邵亞勇,竺小松

(解放軍電子工程學(xué)院,合肥230037)

1 引 言

寬帶信號(hào)偵察往往存在多個(gè)信號(hào)同時(shí)到達(dá)接收通道的情況,若不同信號(hào)分量頻帶相互重疊,很難準(zhǔn)確地檢測(cè)出各個(gè)分量。時(shí)頻分析為解決這類問題提供了一種很好的途徑,其基本思想是設(shè)計(jì)時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù),用它同時(shí)描述信號(hào)在不同時(shí)間和頻率的能量密度或強(qiáng)度[1]。常用的時(shí)頻分析方法有短時(shí)傅里葉變換(STFT)、Wigner-ville分布(WVD)、小波變換(WT)、分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)等。STFT窄的觀察窗和WT寬度變化的時(shí)間窗影響了時(shí)頻域的分辨率;在非線性時(shí)頻分布中,WVD對(duì)LFM信號(hào)具有最好的時(shí)頻聚集性,但是其變換過程的非線性會(huì)受到交叉項(xiàng)的困擾[2]。

FRFT變換首先由Namias V從純數(shù)學(xué)的角度提出,之后Almeida L B將其解釋為時(shí)頻平面上的旋轉(zhuǎn)算子并分析了它和Wigner-Vile分布的關(guān)系。由于FRFT變換計(jì)算非常復(fù)雜,直到Ozaktas提出FRFT的兩種離散計(jì)算方法[3],才使其得以廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理和光學(xué)分析。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]從不同角度應(yīng)用分?jǐn)?shù)階Fourier變換進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)和估計(jì),但每次只能檢測(cè)一個(gè)信號(hào),效率較低。本文利用FRFT對(duì)寬帶信號(hào)特別是LFM信號(hào)具有很強(qiáng)的能量聚集性,從提高分?jǐn)?shù)階域的極值搜索和多信號(hào)的分離、檢測(cè)效率著手,在混沌-多步擬牛頓搜索法中引入聚類分析的思想,并采用“CLEAN”的方法,將已檢測(cè)出的強(qiáng)信號(hào)分量消除,減小對(duì)弱信號(hào)的遮蔽作用,以實(shí)現(xiàn)多個(gè)頻譜混疊信號(hào)的快速準(zhǔn)確的分離和檢測(cè)。

2 分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義及性質(zhì)

典型的 Fourier變換可以理解為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2,實(shí)現(xiàn)信號(hào)從時(shí)域到頻域的變換。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角 α以π/2的非整數(shù)倍旋轉(zhuǎn)時(shí),假定 α=pπ/2,p為任意實(shí)數(shù),可得輸入信號(hào)x(t)的FRFT定義式為

式中,p為FRFT的階數(shù),Fp[·]為FRFT的算子符號(hào),變換核函數(shù)Kα(t,u)為

由式(3)可以看出,信號(hào)x(t)由一組權(quán)系數(shù)為Xα(u)的正交基函數(shù)Kα(t,u)所表征。

為方便多分量信號(hào)的分離與檢測(cè)運(yùn)算,現(xiàn)介紹分?jǐn)?shù)階Fourier變換的一些基本性質(zhì)。

(1)線性,滿足疊加定理:

(2)旋轉(zhuǎn)相加性:

為減小運(yùn)算量,本文采用基于FFT的離散FRFT計(jì)算方法。由于 x(t)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換為

式中,γ=cotα,β=cscα。若令階數(shù) p為0.5≤ p≤1.5,函數(shù) ejπγt2x(t)在頻域具有帶寬 F,令 N=(F)2,由文獻(xiàn)[3]可知離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換可表示為

再對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier域上的變量 u取離散值,則上式進(jìn)一步變?yōu)?/p>

