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      與廣義歐拉函數(shù)有關(guān)的方程

      2012-09-26 06:09:56俞洪玲沈忠燕
      關(guān)鍵詞:歐拉正整數(shù)因數(shù)

      俞洪玲,沈忠燕

      (浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院,浙江杭州310012)

      與廣義歐拉函數(shù)有關(guān)的方程

      俞洪玲,沈忠燕*

      (浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院,浙江杭州310012)

      利用初等方法,研究與廣義歐拉函數(shù)有關(guān)的方程φ2(n)=2ω(n)、φ2(φ2(n))= 2ω(n)的可解性,并獲得方程的所有正整數(shù)解.

      廣義歐拉函數(shù);方程;正整數(shù)解

      1 引言

      為了將Lehmer同余式從模素?cái)?shù)的平方推廣到模任意整數(shù)的平方,蔡天新[6]等定義了如下的廣義歐拉函數(shù).

      定義 廣義歐拉函數(shù)

      定理1方程的所有正整數(shù)解為n=5,8,15,20,24,60.

      定理2方程的所有正整數(shù)解為n=11,17,25,32,51,55,62,65,68,75,77,80,82,88,93,96,99,100,104,112,122,124,144,165,170,195,204,220,231,238,240,246,260,264,280,286,300,306,308,310,312,336,350,360,366,372,396,450,510,660,714,780,840,858,924,930,990,1050,2310.

      2 引理

      為了完成定理的證明,我們需要引入一些引理.

      引理2 方程φ2(n)=1的正整數(shù)解為n=2,3,4,6.

      由引理1得

      a)當(dāng)α=β=0時(shí),方程顯然無(wú)解;

      b)當(dāng)α≠0,β=0時(shí),φ(n)=φ(2α)=2α-1=2,則α=2,即n=4;

      c)當(dāng)α=0,β≠0時(shí),φ(n)=φ(3β)=3β-12=2,則β=1,即n=3;

      d)當(dāng)α≠0,β≠0時(shí),φ(n)=φ(2α3β)=2α-13β-12=2,則α=β=1,即n=6.

      綜上可得,方程φ2(n)=1的正整數(shù)解為n=2,3,4,6.

      引理3 方程φ2(n)=2的正整數(shù)解為n=5,8,10,12.

      證明 由φ2(n)=φ(n)得φ(n)=4,則n的素因數(shù)小于等于5,令

      由引理1得

      a)當(dāng)α=β=0,γ≠0時(shí),φ(n)=φ(5γ)=5γ-14=4,則γ=1,即n=5; b)當(dāng)γ=β=0,α≠0時(shí),φ(n)=φ(2α)=2α-1=4,則α=3,即n=8; c)當(dāng)β≠0,α=γ=0時(shí),φ(n)=φ(3β)=3β-12=4,方程顯然無(wú)解;

      d)當(dāng)γ=0,α≠0,β≠0時(shí),φ(n)=φ(2α3β)=2α-13β-12=4,則α=2,β=1,即n=12; e)當(dāng)β=0,α≠0,γ≠0時(shí),φ(n)=φ(2α5γ)=2α-15γ-14=4,則α=γ=1,即n=10;

      f)當(dāng)α=0,β≠0,γ≠0時(shí),φ(n)=φ(3β5γ)=3β-15γ-18=4,方程顯然無(wú)解;

      g)當(dāng)α=β=γ=0時(shí),方程顯然無(wú)解;

      h)當(dāng)α≠0,β≠0,γ≠0時(shí),φ(n)=φ(2α3β5γ)=2α-13β-15γ-18=4,方程顯然無(wú)解.綜上可得,方程φ2(n)=2的正整數(shù)解為n=5,8,10,12.

      引理4 方程φ2(n)=4的正整數(shù)解為n=15,16,20,24,30.

      證明 由φ2(n)=4可知φ(n)=8,則n的素因數(shù)小于等于5,令

      用引理3的方法可得方程φ2(n)=4的正整數(shù)解為n=15,16,20,24,30.

