軟土隧道橫向抗震分析的簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法

黃茂松 ，劉鴻哲 ，曹 杰

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；3. 中國(guó)民航機(jī)場(chǎng)建設(shè)集團(tuán)公司 機(jī)場(chǎng)工程科研基地，北京 100621）

1 引 言

長(zhǎng)期以來，人們一直借鑒上部結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)方法來對(duì)地下建構(gòu)筑物進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)，而且普遍認(rèn)為，地下結(jié)構(gòu)具有良好的抗震性能，因此，在這方面的研究并不深入。直到1995年的日本神戶地震，一些地鐵車站和區(qū)間隧道遭到了嚴(yán)重破壞[1]，這才引起了研究工作者對(duì)地下結(jié)構(gòu)抗震問題的重視。地下隧道作為城市生命線工程的重要組成部分，其抗震安全性就顯得尤為重要。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面開展了大量的研究，提出了多種設(shè)計(jì)分析方法。Penzien 等[2－3]、Davis等[4]、Hashash 等[5]、Huo等[6]、張棟梁等[7]提出了在地震荷載作用下隧道截面內(nèi)力及變形計(jì)算的解析方法。Gil等[8]以有限單元法分析結(jié)果為基礎(chǔ)，提出了在垂直入射的剪切波及壓縮波作用下方形截面隧道地震內(nèi)力的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。Pakbaz等[9]采用二維有限差分計(jì)算程序，研究了地震作用下土與隧道襯砌間的相互作用。黃茂松等[10]基于平面應(yīng)變假定，采用彈性理論推導(dǎo)了圓形孔洞土彈簧剛度的解析表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上建立了圓形隧道橫向地震響應(yīng)的簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法。

可以發(fā)現(xiàn)，常用的隧道橫向抗震分析方法，從力學(xué)特性上可分為地層－結(jié)構(gòu)整體動(dòng)力時(shí)程分析法、擬靜力法和靜力法（地震系數(shù)法）3大類。其中，整體動(dòng)力時(shí)程分析方法涉及到黏彈性邊界的設(shè)置及土體非線性等問題，計(jì)算過程十分復(fù)雜，因此，很難推廣應(yīng)用到具體的工程設(shè)計(jì)中。而擬靜力法形式相對(duì)簡(jiǎn)單，同時(shí)又較傳統(tǒng)的地震系數(shù)法[11]考慮的因素更為全面，因此，是一種較實(shí)用的計(jì)算方法。在隧道的橫截面抗震設(shè)計(jì)中，常用的擬靜力法主要有自由場(chǎng)變形法[12]、響應(yīng)位移法[13]、BART法[14]、相對(duì)剛度法[15]等。其中，響應(yīng)位移法引入了能夠體現(xiàn)土與結(jié)構(gòu)剛度差異的土彈簧，考慮了土與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用，因此，是一種更為精確和合理的分析方法。

本文主要研究在垂直基巖入射的剪切波作用下軟土隧道的橫向抗震設(shè)計(jì)問題，采用的方法為響應(yīng)位移法。首先介紹了響應(yīng)位移法的計(jì)算原理及詳細(xì)的計(jì)算過程，然后基于整體動(dòng)力時(shí)程分析方法，以方形截面隧道為例，將響應(yīng)位移法的計(jì)算結(jié)果與整體動(dòng)力有限元進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證了響應(yīng)位移法的合理性。響應(yīng)位移法中的土彈簧剛度一般采用靜力有限元的手段獲得，本文出于簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法計(jì)算的目的，采用平面應(yīng)變假定，利用彈性理論的復(fù)變函數(shù)解法推導(dǎo)了土彈簧剛度的解析表達(dá)式，然后將土彈簧剛度、地層應(yīng)力及自由場(chǎng)反應(yīng)位移的簡(jiǎn)化模式應(yīng)用到響應(yīng)位移法中，并結(jié)合整體動(dòng)力有限元方法進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了簡(jiǎn)化后的響應(yīng)位移法的準(zhǔn)確性。