3 多分量信號(hào)模型及FRFT域中的遮蔽作用

式中,-Δt/2≤t≤Δt/2,ak、fk、μk分別為信號(hào)的振幅、初始頻率和調(diào)制頻率,K為信號(hào)的個(gè)數(shù)。單頻信號(hào)和調(diào)幅信號(hào)可認(rèn)為是LMF信號(hào)的特例。

在FRFT平面上,LFM信號(hào)所對(duì)應(yīng)的沖激函數(shù)的位置可以表示為[2]

設(shè)多分量信號(hào)的表達(dá)式以LFM信號(hào)為模型:

當(dāng)在FRFT域中同時(shí)檢測(cè)多個(gè)信號(hào)分量時(shí),信號(hào)之間存在一定的遮蔽作用,文獻(xiàn)[6]分析了兩信號(hào)之間的遮蔽性能,設(shè)信號(hào)分量 g(t)和 h(t)分別在α0、α1階FRFT域中實(shí)現(xiàn)最佳能量聚集,遮蔽系數(shù)的定義為

式中,Ag、μg為g(t)的幅度和調(diào)頻率,Ah、μh為h(t)的幅度和調(diào)頻率,Td為采樣時(shí)間,fs為采樣頻率。遮蔽系數(shù) εα1體現(xiàn)了分量 g(t)對(duì)h(t)的遮蔽作用,其值越小越容易將兩信號(hào)分離。從式(13)可以看出,在信號(hào)幅度和調(diào)頻率確定的情況下,遮蔽系數(shù)εα1與采樣時(shí)間有關(guān),采樣時(shí)間越長(zhǎng),遮蔽作用越小。

4 基于混沌-多步擬牛頓混合法和聚類分析相結(jié)合的多分量信號(hào)的分離與檢測(cè)

由式(10)可知,對(duì)多分量LMF信號(hào)做分?jǐn)?shù)階Fourier變換,每一分量只在FRFT域中特定的位置(αk,uk)上才表現(xiàn)為沖激函數(shù)。只需不同分量信號(hào)的初始頻率和線性調(diào)頻系數(shù)有一個(gè)不同,就可將它們分離。首先從p=1階FRFT著手,濾除強(qiáng)的窄帶信號(hào)。對(duì)接收到的混疊信號(hào)進(jìn)行離散FRFT變換,形成信號(hào)能量在參數(shù)(α,u)平面上的二維分布。在確定的旋轉(zhuǎn)角α=π/2,按信號(hào)強(qiáng)度進(jìn)行搜索,得到各窄帶信號(hào)對(duì)應(yīng)的參數(shù) u,通過式(11)計(jì)算信號(hào)參數(shù),并重構(gòu)信號(hào)。之后通過在變換域 u設(shè)計(jì)窄帶濾波器,或應(yīng)用重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行對(duì)消,去除混疊信號(hào)中的窄帶信號(hào)。

其次對(duì)剩余的寬帶LFM 信號(hào),在FRFT域(α,u)上采取混沌優(yōu)化法和多步擬牛頓法(BFGS)相結(jié)合的混沌-多步BFGS混合法[7]進(jìn)行二維搜索?；煦鐑?yōu)化法的基本思想就是用類似載波的方法將混沌狀態(tài)引入到優(yōu)化變量中,并把混沌運(yùn)動(dòng)的遍歷范圍“放大”到優(yōu)化變量的取值范圍,然后利用混沌變量進(jìn)行搜索[8]。通過一定的混沌映射關(guān)系,產(chǎn)生混沌序列,并比較各序列的目標(biāo)值,如果在一定步數(shù)內(nèi)目標(biāo)函數(shù)值不發(fā)生變化,滿足終止條件,作為當(dāng)前最優(yōu)值輸出。該方法具有較強(qiáng)的全局搜索能力。

擬牛頓法是一種下降搜索方法,在FRFT域二維平面(α,u)內(nèi),尋找合適的(α0,u0)使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小,即 :

