關(guān)于T型關(guān)聯(lián)度的正負(fù)性探討

馮鶴林，陳勇明，楊 淼

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)度是灰色系統(tǒng)的重要組成部分，也是灰色系統(tǒng)分析、灰預(yù)測(cè)、灰決策的基礎(chǔ)?；疑P(guān)聯(lián)度主要是就兩序列之間的幾何相似程度進(jìn)行比較，描述其相近程度。序列越接近，關(guān)聯(lián)程度也就越大；反之，越小。自灰色系統(tǒng)的創(chuàng)始人鄧聚龍?zhí)岢鲟囀匣疑P(guān)聯(lián)度以來(lái)，很多專(zhuān)家和學(xué)者依照灰色關(guān)聯(lián)度的思想，提出了不同的關(guān)聯(lián)度算法。唐五湘[1]于1995年通過(guò)引入符號(hào)函數(shù)提出了能夠刻畫(huà)正負(fù)相關(guān)性的T型關(guān)聯(lián)度。其后，查金茂[2]于1997年就唐五湘提出的T型關(guān)聯(lián)度，提出相關(guān)缺陷如不滿足規(guī)范性以及增量為零時(shí)沒(méi)有意義；孫玉剛[3]于2008年重新給出了T型關(guān)聯(lián)系數(shù)算法并補(bǔ)充了T型關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)。2010年馮鶴林[4]提出一種改進(jìn)的T型關(guān)聯(lián)度，分析了量綱化問(wèn)題，從傳統(tǒng)上優(yōu)化了關(guān)聯(lián)度的取平均的固定思維模式。T型關(guān)聯(lián)度是最早能夠反映出關(guān)聯(lián)度的正負(fù)性的關(guān)聯(lián)度之一，但在正負(fù)性上并不十分完善，主要是通過(guò)序列的自增和自減來(lái)刻畫(huà)，與序列的空間位置有很大關(guān)系。其后曹明霞[5]就關(guān)聯(lián)度模型的正負(fù)性問(wèn)題進(jìn)行了研究，取到了很多的效果，通過(guò)介入變異系數(shù)，更加準(zhǔn)確的反映出灰關(guān)聯(lián)思想。但由于運(yùn)用的是斜率做為基礎(chǔ)，而斜率是關(guān)于角度的正切值，對(duì)同一自變量，函數(shù)值存在著不均勻性。即同一個(gè)斜率差反映兩個(gè)序列相近程序不一致性。本文主要針對(duì)馮鶴林2010年取出的改進(jìn)T型關(guān)聯(lián)度，做進(jìn)一步完善。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 T型關(guān)聯(lián)度思想

灰色關(guān)聯(lián)度是依據(jù)關(guān)聯(lián)度思想提出的各種算法。最根本的源頭是關(guān)聯(lián)度思想。最早也是最權(quán)威的T型關(guān)聯(lián)度是唐五湘提出的。下面介紹一下唐五湘的T型關(guān)聯(lián)度的基本思想[1]。

按照因素的時(shí)間序列曲線相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的接近程度的來(lái)計(jì)算關(guān)聯(lián)度。對(duì)于離散時(shí)間序列，所謂兩曲線的相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的接近程度，是指兩時(shí)間序列在對(duì)應(yīng)各時(shí)段Δtk=tk-tk-1(k=2,3,…,n)間原始變量經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的增量的大小來(lái)判定的。若在時(shí)段Δtk間兩增量相等或接近于相等，則這兩時(shí)間序列在時(shí)段Δtk間的關(guān)聯(lián)系數(shù)就大;反之，就小。兩時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)度定義為：各時(shí)段Δtk間的關(guān)聯(lián)系數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。

1.2 T型關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法

按照T型關(guān)聯(lián)度的基本思想，馮鶴林針對(duì)關(guān)聯(lián)度的計(jì)算做了進(jìn)一步修正。給出了對(duì)于量綱和意義相同的兩時(shí)間序列X1={ }X1(t1),X1(t2),…X1(tn),X2={X2(t1),X2(t2),…,X2(tn)}T型關(guān)聯(lián)度的具體的計(jì)算步驟。

