域的研究熱點。其中，集中式 MIMO雷達［5-6］由于波形多樣性帶來了額外的自由度，為設計更低旁瓣的發(fā)射波束方向圖帶來了可能。適當?shù)卦O計陣元間發(fā)射波形的相關性，可以使得天線輻射能量集中于空間感興趣的區(qū)域，或者匹配于一個給定的方向圖，同時能夠確保感興趣的多目標之間的回波相關性最小，從而有效提高接收端自適應陣列信號處理算法的性能［7-12］。本文針對集中式 MIMO雷達（以下簡稱MIMO雷達）的低旁瓣發(fā)射波束形成的需求展開陣元發(fā)射波形的優(yōu)化設計。

基于MIMO雷達的發(fā)射波形設計，發(fā)射信號之間的互相關特性都是可以任意選擇的。為了能夠充分利用波形多樣性帶來的自由度，文獻［7］-［12］都采用通過優(yōu)化信號之間的相關矩陣R的方法來設計波形，以匹配期望的方向圖。這一類設計思想著重于波束形狀的匹配，而對旁瓣的約束不是很嚴格，設計出的方向圖旁瓣一般比較高。在實際工程應用中，我們更加傾向于能夠獲得具有較低旁瓣的方向圖設計方法。文獻［12］在確定的主瓣指向條件下，約束主瓣寬度，而對旁瓣區(qū)域則使得其最大值與主瓣峰值的差值最小，這是一個負值，因此是一個凸優(yōu)化問題。這種方法優(yōu)化出來的方向圖在滿足一定區(qū)域的主瓣寬度要求外，也擁有很低的旁瓣電平。然而，這種方向圖的旁瓣區(qū)域仍有一個“突起”——第一旁瓣電平比其他旁瓣高很多，這就意味著旁瓣仍有可以抑制的空間。為了消去這個“突起”，文獻［12］給出的解決辦法是在保證發(fā)射總功率恒定不變的情況下，允許每個陣元的發(fā)射功率有一個20%的上下浮動值，這樣能消除“突起”使得方向圖具有更低的旁瓣電平。然而，這種方法的實質與幅度加權的方法是類似的。

如果可以優(yōu)化發(fā)射波束的旁瓣區(qū)域，使該區(qū)域旁瓣電平保持平坦，則可以獲得理論最低的最高旁瓣電平。以此為出發(fā)點，提出了一種極小極大準則下的旁瓣電平優(yōu)化算法，能夠在保證陣元等功率的情況下很好地解決旁瓣區(qū)域電平變化劇烈這一問題，從而獲得更低的第一旁瓣電平；接著，為了采用迭代算法優(yōu)化求解，我們將上述有約束優(yōu)化問題簡化為無約束優(yōu)化問題，并采用擬牛頓迭代法求解；最后，采用循環(huán)（CA）算法獲得易于數(shù)字陣列系統(tǒng)實現(xiàn)的相位編碼信號。

1 模型建立

考慮一個由M個陣元組成的均勻直線陣，陣元發(fā)射的信號為窄帶信號，陣元間距為半波長。假設第m個陣元在第n個采樣快拍發(fā)射的基帶信號為xm（n），則在空間角度θk處合成的基帶信號為

記陣列發(fā)射信號向量x（n）=［x1（n），x2（n），…，xM（n）］T，陣列在θk方向的導向性矢量為

則式（1）可以寫成向量形式為

式中（·）H為共軛轉置。因此，在空間θk處合成的能量大小為

式中:E（·）為期望操作；R為發(fā)射信號x（n）的相關矩陣，即

實際應用中，相關矩陣R可以通過N次快拍估計得到，有

公式（3）給出了發(fā)射方向圖的表達式，通過對R矩陣的優(yōu)化，在保證陣元等功率的條件下，可以使得方向圖P（θk）具有所期望的低旁瓣特性。

因為R是信號波形的相關矩陣，因此，必然是一個半正定Hermit矩陣。此外，為了充分利用每個陣元的功率，提高雷達作用距離，要求每個陣元的發(fā)射功率放大器均工作在飽和狀態(tài)，也就是矩陣R的對角元素應該都相等［9］。矩陣R的約束條件可以表述為

式中c表示發(fā)射總功率。

給出R矩陣的優(yōu)化準則和優(yōu)化算法，并僅考慮R為實矩陣的情況，此時得到的方向圖以法線方向對稱。若要獲得非對稱方向圖，可以使用公式（6）對實矩陣R進行處理，得到等效的復相關矩陣。即