      引理5 方程φ2(n)=8的正整數(shù)解為n=17,32,34,40,48,60.

      證明 由φ2(n)=8可知φ(n)=16,則n的素因數(shù)小于等于17,由16的因子可以令

      用引理3的方法可得方程φ2(n)=8的正整數(shù)解為n=17,32,34,40,48,60.

      引理6 方程φ2(n)=16的正整數(shù)解為n=51,64,68,80,96,102,120.

      證明 由φ2(n)=16可知φ(n)=32,則n的素因數(shù)小于等于17,由32的因子可以令

      用引理3的方法可得方程φ2(n)=16的正整數(shù)解為n=51,64,68,80,96,102,120.

      引理7 方程φ2(n)=5的正整數(shù)解為n=11,22.

      證明 由φ2(n)=5可知φ(n)=10,則n的素因數(shù)小于等于11,由10的因子可以令

      用引理3的方法可得方程φ2(n)=5的正整數(shù)解為n=11,22.

      引理8 方程φ2(n)=10的正整數(shù)解為n=25,33,44,50,66.

      證明 由φ2(n)=10可知φ(n)=20,則n的素因數(shù)小于等于19,由20的因子可以令

      用引理3的方法可得n=25,33,44,50,66.

      引理9 方程φ2(n)=12的正整數(shù)解為n=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.

      證明 由φ2(n)=12可知φ(n)=24,則n的素因數(shù)小于等于13,由24的因子可以令

      用引理3的方法可得n=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.

      引理10 方程φ2(n)=17無(wú)解.

      證明 由φ2(n)=17可知φ(n)=34,則n的素因數(shù)小于等于17,由34的因子可以令

      用引理3的方法可知n無(wú)解.

      引理11 方程φ2(n)=15的解為n=31,62.

      證明 由φ2(n)=15可知φ(n)=30,則n的素因數(shù)小于等于31,由30的因子可以令

      用引理3的方法可知n=31,62.

      引理12 方程φ2(n)=20的解為n=41,55,75,82,88,100,110,132,150.

      證明 由φ2(n)=20可知φ(n)=40,則n的素因數(shù)小于等于41,由40的因子可以令

      用引理3的方法可知n=41,55,75,82,88,100,110,132,150.

      引理13[7]53當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),φ(2n)=φ(n);當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),φ(2n)=2φ(n).

      引理14 φ2(n)=24的解為n=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210.φ2(n)=30的解為n=61,77,93,99,122,124,154,186,198.φ2(n)=32的解為n=85,128,136,160,170,192,204,240.

      證明類似于引理3.

      3 定理1的證明

      n=1,n=2顯然都不是方程φ2(n)=2ω(n)的解.下面討論n>2時(shí),方程φ2(n)=2ω(n)解的情況.

      3.1 當(dāng)ω(n)=1時(shí)

      當(dāng)ω(n)=1時(shí),由引理3可知滿足φ2(n)=2的解為n=5,8,10,12.這些解中滿足ω(n)=1的解為n=5,8.

      3.2 當(dāng)ω(n)=2時(shí)

      當(dāng)ω(n)=2時(shí),φ2(n)=4,由引理4可知滿足φ2(n)=4的解為n=15,16,20,24,30.這些解中滿足ω(n)=2的解為n=15,20,24.

      3.3 當(dāng)ω(n)=3時(shí)

      當(dāng)ω(n)=3時(shí),φ2(n)=8,由引理5可知滿足φ2(n)=8的解為n=17,32,34,40,48,60.這些解中滿足ω(n)=3的解為n=60.

      3.4 當(dāng)ω(n)≥4時(shí)

      令n=pα11pα22…pαkk(k≥4),其中p1,p2,…,pk為不同素?cái)?shù),滿足2≤p1<p2<…<pk,

      所以當(dāng)ω(n)≥4時(shí),方程φ2(n)=2ω(n)無(wú)解.綜上可知,方程(1)僅有6個(gè)解n=5,8,15,20,24,60.