步驟1：求增量序列

步驟2：求兩序列間的關(guān)聯(lián)系數(shù)

設(shè)[a,b]上的兩時(shí)間序列分別為：

將

為序列X1與X2的在從tk-1到tk時(shí)間段Δtk內(nèi)的關(guān)聯(lián)系數(shù)。

其中：

步驟3：求兩序列X1={ }X1(t1),X1(t2),…X1(tn),X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}間 的 關(guān) 聯(lián) 度,稱(chēng) r=為X1與X2改進(jìn)的灰色T型關(guān)聯(lián)度。

r不僅能夠反映正負(fù)關(guān)聯(lián)程度，更能夠確切的表明某一時(shí)間段Δtk內(nèi)，增量對(duì)整體相似的貢獻(xiàn)程度。避免了以前所定義的T型關(guān)聯(lián)程度出現(xiàn)的，局部關(guān)聯(lián)系數(shù)不同，但總體關(guān)聯(lián)度可能相同，對(duì)應(yīng)的圖形與事實(shí)相差甚遠(yuǎn)的情況。

2 T型關(guān)聯(lián)度的正負(fù)性

T型關(guān)聯(lián)度能夠很好的反映兩時(shí)間序列的正負(fù)相關(guān)性，這是很多其它關(guān)聯(lián)度不具備的特征之一。從關(guān)聯(lián)系數(shù)的公式中，能清楚得看到反映正負(fù)相關(guān)性是由符號(hào)函數(shù)sgn(ΔX1(tk).ΔX2(tk))決定的。其中的ΔX1(tk),ΔX2(tk)分別是兩時(shí)間序列的自增量。

從T型關(guān)聯(lián)度的基本思想可以看出，T型關(guān)聯(lián)度是反映兩時(shí)間序列的接近程度，接近程度越高，關(guān)聯(lián)程度也就越高；反之，越小。從這里，可以得出如下的基本結(jié)論：兩時(shí)間序列的接近程度不以空間位置的相對(duì)變化而變化，而只與兩時(shí)間序列的相對(duì)距離相關(guān)。這里的相對(duì)位置的度量可以采用相交后的夾角，夾角越小，關(guān)聯(lián)程度越大；反之越小。同樣也可采用先平移使相交于一點(diǎn)，從原始序列上取一點(diǎn)，作這點(diǎn)到比較序列的距離來(lái)衡量。距離越近，關(guān)聯(lián)程度越大；反之越小。見(jiàn)圖1、2。

圖1

圖2

接下來(lái)，開(kāi)始將等時(shí)間序列推廣到非等時(shí)間序列。實(shí)際數(shù)據(jù)中有很多這樣的例子，當(dāng)一個(gè)數(shù)據(jù)已經(jīng)結(jié)束記錄時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)還在繼續(xù)。這樣的數(shù)據(jù)實(shí)際上是可以討論它們的關(guān)聯(lián)程度的。無(wú)論上面哪種方式的度量都可以反映出關(guān)聯(lián)程度的大小與時(shí)間序列的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，是與時(shí)間序列所在的直線所在的相對(duì)位置相關(guān)。這里的相對(duì)位置是比較時(shí)間序列相對(duì)于原時(shí)間序列的相對(duì)位置。在接受這樣的觀點(diǎn)以后，開(kāi)始闡述T型關(guān)聯(lián)度衡量正負(fù)性的缺陷。