式中:φ為方向圖平移角度，對于波束形成的應用，該角度即為波束指向角度；～R為復相關矩陣；⊙表示元素的Hadamrd積。

2.相關矩陣優(yōu)化

針對陣元等功率條件下，低旁瓣發(fā)射波束形成的要求，提出一種極小極大旁瓣電平的優(yōu)化方法，在保證陣元功率充分利用的條件下，使得最大旁瓣電平盡量的小，使所有旁瓣峰值大小大致相同，從而達到低旁瓣的目的。這種有約束優(yōu)化問題可以描述如下:

式中:θ0為主瓣指向角度；θ1和θ2分別為左右-3 dB功率點，所以θ2-θ1為主瓣寬度；Ф為旁瓣區(qū)域。該問題的約束條件保證了在每個陣元功率充分利用，且在滿足一定主瓣寬度的條件下，得到旁瓣電平最小化的優(yōu)化結果。這個問題可以使用凸優(yōu)化工具箱（CVX）求解［13］。

上述優(yōu)化問題是一個約束優(yōu)化問題，如果能去除式（7）的約束條件，就可以轉化為無約束優(yōu)化問題，從而便于使用多種經(jīng)典迭代算法求解，提高該問題求解的通用性；另外，無約束優(yōu)化問題經(jīng)過進一步推導還可以得到閉式解［9］?；谏鲜隹紤]，可借鑒多維球坐標的定義來消去式（7）的約束條件，并修改目標函數(shù)將這一問題轉化為無約束優(yōu)化問題［9］，然后采用經(jīng)典的DFP擬牛頓法來解決這一最優(yōu)化問題。具體的步驟如下:

第一步，相關矩陣R的去約束化。參考文獻［9］，引入一個R的均方根因子來保證R的半正定性，即

式中，Q是一個上三角矩陣，且滿足R一定是半正定的。

為了保證R中對角元素是相等的，要求Q矩陣每一列的范數(shù)都相等。采用多維球坐標的方法，定義上三角矩陣Q 如式（9）所示，其中，φ = ［φ21，φ31，φ32…，φM，M-1］T.這就將受約束的矩陣R的優(yōu)化轉化為無約束向量φ的優(yōu)化。因為R為φ的函數(shù)，可以將其記為R（φ）.

第二步，主瓣寬度的去約束化。由約束條件可以知道，主瓣寬度是由兩個-3dB功率點來約束的?？梢詫⑦@一約束條件加入優(yōu)化的目標函數(shù)，即定義

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法并考慮該問題對稱性質，可對式（7）的目標函數(shù)作如下修改

由于發(fā)射波束方向圖是對稱的，故可以保證式（11）取最優(yōu)值時，P0、P1、P2必然滿足如下條件

經(jīng)過以上兩步的變換，可以將式（7）的約束優(yōu)化問題變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題，從而可以采用簡單的無約束優(yōu)化方法來求解。

需要指出的是，牛頓法雖然是一種經(jīng)典的無約束優(yōu)化算法，但是在解決該問題時卻無法全局收斂。這是因為:牛頓法的基本思想是將目標函數(shù)f（φ）泰勒公式展開，用二次函數(shù)近似f（φ），并用迭代點指向近似二次函數(shù)的極小點的方向來構造搜索方向，從而具有二階收斂速度，但是當Hesse矩陣不正定時，并不能保證所產(chǎn)生的方向是目標函數(shù)的下降方向，若Hesse矩陣奇異時，會造成算法無法進行下去。此外，牛頓法每一步迭代都需要計算目標函數(shù)的二階導數(shù)，即Hesse矩陣，對于大規(guī)模問題計算量驚人。然而擬牛頓法可以克服這些缺點［14］，因此采用擬牛頓法來計算該最優(yōu)化問題。

DFP擬牛頓法是第一個擬牛頓校正，它是求解無約束優(yōu)化問題最有效的算法之一。它的好處是最優(yōu)步長的選取避免了Hesse矩陣及其逆矩陣的計算。在式（11）最優(yōu)化問題的每一步迭代過程中，Hesse的奇異性是不可避免的，而采用DFP校正法可以很好地避免這一問題，從而能夠用經(jīng)典的方法來解決這一優(yōu)化問題，得到近似的結果。

3 相位編碼信號優(yōu)化

在優(yōu)化得到滿足需求的相關矩陣R的基礎上，接下來需要解決的是如何從R得到數(shù)字陣列雷達能夠發(fā)射的信號波形X，使得信號波形X的相關矩陣等于或者近似于矩陣R.

