沙元霞

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

人口預測是指根據(jù)現(xiàn)有的人口狀況測算未來某個時間的人口規(guī)模、水平和趨勢?？刂迫丝谝?guī)模是城市規(guī)劃和土地利用規(guī)劃中的一個重要指標，不但會影響到未來的經(jīng)濟發(fā)展和社會動態(tài)的發(fā)展，而且還會影響到可持續(xù)發(fā)展的生態(tài)環(huán)境[1]。 建立數(shù)學模型對人口發(fā)展過程進行描述、分析和預測，并進而研究控制人口增長和老化的生育策略，以引起社會各方面的極大關注，是數(shù)學在社會發(fā)展中的重要應用領域[2]。

本文將黑龍江省2001年至2007年人口數(shù)據(jù)作為依據(jù)(來源于“黑龍江統(tǒng)計年鑒”數(shù)據(jù))，利用統(tǒng)計回歸的方法進行建模，并對黑龍江人口進行分析和預測；最后對2012年至2016年黑龍江省的未來人口數(shù)和人口發(fā)展趨勢進行了預測。

1 構建統(tǒng)計回歸模型

表1數(shù)據(jù)來源于《黑龍江省統(tǒng)計年鑒——2007》，本文應用此數(shù)據(jù)構建統(tǒng)計回歸模型。

表1 2001—2007年黑龍江省人口 (單位：萬人)

1.1 散點圖

為了研究這些數(shù)據(jù)中所蘊含的規(guī)律性，首先將數(shù)據(jù)用散點圖的形式表現(xiàn)出來，把各個年份作為橫坐標，將2001—2007年每年總?cè)丝跀?shù)作為縱坐標，將這些數(shù)據(jù)點標在平面直角坐標圖上，分析點的分布情況，如圖1所示。

1.2 直觀判斷

在圖1中可以看出，數(shù)據(jù)點得分布較有規(guī)律，既可看做分布在一條直線周圍，又可看做分布在一條二次的拋物線附近。所以，為了使模型更加精確，我們將擬合出兩條線，即構造兩個回歸模型，通過對比分析的方式，選取其中誤差較小的回歸模型。

圖1 2001—2007年每年總?cè)丝跀?shù)散點圖

1.3 模型一

1)假設。假設變量x和y滿足如下關系式：y=β0+β1x+ε，其中，β0和β1是未知常數(shù)；ε是隨機誤差，滿足E(ε)=0，var(ε)=σ2。

3)檢驗。一般我們采用統(tǒng)計檢驗方法檢驗，如F檢驗，如果F和y有線性關系，則

在給定顯著水平α下，上述F值應大于F分布表中的臨界值Fα。進行檢測有F=82.59849≥0.00000=F0.05(1,10)，這表明x與y有十分顯著的線性相關關系，這說明時間對人口總數(shù)有顯著影響，回歸系數(shù)效果顯著。

1.4 模型二

1)假設。假設變量x和y滿足如下二元關系式：y=β0+β1x+β2x2+ε，其中，β0,β1,β2為回歸系數(shù)；ε是隨機誤差。

2)擬合回歸參數(shù)。當所設回歸模型是二次時，仍可以采用最小二乘法去計算，但考慮到計算量相對于一元模型來說非常大，故采用Matlab軟件編程[2]求解。

程序如下：X=[1,1,1;1,2,4;1,3,9;1,4,16;1,5,25;1,6,36;1,7,49]

Y=[3811;3813;3815;3816.8;3820;3830.8;3848.8]

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)

運行結果為：b=3818.3,；-6.6；1.5

bint=[3804.8,3831.8],[-14.3,1.2],[0.6,2.5]

stats=0.9638,53.2075,0.0013

3)將上述得到的回歸系數(shù)帶入所設模型中得：y=3818.3-6.6x+1.5x2+ε。

4)檢驗及分析

①模型所得相關系數(shù)的平方為0.9638，說明因變量y的96.38%可由此模型確定。

②模型的F檢驗值為53.2075，遠超過F檢驗的臨界值。

③p=0.0013遠小于α=0.05。

④回歸系數(shù)β1的置信區(qū)間包含零點，說明變量x的效果不顯著，但考慮到β2的置信區(qū)間較好，所以保留一次項。

1.5 模型一與模型二比較

將以上兩個模型的預測值與實際值進行比較，得2001—2007年的相對誤差率，如下表所示：

表2 模型一與模型二比較

通過表中數(shù)據(jù)我們得到：二次回歸模型平均相對誤差率為0.05%，而一次線性回歸模型的平均相對誤差率為0.76%，說明這兩種模型相比二次回歸模型能做到更好、更準確的預測。

2 應用模型做人口預測

應用二次回歸模型預測2012年至2016年黑龍江省的人口數(shù)目，如下表所示：

表3 2012—2016年黑龍江省人口的預測值 (單位：萬人)

3 結束語

上述數(shù)據(jù)表明未來幾年我省人口的增長有較穩(wěn)定的狀態(tài)，這一結果可為政府相關部門制定政策提供參考依據(jù)。同時可以看到，按此模型隨著時間的增長，人口的增長率越來越大，說明我們的模型還存在改進的空間，可以將人口老齡化的比率等因素加進去，構造多元統(tǒng)計回歸模型[3]，以達到更好的結果。

[參考文獻]

[1] 劉鑫,徐世英.基于組合預測模型的西藏人口分析[J].中央民族大學學報:自然科學版,2008(3):22-24.

[2] 楊松,曾永年,吳桂平,等.改進的最優(yōu)組合人口預測模型及其應用[J].長江流域資源與環(huán)境,2008(3):14-17.

[3] 宋洪文.應用統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2003.