      4 定理2的證明

      由廣義歐拉函數(shù)定義及引理2,引理3可知n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12都不是方程φ2(φ2(n)) =2ω(n)的解.容易驗(yàn)證n=11是方程φ2(φ2(n))=2ω(n)的其中一個(gè)解.下面討論n>12(即φ2(n)>2),方程φ2(φ2(n))=2ω(n)解的情況.

      4.1 當(dāng)ω(n)=1時(shí)

      當(dāng)ω(n)=1時(shí),φ2(φ2(n))=2,由引理3可知,φ2(n)=5,8,10,12.

      4.1.1 當(dāng)φ2(n)=5時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=5時(shí),由引理7可知,n=11,22.這些解中滿足ω(n)=1的解為n=11.

      4.1.2 當(dāng)φ2(n)=8時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=8時(shí),由引理5可知,n=17,32,34,40,48,60.這些解中滿足ω(n)=1的解為n= 17,32.

      4.1.3 當(dāng)φ2(n)=10時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=10時(shí),由引理8可知,n=25,33,44,50,66.這些解中滿足ω(n)=1的解為n=25.

      4.1.4 當(dāng)φ2(n)=12時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=12時(shí),由引理9可知,n=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.這些解中不存在滿足ω (n)=1的解.

      4.2 當(dāng)ω(n)=2時(shí)

      當(dāng)ω(n)=2時(shí),φ2(φ2(n))=4,由引理4可知,φ2(n)=15,16,20,24,30.

      4.2.1 當(dāng)φ2(n)=15時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=15時(shí),由引理11可知,n=31,62.這些解中滿足ω(n)=2的解為n=62.

      4.2.2 當(dāng)φ2(n)=16時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=16時(shí),引理6可知,n=51,64,68,80,96,102,120.這些解中滿足ω(n)=2的解為n= 51,68,80,96.

      4.2.3 當(dāng)φ2(n)=20時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=20時(shí),由引理12可知,n=41,55,75,82,88,100,110,132,150.這些解中滿足ω(n)= 2的解為n=55,75,82,88,100.

      4.2.4 當(dāng)φ2(n)=24時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=24時(shí),引理14可知,n=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210.這些解中滿足ω(n)=2的解為n=65,104,112,144.

      4.2.5 當(dāng)φ2(n)=30時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ2(n)=30時(shí),由引理14可知,n=61,77,93,99,122,124,154,186,198.這些解中滿足φ(n) =2的解為n=77,93,99,122,124.

      4.3 當(dāng)ω(n)=3時(shí)

      當(dāng)ω(n)=3時(shí),φ2(φ2(n))=8,由引理5可知,φ2(n)=17,32,34,40,48,60.所以,φ(n)=34,64,68,80,96,120.令

      其中p1,p2,p3為不同素?cái)?shù),由引理1可知,

      4.3.1 當(dāng)φ(n)=34時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=34時(shí),

      由計(jì)算可知沒有滿足條件的n值.

      4.3.2 當(dāng)φ(n)=64時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=64時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的n=170,204,240.

      4.3.3 當(dāng)φ(n)=68時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=68時(shí),

      由計(jì)算可知沒有滿足條件的n值.

      4.3.4 當(dāng)φ(n)=80時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=80時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的解為n=165,220,246,264,300.

      4.3.5 當(dāng)φ(n)=96時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=96時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的解為n=195,238,260,280,306,312,336,360.

      4.3.6 當(dāng)φ(n)=120時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=120時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的解為n=231,308,310,350,366,372,396,450.

      4.4 當(dāng)ω(n)=4時(shí)

      當(dāng)ω(n)=4時(shí),φ2(φ2(n))=16,引理6可知,φ2(n)=51,64,68,80,96,102,120.所以,φ(n)= 102,128,136,160,192,204,240.令

      其中p1,p2,p3,p4為不同的素?cái)?shù).由引理1可知,

      4.4.1 當(dāng)φ(n)=102時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=102時(shí),

      由計(jì)算可知沒有滿足條件的解.