若假設發(fā)射信號X∈CL×M，其中L為信號波形快拍數(shù)或者碼元長度。由式（4）可以得到X與其相關矩陣R之間的關系滿足

式中U是一個L×M維半正交矩陣（UHU=I）。當然，發(fā)射信號X仍然受到恒模條件的約束（記為C）。為了得到滿足約束條件C的X，或者至少是一個近似的解，可以將其歸為一種數(shù)學規(guī)劃函數(shù)問題，即

文獻［11］提出一種循環(huán)（CA）算法，來優(yōu)化式（14），文獻［15］根據(jù)二進制相移鍵控（BPSK）或者四進制相移鍵控（QPSK）信號的相關矩陣Rg與滿足優(yōu)化準則的R之間的非線性關系，直接用式（13）推導出X與R之間的關系式。

為了說明第二節(jié)低旁瓣MIMO雷達的相關矩陣優(yōu)化在工程上的可實現(xiàn)性，采用文獻［11］的CA算法，以第二節(jié)得到的相關矩陣R為基礎，優(yōu)化得到具有恒模特性的相位編碼發(fā)射波形X.CA算法的主要思想是:先確定U（或者X），優(yōu)化X（或者U）滿足式（13），然后在求得的X（或者U）基礎上，優(yōu)化U（或者X），如此反復，直到式（13）小于給定誤差為止。具體算法推導可以參考文獻［11］、［16］。

4 計算機仿真

在下面所有的仿真例子中，假設MIMO雷達系統(tǒng)發(fā)射陣列為均勻線陣，發(fā)射陣元數(shù)為M，陣元間距為半波長，歸一化發(fā)射總功率為c=1，并且每個陣元發(fā)射功率相等。

4.1 基于相關矩陣R的發(fā)射方向圖設計

假設主瓣指向0°，主瓣寬度為20°，此時主瓣的兩個3dB功率點分別為θ1=-10°，θ2=10°.旁瓣區(qū)域為Ф ∈［-90°，-20°］∪［90°，20°］.M=10的情況下，圖1分別畫出了極小極大旁瓣法和文獻［12］最小旁瓣法準則下的發(fā)射方向圖優(yōu)化結果?？梢钥吹?，文獻［12］中的旁瓣區(qū)域有個“突起”，第一旁瓣峰值電平約為-16.5dB，而在極小極大準則下，通過減少旁瓣區(qū)域電平的起伏，可以將第一旁瓣峰值電平拉低至-17.5dB以下。

實際工程應用中，方向圖主瓣并不總是指向0°，旁瓣電平也需要低于-20dB.針對這一需求，給出下面的仿真設置:陣元M=30，主瓣寬度為8°，主瓣指向10°.采用極大極小準則優(yōu)化得到指向0°的低旁瓣方向圖，再采用式（6）將主瓣平移至10°，優(yōu)化設計得到的低旁瓣方向圖如圖2所示，可以看到主旁瓣比優(yōu)于-22dB，旁瓣區(qū)域非常平坦，通過式（6）平移后波束的旁瓣電平提高并不明顯。

4.2 相位編碼信號設計

本節(jié)使用圖1極小極大旁瓣電平優(yōu)化準則得出的相關矩陣R，設計各個陣元的發(fā)射相位編碼波形，相位編碼碼長L=64，此時X是一個64×10維的矩陣。

圖3為采用CA算法優(yōu)化得到的10個陣元相位編碼信號波形，該波形可以方便地在實際數(shù)字陣列系統(tǒng)中實現(xiàn)。

圖3 M＝10個陣元發(fā)射信號的相位編碼

圖4使用優(yōu)化得到的發(fā)射信號X，計算相關矩陣，并畫出方向圖。該方向圖與理論方向圖基本重合，說明CA算法優(yōu)化得到的發(fā)射信號X的相關矩陣很好地逼近期望相關矩陣R.