T型關(guān)聯(lián)度的度量只與比較序列與原始序列的相對(duì)位置相關(guān)，也就表示與他們的初使位置無(wú)關(guān)。在此基礎(chǔ)上，對(duì)這組序列進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，它們的關(guān)聯(lián)度依然是可以度量的。以?xún)尚蛄兴谥本€的交點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)后，從理論上說(shuō)沒(méi)有任何改變，它們關(guān)聯(lián)度不會(huì)發(fā)生任何改變。但是，它們的意義發(fā)生了很大的變化。從圖形（圖3、4）上看，它們并非等時(shí)間序列。關(guān)聯(lián)程度之前是無(wú)法度量的，現(xiàn)在可以度量了。當(dāng)然度量的方式還是采用夾角或點(diǎn)到直線的距離來(lái)度量。當(dāng)然前面剛剛引入了兩時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)度與它們的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)而是與它們所在的直線相關(guān)。初始位置發(fā)生改變后，可能導(dǎo)致原來(lái)一些序列自身的增加量、減少量發(fā)生改變，從而改變它們的增量序列正負(fù)性，進(jìn)而影響它們的關(guān)聯(lián)系數(shù)。這樣就影響了這個(gè)關(guān)聯(lián)度的正負(fù)性。舉一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。

圖3

圖4

原始序列op1，對(duì)比序列為op2,將該圖形繞O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)450度后，得到新的序列op1'，op2'。但原始序列相對(duì)于比較序列的相對(duì)位置并未發(fā)生任何改變，只是相對(duì)于初使位置的相對(duì)位置發(fā)生了移動(dòng)。因此它們的關(guān)聯(lián)度不會(huì)發(fā)生任何改變。但是比對(duì)序列op2的位置由初始的位于經(jīng)x軸下方旋轉(zhuǎn)到x軸的上方op2'。對(duì)比序列對(duì)應(yīng)的增量ΔX2(tk)由負(fù)數(shù)變更為正數(shù)，而原始序列對(duì)應(yīng)的增量ΔX1(tk)符號(hào)一直沒(méi)有發(fā)生改變。這樣符號(hào)函數(shù)判斷關(guān)聯(lián)正負(fù)性的sgn(ΔX1(tk).ΔX2(tk))函數(shù)就發(fā)生了改變。從關(guān)聯(lián)度的基本思想上看，兩個(gè)時(shí)間序列的接近程度不會(huì)因?yàn)樗鼈兿鄬?duì)于初使位置的相對(duì)變化而發(fā)生改變，只會(huì)因?yàn)樗鼈冎g的相對(duì)位置發(fā)生改變。但如果用符號(hào)函數(shù)sgn(ΔX1(tk).ΔX2(tk))來(lái)定義原始序列與比較序列的正負(fù)相關(guān)性，是達(dá)不到這點(diǎn)的。

3 T型關(guān)聯(lián)度的改進(jìn)

在量綱相同和意義一樣的兩時(shí)間序列，按照因素的時(shí)間序列曲線的相對(duì)變化勢(shì)態(tài)的與原始序列的接近程度來(lái)計(jì)算關(guān)聯(lián)度。反映原序列X1={ }X1(t1),X1(t2),…X1(tn)與比較序列X2={ }X2(t1),X2(t2),…X2(tn)正負(fù)相關(guān)性的符號(hào)函數(shù)sgn(ΔX1(tk).ΔX2(tk)) 更 正 為 sgn(ΔX2(tk)-ΔX1(tk)) 或-sgn(ΔX1(tk)-ΔX2(tk))。其可理解為以原始序列的增量為一標(biāo)尺，增量大于這個(gè)標(biāo)尺的視為正相關(guān)，小于這個(gè)標(biāo)尺的視為負(fù)相關(guān)。原始序列的增量相當(dāng)于在數(shù)軸上的原點(diǎn)，在原點(diǎn)右側(cè)的為正，原點(diǎn)左側(cè)的為負(fù)。從本質(zhì)上講，原始序列的增量序列和對(duì)比序列的增量序列，可以繞它們所在直線交點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，將原始序列增量所在直線旋轉(zhuǎn)到與x軸重合。此時(shí)，對(duì)比序列增量旋轉(zhuǎn)后的位置決定它們的正負(fù)相關(guān)性。ΔX1(tk)-ΔX2(tk)＞0，說(shuō)明對(duì)比序列增量小于原始序列增量，旋轉(zhuǎn)后位于x軸下方；ΔX1(tk)-ΔX2(tk)＜0，說(shuō)明對(duì)比序列增量大于原始序列增量，旋轉(zhuǎn)后位于x軸上方。對(duì)照唐五湘提出的T型關(guān)聯(lián)度，原始序列增量為正，比較序列增量為負(fù)的關(guān)聯(lián)依然是負(fù)關(guān)聯(lián)。但原始序列和比較序列增量同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)時(shí)，此次的關(guān)聯(lián)度已經(jīng)不再是以前提出的那種正關(guān)聯(lián)，而要比較兩序列增量的大小。