2 響應(yīng)位移法的計(jì)算與驗(yàn)證

2.1 響應(yīng)位移法計(jì)算原理

響應(yīng)位移法的計(jì)算原理主要是根據(jù)地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)主要取決于周圍地層相對(duì)位移這一特性，將天然地層的地震反應(yīng)位移差以靜荷載的方式施加在土彈簧遠(yuǎn)端，以此來求得隧道結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。計(jì)算時(shí)主要考慮自由場(chǎng)反應(yīng)位移、地層剪力及慣性力3種荷載作用，在實(shí)際的隧道橫截面抗震設(shè)計(jì)中，首先進(jìn)行自由場(chǎng)土體地震反應(yīng)分析，提取自由場(chǎng)中相當(dāng)于隧道所在位置處隧道頂部和底部間發(fā)生最大相對(duì)變形時(shí)刻的內(nèi)力及變形值；然后將此時(shí)刻的土體反應(yīng)位移差施加在土彈簧遠(yuǎn)端，將地層剪力施加在隧道四周，將慣性力施加在隧道結(jié)構(gòu)上，對(duì)隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力建模求解。計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 響應(yīng)位移法計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculational diagram model of response displacement method

2.2 自由場(chǎng)位移及地層剪力計(jì)算

自由場(chǎng)地震反應(yīng)位移可通過一維等效線性化SHAKE程序或者二維動(dòng)力有限元獲得，本文采用的方法是二維動(dòng)力有限元法。以自由場(chǎng)中隧道頂部和底部產(chǎn)生最大相對(duì)變形的時(shí)刻為準(zhǔn)，提取此時(shí)刻的地層反應(yīng)位移及地層剪應(yīng)力。在進(jìn)行動(dòng)力有限元分析時(shí)，需要在側(cè)向施加人工黏彈性邊界，以模擬無限地基的輻射阻尼及彈性恢復(fù)效應(yīng)。

2.3 土彈簧剛度的計(jì)算

土彈簧剛度可采用靜力有限元法獲得，將隧道部分看作一個(gè)空洞，分別在空洞法向及切向施加單位荷載，以此來求得周圍土的剛度系數(shù)。側(cè)向土彈簧剛度的計(jì)算如圖2所示，同理可計(jì)算出頂板和底板處地層彈簧系數(shù)。

圖2 土彈簧剛度計(jì)算方法Fig.2 Calculation method for soil spring stiffness

2.4 響應(yīng)位移法驗(yàn)證

本文采用地層-結(jié)構(gòu)整體動(dòng)力有限元方法，對(duì)響應(yīng)位移法進(jìn)行驗(yàn)證。計(jì)算模型寬度為200 m，深度為70 m，隧道尺寸為8.5 m×8.5 m。隧道結(jié)構(gòu)用梁?jiǎn)卧M，土體采用平面應(yīng)變實(shí)體單元模擬。模型底部固結(jié)，側(cè)向施加黏彈性人工邊界，計(jì)算模型如圖3所示，圖4為輸入的地震波曲線。計(jì)算中所采用的物理力學(xué)參數(shù)見表1。

圖3 整體動(dòng)力有限元法計(jì)算模型Fig.3 Computational model of whole dynamic finite element method

圖4 地震加速度時(shí)程曲線Fig.4 Time history curve of seismic acceleration

表1 物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Physico-mechanical parameters

圖5及圖6分別為響應(yīng)位移法和動(dòng)力有限元的計(jì)算結(jié)果，通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，響應(yīng)位移法的內(nèi)力分布圖與動(dòng)力有限元法基本一致，內(nèi)力的極值位置均出現(xiàn)在隧道4個(gè)角點(diǎn)處，而且內(nèi)力都關(guān)于過隧道中心的豎向軸呈對(duì)稱分布。除此之外，經(jīng)過大量的算例分析表明，慣性力對(duì)隧道結(jié)構(gòu)的內(nèi)力影響非常小，大約在1%左右，因此，可以完全忽略慣性力。這從另一個(gè)方面也說明，隧道由于受到周圍土的約束，其本身的慣性特性發(fā)揮不出來，土結(jié)構(gòu)之間的動(dòng)力相互作用要遠(yuǎn)大于慣性相互作用。

圖5 響應(yīng)位移法計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation results of response displacement method

