胡 玲

（黃山學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 黃山 245041）

非線性偶階常微分方程組邊值問題的多重正解

胡 玲

（黃山學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 黃山 245041）

對非線性偶階常微分方程組的邊值問題，在一定的條件下，通過運用抽象的不動點定理，獲得了正解的存在性和多重性。

邊值問題；正解；多重性；格林函數；錐

一直以來，常微分方程邊值問題的正解存在性受到了數學學科以及工程學科的廣泛關注，如［1］［2］。就我們所知，現在的結論還停留在單個方程和簡單的邊值條件上。在［3］中，這樣的問題被研究：

應用Krasnosel＇skii不動點定理，（1）的解的存在性可以得到，在［2］中，考慮了方程組的邊值問題：

應用度理論，（2）的解也可以得到。注意到，（1）中僅有單個方程，而（2）中的邊值條件很簡單。由［2］［3］中研究的啟發(fā)，本文研究如下邊值問題的正解存在性和多重性：

其中f，g∈C（［0，1］×R＋，R＋），f（x，0）≡0，g（x，0）≡0，0≤i≤m－1。對于（3）的解的存在性的研究包括格林函數的性質，這在錐的定義上起了很大作用。Krasnosel＇skii不動點定理［4］是最終給出解的存在性的理論基礎，另一個解的多重性的結論則需要另一個關于多重性的不動點定理。

下節(jié)中，我們首先給出一些記號和引理，主要結論，關于邊值問題（3）的正解的存在性和多重性，將在第三部分給出。

1 引理

設G（x，y）是如下邊值問題的格林函數：

容易得到

設Gk（x，y）是如下線性偶階Lidstone邊值問題的格林函數：

則由［10］我們知道

Gk（x，y）＝∫10Gk－1（x，ξ）G（ξ，y）dξ，2≤k≤ m。

顯然，（u，v）∈C（2m）［0，1］×C（2m）［0，1］是邊值問題（3）的解當且僅當（u，v）∈C［0，1］×C［0，1］是如下積分方程組的解：

積分方程（4）可轉化為如下非線性積分方程

引理1Gm（x，y）滿足：

顯然P為E中的一個正錐。定義

引理2 算子A如上定義，則A：P→P是一個全連續(xù)算子。

綜上所述我們知道，關于（3）的正解存在性問題可以轉化為算子A的不動點存在性問題。

若以下兩條之一成立：

（i）‖Au‖≤‖u‖，u∈P∩?Ω1，并且‖Au‖≥‖u‖，u∈P∩?Ω2

（ii）‖Au‖≥‖u‖，u∈P∩?Ω1，且‖Au‖≤‖u‖，u∈P∩?Ω2

2 主要結論

首先提出下列假設：

3）要從整體上提高競技健美操運動員動力性力量難度動作的技術水平，應加強女子上肢力量和核心部位的訓練，全面提高運動員的技術水平與體能，更深層次了解和運用難度動作的規(guī)格。

（A5）f（x，u），g（x，u）關于u是單調上升函數，且?N′＞0，s.t.

定理1 若（A1）（A2）滿足，那么（3）至少有一個正解（u，v）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）滿足u（x）＞0，v（x）＞0。

證明 由（A1），?H1∈ （0，1），s.t.?（x，u）∈ ［0，1］×（0，H1），有

另一方面，由（A2），存在四個正數μ，μ′，C1，C2使得

其中μ，μ′滿足

通過直接計算可得

定理2 若（A3）（A4）滿足，那么（3）至少有一個正解（u，v）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）滿足 u（x）＞0，v（x）＞0。

證明如定理1的證明。

定理3 若（A2）（A3）（A5）滿足，那么（3）至少有兩個正解（u1，v1），（u2，v2）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）。

∈E：‖u‖＜N′｝，則由（A5），?u∈?BN′∩P，x∈［0，1］，得

因此

又由（A2）（A3）我們有

例題 下面給出一些例子說明上述結論。當m＝2時，

（i）設f（x，v）＝v4，g（x，u）＝u5，定理1條件滿足，因此BVP（3）至少有一個正解。

［1］R.Y.Ma，Multiple nonnegative solutions of second－order systems of boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2000，42：1003－1010.

［2］楊志林，孫經先，非線性二階常微分方程組邊值問題的正解［J］.數學學報，2004，47（1）：111－118.

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［11］D.J.Guo and L.Lakshmikantham，Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.Academic Press，New York 1988.

Multiple Positive Solutions of BVPs for Nonlinear Even Order Differential Equations

Hu Ling

It is concerned with boundary value problems for systems of nonlinear even order differential equations.Under the suitable conditions，the existence and multiplicity of positive solutions are established by using abstract fixed－point theorems.

Boundary value problems；positive solutions；multiplicity；Green＇s functions；Cones

O175

A

1673-1794（2012）05-0007-03

胡 玲（1981－）女，安徽黃山人，碩士研究生，講師，主要從事微分方程研究。

2012-07-12