圖4 使用優(yōu)化得到的發(fā)射波形所對應的發(fā)射方向圖與給定相關矩陣R的方向圖比較

5 結 論

與傳統(tǒng)的相控陣相比，MIMO雷達陣元波形選擇具有更大的靈活性，為發(fā)射方向圖設計提供了更多的自由度。通過優(yōu)化發(fā)射信號的相關矩陣，不需要借助陣元間幅度加權，即可在保證陣元等功率條件下獲得滿足實際系統(tǒng)要求的低旁瓣高增益發(fā)射波束。

本文所提優(yōu)化方法獲得的方向圖主瓣寬度，必須適當寬于相同陣元數(shù)量的等幅度分布均勻陣的主瓣寬度，如何優(yōu)化選擇集中式MIMO雷達發(fā)射波束主瓣寬度，得到更低的副瓣電平，這仍然是一個值得繼續(xù)研究的課題。

［1］林志強，姚敏立，沈曉衛(wèi).基于遺傳算法多子陣平板天線旁瓣電平優(yōu)化［J］.電波科學學報，2011，26（2）:369-375.LIN Zhiqiang，YAO Minli，SHEN Xiaowei.Sidelobe reduction of the planar antenna with multiple subarrays based on genetic algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2011，26（2）:369-375.（in Chinese）

［2］黃 飛，盛衛(wèi)星，馬曉峰.隨機錯位子陣陣列天線及其優(yōu)化設計［J］.電波科學學報，2008，23（5）:917-921.HUANG Fei，SHENG Weixing，MA Xiaofeng.Plane antenna arrays with randomly staggered subarrays and its optimal design［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（5）:917-921.（in Chinese）

［3］DEFORD J F，GANDHI O P.Phase-only synthesis of minimum peak sidelobe patterns for linear and planar arrays［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation，1988，36（2）:191-201.

［4］閆秋飛，范國平，徐朝陽.一維唯相位低副瓣技術研究 ［J］.船舶電子對抗，2009，32（5）:52-55.YAN Qiufei，F(xiàn)AN Guoping，XU Chaoyang.Study of low side lobe technique with phase-only on linear arrays［J］.Shipboard Electronic Countermeasure，2009，32（5）:52-55.（in Chinese）

［5］DAUM F，HUANG J.MIMO radar:snake oil or good idea？［J］.IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine，2009，24（5）:8-12.

［6］LI J，STOICA P.MIMO radar with co-located antenna:review of some recent work［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2007，24（5）:106-114.

［7］AITTOMAKI T，KOIVUNEN V.Signal covariance matrix optimization for transmit beamforming in MIMO radars［C］∥The Forty-First Asilomar Conference on Signals，Systems and Computers.Pacific Grove，November 4-7，2007:182-186.

［8］FUHRMANN D R，ANTONIO G S.Transmit beamforming for MIMO radar systems using signal crosscorrelation［J］.IEEE Trans on Aerosp Electron Syst，2008，44（1）:171-186.

［9］AHMED S，THOMPSON J S，MULGREW B，et al.Unconstrained synthesis of covariance matrix for MIMO radar transmit beampattern［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2011，59（8）:3837-3849.

［10］胡亮兵，劉宏偉，劉保昌，等.MIMO雷達發(fā)射方向圖匹配和波形優(yōu)化方法［J］.西安電子科技大學學報:自然科學版，2009，36（6）:1021-1033.HU Liangbing，LIU Hongwei，LIU Baochang，et al.Transmit beampattern matching design and waveform optimization for MIMO radar［J］.Journal of Xidian University:Science and Technology，2009，36（6）:1021-1033.（in Chinese）

［11］STOICA P，LI J，ZHU X.Waveform synthesis for diversity-based transmit beampattern design［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2008，56（6）:2593-2598.

［12］STOICA P，LI J，XIE Y.On probing signal design for MIMO radar［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2007，55（8）:4151-4161..

［13］GERSHMAN A B，SIDIROPOULOS N D，SHAHBAZPANAHI M B，et al.Convex optimization based beamforming［J］.IEEE signal processing magazine，2010，27（3）:62-75.

［14］劉韻佛，劉 崢，謝 榮.一種基于擬牛頓法的MIMO雷達發(fā)射方向圖綜合方法［J］.電波科學學報，2008，23（6）:1188-1193.LIU Yunfo，LIU Zheng，XIE Rong.Transmit pattern synthesis algorithm for MIMO radar based on newton-like method［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（6）:1188-1193.（in Chinese）

［15］AHMED S，THOMPSON J S，MULGREW B，et al.Finite alphabet constant-envelope waveform design for MIMO radar［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2011，59（11）:5326-5337.

［16］TROPP J A，DHILLON I S，HEATH R W，et al.Designing structured tight frames via an alternating projection method［J］.IEEE Trans Inf Theory，2005，51（1）:188-209.