圖6 動(dòng)力有限元法計(jì)算結(jié)果Fig.6 Calculation results of whole dynamic element

3 基于土彈簧剛度解析形式的簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法

在響應(yīng)位移法的計(jì)算中，土彈簧剛度通過靜力有限元求得，而地層位移及地層應(yīng)力則通過動(dòng)力有限元求得，因此，計(jì)算過程復(fù)雜，很難應(yīng)用到具體的工程設(shè)計(jì)中?；诖?，本文推導(dǎo)了土彈簧、地層位移及應(yīng)力的解析表達(dá)式。

3.1 土彈簧剛度的推導(dǎo)過程

基于平面應(yīng)變假定，采用彈性理論的復(fù)變函數(shù)法[16]推導(dǎo)了無限大土體中方形孔洞周圍土體彈簧剛度的解析表達(dá)式。計(jì)算模型如圖7所示，分別在孔洞內(nèi)邊界施加單位法向及單位切向荷載，求得此時(shí)孔邊的變形，進(jìn)而求得彈簧剛度。由模型A可求得法向彈簧剛度，由模型B可求得切向彈簧剛度。

圖7 土彈簧剛度計(jì)算模型Fig.7 Calculational models of soil spring stiffness

平面應(yīng)力函數(shù)U可以用兩個(gè)解析函數(shù)φ1(z)和χ1(z)來表示，表達(dá)式如下：

因此，位移也可通過解析函數(shù)φ1(z)和χ1(z)來表達(dá)，表達(dá)式為

式中：G為剪切模量；u和v為位移分量；ν為泊松比； χ1′ (z)=ψ1(z)。

無限域上的復(fù)位勢(shì)公式為

式中：fx、fy為孔邊荷載合力分量；B和B′+iC′可通過式（8）、（9）求得。

φ0(ζ)、ψ0(ζ)可通過式（10）和式（11）求得。

從上面幾式可看出，只要知道了孔邊面力及無窮遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，就可求得復(fù)位勢(shì)，進(jìn)而求得應(yīng)力和位移。對(duì)于模型A，可取保角變換函數(shù)為

結(jié)合孔邊及無窮遠(yuǎn)處的邊界條件可得：

將式（12）、（13）一起代入式（10）、（11）中，可得：

將（14）、（15）代入式（5）中，可得

因此，孔口處法向彈簧剛度為

沿隧道周邊任意給定一個(gè)α值，就可根據(jù)式（12）求出對(duì)應(yīng)z平面上的點(diǎn)。

同理，可求得模型B的復(fù)位勢(shì)為

泛酸激酶2相關(guān)的神經(jīng)變性病的臨床特點(diǎn)（附1例報(bào)告） … ………………… 李雯雯，孫啟英，易芳，等 61

由此可求得孔口處切向彈簧剛度為

為了對(duì)解析解進(jìn)行驗(yàn)證分析，本文以方形隧道周圍法向土彈簧剛度為例，對(duì)解析解和有限元解進(jìn)行對(duì)比分析。有限元模型仍采用前文提供的物理力學(xué)參數(shù)，對(duì)比結(jié)果如圖8所示。

從圖8可以看出，側(cè)墻的解析解和有限元解的吻合程度要優(yōu)于底板和頂板，原因是解析解和有限元解的邊界條件是不一樣的。解析解是基于無限域提出的，而有限元解則考慮了實(shí)際隧道的埋深，因此，二者之間必然會(huì)產(chǎn)生差別，而且這種差別會(huì)隨著隧道埋深的增加而減小。當(dāng)隧道埋深非常深時(shí)，二者的解將會(huì)非常吻合。同時(shí)，從圖上也可看出，隧道角點(diǎn)處的差別遠(yuǎn)大于隧道邊中的差別，這是因?yàn)榉叫嗡淼赖?個(gè)角點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中的現(xiàn)象，而且本文的保角變換函數(shù)取的項(xiàng)數(shù)較少，造成了角點(diǎn)處的形狀差異較大。

