任 秀，金天坤，夏 晶

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

很多學者對于滿足置換恒等式的半群已經(jīng)進行了深入的研究。Yamada給出了滿足置換恒等式的半群的定義，并證明了滿足置換恒等式的帶是正規(guī)帶，給出了滿足置換恒等式的正則半群的結(jié)構(gòu)，即滿足置換恒等式的正則半群是交換正則半群與正規(guī)帶的織積[1]；郭小江給出了滿足置換恒等式的富足半群的結(jié)構(gòu)——滿足置換恒等式的富足半群是正規(guī)帶與C-半群的織積，其中C-半群是交換半群并且是可消半群的強半格[2]，并且將可置換性與rpp半群二者聯(lián)系起來，引入了PI-強rpp半群(滿足置換恒等式的強rpp半群)，同時證明了PI-強rpp半群是正規(guī)帶與交換可消幺半群的織積[3]；唐向東引入了廣義格林關(guān)系——A**-關(guān)系[4]，利用這一新格林關(guān)系給出了一類更廣義的C-rpp半群的刻劃，即C-wrpp半群類，并給出了C-wrpp半群的結(jié)構(gòu)定理，即S是C-wrpp半群當且僅當S是一族P-左可消幺半群的強半格。C-wrpp半群是對Clifford半群和C-rpp半群的更深入的推廣；任秀等將可置換性與wrpp半群二者聯(lián)系起來，引入了滿足置換恒等式的強wrpp半群，得到了滿足置換恒等式的強wrpp半群的一些重要性質(zhì)和特征，滿足置換恒等式的強wrpp半群的子半群仍滿足置換恒等式，以及其冪等元是正規(guī)帶[5]，并且通過引入正規(guī)帶上的最小半格同余ε，證明了當E(S)是矩形帶時，滿足置換恒等式的強wrpp半群是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積[6]。本文通過建立滿足置換恒等式的強wrpp半群S上的一個半格同余ρ，證明了滿足置換恒等式的強wrpp半群是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積的強半格。

1 基礎(chǔ)準備

1.1 基本定義

定義 1[4]：設(shè)S是一個半群，S上的廣義格林關(guān)系A(chǔ)**可以等價地定義如下：

A**={(a，b)∈S×S| (?x，y∈S1) (ax，ay)∈P?(bx，by)∈P}，這里P表示通常的格林關(guān)系。

定義2[7]：半群S稱為wrpp半群，如果半群滿足下列條件：

1)半群S的每個A**類至少含有S一個冪等元；

2)對于所有的e∈Ma，有a=ae，其中Ma=E(S)∩Aa**，E(S)是S的冪等元集。

我們注意到有A?A**，A*?A**成立，這里A是普通的格林關(guān)系，A*是格林*-關(guān)系。特別地，當S是wrpp半群時，有eA**f當且僅當eAf，e，f∈E(S).

定義3[5]：強wrpp半群，如果對于任意的a∈S存在唯一與a有A**關(guān)系的冪等元e，使得ea=a。

如果S是強wrpp半群,Ma總是含有唯一的冪等元e，使得a=ea，我們標記包含在Ma中的這個唯一的冪等元e為a+。因此，有a=a+a=aa+。

定義4[2]：設(shè)S是一個半群，A是S一個子集，令

是一個n元非恒等置換。稱A為滿足由σ決定的置換恒等式(簡稱A滿足置換恒等式) 。如果關(guān)于任意x1，x2，…，xn∈A，都有

x1·x2·…·xn=xσ(1)·xσ(2)·…·xσ(n)

其中x1，x2，…xn∈S，如果A=S，稱S是滿足置換恒等式的半群。

本文主要研究滿足置換恒等式的強wrpp半群的結(jié)構(gòu)，如無特別聲明，S總表示一個滿足置換恒等式的強wrpp半群。令

則σ(k)=m，m>k。關(guān)于e∈E(S)，記

Se={a∈S|a+=e}

定義5[4]：半群S稱為P-左可消，如果a，b，c∈S，(ca，cb)∈P，那么(a，b)∈P。顯然左可消半群都是P-左可消半群。

定義6[8]：設(shè)A，B，C為半群，φ：A→C，ψ：B→C分別為A到C，B到C的半群同態(tài)映射，C是A，B的共同的同態(tài)像，并且S=[C；A，B；φ，ψ]={(a，b)∈A×B|aφ=bψ}，稱S為A與B關(guān)于C，φ，ψ的織積。