      4.4.2 當(dāng)φ(n)=128時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=128時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的解為n=510.

      4.4.3 當(dāng)φ(n)=136時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=136時(shí),

      由計(jì)算可知沒有滿足條件的解.

      4.4.4 當(dāng)φ(n)=160時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=160時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的解為n=660.

      4.4.5 當(dāng)φ(n)=192時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=192時(shí),

      由計(jì)算可知滿足條件的解為n=714,780,840.

      4.4.6 當(dāng)φ(n)=204時(shí),n的取值情況

      當(dāng)φ(n)=204時(shí),

      由計(jì)算可知沒有滿足條件的解.

      4.4.7 當(dāng)φ(n)=240時(shí),n的取值情況當(dāng)φ(n)=240時(shí),由計(jì)算可知滿足條件的解為n=858,924,930,990,1050.

      4.5 當(dāng)ω(n)=5時(shí)

      當(dāng)ω(n)=5時(shí),φ2(φ2(n))=32,引理14可知,φ2(n)=32的解為n=85,128,136,160,170,192,204,240.所以,

      當(dāng)p1,p2,p3,p4,p5取最小的5個(gè)素?cái)?shù)時(shí),由計(jì)算可知

      所以當(dāng)ω(n)=5時(shí),只有n=2310一個(gè)解.

      4.6 ω(n)≥6時(shí)

      故方程φ2(φ2(n))=2ω(n)等價(jià)于

      所以要求解方程φ2(φ2(n))=2ω(n)的解,只需求解方程

      由引理5可知,方程φ2(n)=8的解為n=17,32,34,40,48,60.則只需求解方程

      因?yàn)?/p>

      所以當(dāng)ω(n)≥6時(shí),方程φ2(φ2(n))=2ω(n)無(wú)解.綜上可知,方程(2)的解為n=11,17,25,32,51,55,62,65,68,75,77,80,82,88,93,96,99,100,104,112,122,124,144,165,170,195,204,220,231,238,240,246,260,264,280,286,300,306,308,310,312,336,350,360,366,372,396,450,510,660,714,780,840,858,924,930,990,1050,2310.

      [1]呂志宏.一個(gè)包含Euler函數(shù)的方程[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,36(1):17-20.

      [2]馬靜.方程φ(n)=2tw(n)(t∈Z+)的解[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,32(1):23-26.

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      [5]李怡君.一類數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,23(9):20-22.

      [6]Cai T X,F(xiàn)u X D,Zhou X.A congruence involving the quotients of Euler and its applications(II)[J].Acta Arith,2007,130(3):203-214.

      [7]Hardy G H,Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers[M].北京:人民郵電出版社,2007.

      The Equations Related with Generalized Euler Function

      YU Hongling,SHEN Zhongyan
      (School of Science and Technology,Zhejiang International Studies University,Hangzhou 310012,China)

      The equations φ2(n)=2ω(n)and φ2(φ2(n))=2ω(n)related with generalized Euler function is studied using elementary method,and all positive integer solutions are obtained.

      generalized Euler function;equation;positive integer solutions

      O156.4

      A

      2095-2074(2012)03-0091-07

      2012-03-01

      俞洪玲(1990-),女,浙江杭州人,浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)本科生.

      *通訊作者:沈忠燕(1978-),女,浙江桐鄉(xiāng)人,浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系講師,理學(xué)博士.

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      因數(shù)是11的巧算
      “積”和“因數(shù)”的關(guān)系
      被k(2≤k≤16)整除的正整數(shù)的特征
      周期數(shù)列中的常見結(jié)論及應(yīng)用*
      方程xy=yx+1的全部正整數(shù)解
      歐拉的疑惑
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