3.2 地層位移及剪應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算

（1）地層位移的簡(jiǎn)化

當(dāng)考慮隧道等地下結(jié)構(gòu)的橫向抗震問題時(shí)，可將自由場(chǎng)沿隧道深度方向的反應(yīng)位移假定為余弦模式，即

式中：Su為基底速度反應(yīng)譜；Ts為地層固有周期；H′為基巖上覆土層厚度。

地層固有周期Ts可通過剪切波速和地層厚度計(jì)算，即

圖8 法向彈簧剛度對(duì)比Fig.8 Comparisons of normal soil spring stiffness

Su為震動(dòng)基準(zhǔn)面速度反應(yīng)譜，可通過下式計(jì)算

Sv為單位水平地震系數(shù)的速度反應(yīng)譜，可根據(jù)文獻(xiàn)[13]確定，如圖9所示；Kh為水平地震系數(shù)，可由地震動(dòng)峰值加速度確定。

圖9 單位水平系數(shù)的速度反應(yīng)譜Fig.9 Velocity response spectrum for unit horizontal seismic coefficient

（2）地層應(yīng)力的簡(jiǎn)化

Penzien在文獻(xiàn)[3]中指出，由于隧道橫截面的尺寸遠(yuǎn)小于地震動(dòng)的波長(zhǎng)，因此，當(dāng)剪切波垂直基巖向上入射時(shí)，自由場(chǎng)和隧道之間的相互作用為均勻剪切作用，變形如圖10所示。本文基于此，并采用上文中提出的簡(jiǎn)化位移計(jì)算模式，推導(dǎo)了地層應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

圖10 自由場(chǎng)土變形圖Fig.10 Deformation of free field soil

地層應(yīng)力可有下式近似求出

式中：Gs為土體剪切模量；H′為隧道高度；tc為產(chǎn)生最大變形時(shí)刻；zt、zb分別為隧道頂部和底部位置。

3.3 對(duì)比驗(yàn)證

以整體動(dòng)力有限元的計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)，對(duì)簡(jiǎn)化后的響應(yīng)位移法進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算模型仍采用上述的計(jì)算模型，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

從圖11中可以看出，簡(jiǎn)化后的響應(yīng)位移法計(jì)算結(jié)果與整體動(dòng)力有限元法符合較好，內(nèi)力分布規(guī)律一致，極值仍出現(xiàn)在隧道4個(gè)角點(diǎn)處，只是數(shù)值比簡(jiǎn)化前的響應(yīng)位移法偏低，軸力及剪力的減小量較彎矩要多，造成這種現(xiàn)象的原因是土體彈簧系數(shù)的解析表達(dá)式帶來的誤差。

表2為簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法與整體動(dòng)力有限元法和響應(yīng)位移法計(jì)算得到的軸力、剪力以及彎矩最大值和最小值的對(duì)比。表中方法1為采用整體動(dòng)力有限元求解，方法2為響應(yīng)位移法，方法3為簡(jiǎn)化的響應(yīng)位移法。

從表2可看出，方法3計(jì)算出的隧道內(nèi)力分布規(guī)律與方法1和方法2均一致，最大和最小值位置均出現(xiàn)在隧道4個(gè)角點(diǎn)處。除此之外，方法3得到的內(nèi)力極值要明顯低于方法 2，造成這種差異的原因是方法3采用了無限大彈性體假定來計(jì)算土彈簧剛度。但對(duì)于具體的工程設(shè)計(jì)，方法3和方法2的誤差（彎矩10%，軸力30%）仍在可接受的范圍內(nèi)，這也說明本文提出的簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法是一種快速實(shí)用的計(jì)算方法，能夠滿足工程精度的要求。

圖11 簡(jiǎn)化響應(yīng)位移法計(jì)算結(jié)果Fig.11 Calculational results of simplified response displacements

表2 3種方法的對(duì)比結(jié)果Table 2 Results of comparison among three methods

4 結(jié) 論

（1）本文推導(dǎo)了土彈簧剛度、地層位移和地層剪應(yīng)力的解析表達(dá)式，建立了簡(jiǎn)化的響應(yīng)位移法，此種方法比傳統(tǒng)的響應(yīng)位移法計(jì)算更方便，表達(dá)式更簡(jiǎn)單，易于應(yīng)用到具體的工程設(shè)計(jì)中。而且，此種方法也同樣適用于圓形、矩形等其他截面形式的隧道。

（2）本文在推導(dǎo)土彈簧剛度的解析表達(dá)式時(shí)，采用了無限大土體的假定，這與實(shí)際的情況有所出入，但經(jīng)過計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證，表明此種處理措施對(duì)隧道內(nèi)力的影響，仍能滿足工程精度的要求。

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