1.2 基本理論

引理1[5]：(i)S的子半群滿足置換恒等式；

(ii)E(S)是正規(guī)帶；

(iii) 關(guān)于S的子半群T有A**(S)|T?A**(T)；

(iv) 關(guān)于a，b∈S有ab=aa+b=ab+b=aba+b+=a+b+ab。

引理2[5]：設(shè)S是滿足置換恒等式的強wrpp半群。對于任意的a，b∈S，有(ab)+=a+b+。

引理3[6]：設(shè)S是滿足置換恒等式的強wrpp半群。對于任意的e∈E(S)，Se是一個交換P-左可消幺半群。

引理4[6]：設(shè)S是滿足置換恒等式的強wrpp半群，則下列條件是等價的：

(i)E(S)是矩形帶；

(ii)S是A**-單的；

(iii)S是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積。

2 主要結(jié)果

引理5：ρ={(a，b)∈S×S|a+εb+}為S上的半格同余，且每個ρ-類都是A**-單的滿足置換恒等式的強wrpp半群。

證明：由引理1.2.2可知σ={(a，b)∈S×S|a+=b+}為S上一個同余，而且使得S/σ≌E(S)。設(shè)ε1為S/σ上的最小半格同余，則下圖可換：

圖1 最小半格同余的傳遞關(guān)系

因此ρ是S上的半格同余，設(shè)M為一個ρ-類，則E(M)為矩形帶，且M=∪e∈E(M)Se，由引理3可知Se是一個交換P-左可消幺半群。對于任意的a∈M，由引理1(iii)得aA**(M)a+。如果e∈E(M)滿足eA**(M)a使得ea=ae=a，則有ea+=(ea)+=a+，且由eA**(M)a+有ea+=e，因而e=a+。所以M是滿足置換恒等式的強wrpp半群，由引理4可知M是A**-單的。

定理1：設(shè)S為一個半群，則下列條件等價：

(i)S是滿足置換恒等式的強wrpp半群；

(ii)S是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積的強半格；

(iii)S是交換P-左可消幺半群的強半格與正規(guī)帶的織積；

(iv)S是強wrpp半群，且滿足置換恒等式x1x2x3x4=x1x3x2x4。

證明：(i)?(ii)

設(shè)S是滿足置換恒等式的強wrpp半群。ρ如引理5所定義，令Y=S/ρ，{Sα|α∈Y}為全體ρ-類的集合，則S是關(guān)于Sα(α∈Y)的強半格，由引理4，Sα是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積。設(shè)E(S)的結(jié)構(gòu)分解為[Y；Eα(α∈Y)；φα,β]，對于任意的α，β∈Y，并且α≥β，定義映射

由引理1(iv)可知Ψα,β是同態(tài)映射，且Ψα,α=1Sα。對于任意的a∈Sα和b∈Sβ(α，β∈Y)有

ab=aa+b+a+·b+bb+a+b+

=aa+b+a+·bb+a+b+

=a·a+φα,αβ·b+φβ,αβ·a+φα,αβ·b·b+φβ,αβ·a+φα,αβ·b+φβ,αβ

=(a·a+φα,αβ)· (b·b+φβ,αβ)

=aΨα,αβ·bΨβ,αβ

(ii)?(iii)

并且使得

當然半群T，E有共同的同態(tài)像，即半格Y。如果給定tα=αψ′，eα=αψ″，那么由這些(tα，eα)對組成T與E的織積，即

[Y；T，E；ψ′，ψ″]={(tα，eα)∈Tα×Eα|tαψ′=eαψ″}

織積中的乘法如下定義：

對于任意的(tα，eα)∈Tα×Eα，(tβ，eβ)∈Tβ×Eβ，有

(tα，eα) (tβ，eβ)= (tα°tβ，eα*eβ)

=(tα，eα)Ψα,αβ·(tβ，eβ)Ψβ,αβ

因此與S中的乘法是一致的。

(iii)?(iv)

對于任意的x1，x2，x3，x4∈S，則存在(i，e) ∈Tα×Eα，(s，f) ∈Tβ×Eβ，(t，g) ∈Tγ×Eγ，(j，h) ∈Tδ×Eδ，使得x1=(i，e)，x2=(s，f)，x3=(t，g)，x4=(j，h)，取τ=αβγδ，則有

x1x2x3x4=(i，e)(s，f)(t，g)(j，h)

=(i，e)Ψα,τ·(s，f)Ψβ,τ·(t，g)Ψγ,τ·(j，h)Ψδ,τ

=(i，e)Ψα,τ·(t，g)Ψβ,τ·(s，f)Ψγ,τ·(j，h)Ψδ,τ

=(i，e)(s，f)(t，g)(j，h)

=x1x3x2x4

接下來證明S是強wrpp半群。設(shè)eA**fA**a，e∈E(Sβ)，f∈E(Sγ)，a∈Sα，且ea=ae=a，fa=af=a，則有e=ef，fe=f。對于任意的x∈Sλ，y∈Sμ，x+∈E(Si)，y+∈E(Sj)，取iβγ=δ，jβγ=t，則有

xe=ye?xef=yef

?xx+ef=yy+ef

?xx+f=yy+f

?xf=yf

因而eP*f，所以有ef=f，因此e=ef=f，即e=f。

(iv)?(i)是顯然的。

3 結(jié)語

通過對wrpp半群引入可置換性，定義了滿足置換恒等式的強wrpp半群。通過建立半群S上的一個半格同余ρ，得到了滿足置換恒等式的強wrpp半群的結(jié)構(gòu)，即滿足置換恒等式的強wrpp半群是交換P-左可消幺半群與矩形帶的直積的強半格及其等價條件，并給出了嚴格的證明。

[參考文獻]

[1] Yamada M. Regular semigroups whose idempotents satisfy permutation identities[J]. Pacific J Math, 1967，21:371-397.

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[4] TANG X D. On a theorem of C-wrpp semigroups[J]. Comm. Algebra, 1997,25: 1449-1504.

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[8] J.M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory[M]. London :Academic Press,1995.