步驟1:求增量序列若量綱不統(tǒng)一的情況下，先對(duì)兩序列進(jìn)行量綱化處理后，再求增量序列。

步驟2:求兩序列間的關(guān)聯(lián)系數(shù)

設(shè)[a,b]上的兩時(shí)間序列分別為X1={X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}和X2={ }X2(t1),X2(t2),…X2(tn)，稱(chēng)

為序列X1與X2的在從tk-1到tk時(shí)間段Δtk內(nèi)的關(guān)聯(lián)系數(shù)。

其中：

步驟3：求兩序列X1={ }X1(t1),X1(t2),…X1(tn),X2=X2(t1),{X2(t2),…X2(tn)}間的關(guān)聯(lián)度,稱(chēng)為X1與X2改進(jìn)的灰色T型關(guān)聯(lián)度。

r更能夠準(zhǔn)確地反映正負(fù)關(guān)聯(lián)程度，更正后的符號(hào)函數(shù)不會(huì)因?yàn)樵荚隽啃蛄信c對(duì)比增量序列相對(duì)于初始位置的改變發(fā)生改變，只與原始增量序列相對(duì)于對(duì)比增量序列的相對(duì)位置有關(guān)。

4 重新定義正負(fù)性后的T型關(guān)聯(lián)度實(shí)例

下面將用重新定義正負(fù)性后的T型關(guān)聯(lián)度分析一個(gè)具體實(shí)例。西南地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費(fèi)性支出增量表如表1。（數(shù)據(jù)來(lái)源于統(tǒng)計(jì)年鑒）

表1 西南各地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費(fèi)性支出表

由于數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)與類(lèi)型一致，因此無(wú)需采用無(wú)量綱化處理?？梢郧蟪鲈隽啃蛄腥绫?。

依據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算公式

表2 西南各地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費(fèi)性支出增量表

可求出西南各地區(qū)與全國(guó)平均消費(fèi)性支出的關(guān)聯(lián)系數(shù)見(jiàn)表3。

表3 西南各地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費(fèi)性支出與全國(guó)平均水平的關(guān)聯(lián)系數(shù)表

為了體現(xiàn)整體相似的貢獻(xiàn)程度的關(guān)聯(lián)度，用

求關(guān)聯(lián)度得到：

上面的數(shù)據(jù)可以看出，在西南地區(qū)，重慶的消費(fèi)性支出趨勢(shì)與全國(guó)的消費(fèi)性支出趨勢(shì)最為相似，貴州的消費(fèi)性支出趨勢(shì)與全國(guó)的消費(fèi)性支出趨勢(shì)在負(fù)相關(guān)里面差異最大。主要原因是貴州與全國(guó)的消費(fèi)支出關(guān)聯(lián)系數(shù)每一個(gè)均為負(fù)（每一個(gè)增量均小于全國(guó)的水平），加上整體相似的貢獻(xiàn)程度的綜合作用，使得貴州的消費(fèi)性支出趨勢(shì)與全國(guó)的消費(fèi)性支出趨勢(shì)差異性明顯。

[1]唐五湘.T型關(guān)聯(lián)度及其計(jì)算方法[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,1995,14(1).

[2]查金茂.T型關(guān)聯(lián)度的缺陷[J].武漢交通科技大學(xué)學(xué)報(bào),1997,21(2).

[3]孫玉剛,黨耀國(guó).灰色T型關(guān)聯(lián)度的改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2008,(4).

[4]馮鶴林,陳勇明.一種改進(jìn)的T型灰色關(guān)聯(lián)度及應(yīng)用研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2011,(5).

[5]曹明霞.灰色關(guān)聯(lián)度模型正負(fù)性問(wèn)題的研究及其改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2008,30(6).