而在擬牛頓法基礎(chǔ)上發(fā)展的多步擬牛頓法[9],充分利用前期迭代所得信息,構(gòu)造正定對(duì)稱矩陣,提高了算法的速度和精度。因此將混沌優(yōu)化算法與多步擬牛頓法相結(jié)合的混沌-多步BFGS法,能夠保證全局最優(yōu)解的同時(shí),提高搜索的速率和精度。

由于通常的逐次消去法每次檢測(cè)一個(gè)最大信號(hào),多次對(duì)信號(hào)求FRFT,進(jìn)行二維搜索,再逐個(gè)濾除最大信號(hào),計(jì)算量大、效率低。采用聚類分析的方法,可以一次處理多個(gè)能量相近的信號(hào),減少了信號(hào)變換的次數(shù),降低了多次變換引起的信號(hào)畸變。文獻(xiàn)[10]中通過平面截取信號(hào)在(α,u)域上的尖峰,引入廣度優(yōu)先搜索鄰居的聚類算法,以期獲得每個(gè)LMF對(duì)應(yīng)的尖峰位置,實(shí)現(xiàn)多個(gè)較強(qiáng)信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)。

本文將混沌-多步BFGS法和廣度優(yōu)先搜索鄰居聚類法相結(jié)合,通過逐次相消從強(qiáng)到弱,進(jìn)行多分量混疊信號(hào)的分離與檢測(cè),具體處理步驟如下所述。

4.1 應(yīng)用混沌-多步BFGS混合法搜索FRFT域最大值

多步擬牛頓法雖然搜索精度高、速度快,但是其是一種局部搜索法,受初始值影響較大。而將混沌優(yōu)化算法與多步擬牛頓法相結(jié)合,能夠?qū)崿F(xiàn)全局收斂性和收斂速率快的目的,避免在步進(jìn)搜索中,步長(zhǎng)因子選擇不當(dāng)造成收斂速率與檢測(cè)精度不協(xié)調(diào)的問題。圖1所示為混沌-多步BFGS混合法的流程圖。

圖1 混沌-多步BFGS混合法流程圖[7]Fig.1 Flowchart of chaos-multi-step BFGS method

4.2 信號(hào)尖峰的聚類分析

FRFT域中信號(hào)尖峰包含了信號(hào)的所有信息,只要搜索出信號(hào)尖峰在FRFT域中所處的位置即可檢測(cè)出對(duì)應(yīng)信號(hào)參數(shù)。選擇一個(gè)合適的平面,對(duì)平面(α,u)上的信號(hào)尖峰進(jìn)行切割,以切割的信號(hào)尖峰作為聚類輸入集。設(shè)(α0,u0)為FRFT域最大值對(duì)應(yīng)的位置,選擇合理的高度因子 m,以為切割平面的高度作初次切割,在保證切割的信號(hào)數(shù)最多情況下,又不至于切割到噪聲或干擾,提高每次切割的效率。令 T=,設(shè)行數(shù)和列數(shù)分別為 r、l,T 的矩陣元素為Tij,1≤i≤r,1≤j≤l。利用平面切割,求出聚類輸入集Y為

以相異度矩陣作為兩個(gè)對(duì)象之間近似性的量化表示。對(duì)于給定對(duì)象 x以及任意對(duì)象xi,r為距離參數(shù),找出在聚類分析輸入集Y中的直接鄰居和間接鄰居。如果符合設(shè)定的類門限參數(shù) λ,則將它們歸為一類,完成一次聚類。在完成聚類處理之后,搜索各類的局部極大值,把對(duì)應(yīng)的尖峰坐標(biāo)(uk,αk)代入式(11)求出LFM信號(hào)的參數(shù)值。

4.3 逐次消去檢測(cè)到的強(qiáng)信號(hào)分量

在信號(hào)消去的方法中,一種是根據(jù)已檢測(cè)出的LFM信號(hào)參數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu),通過自適應(yīng)的方法將重構(gòu)信號(hào)與原混疊信號(hào)對(duì)消,消除強(qiáng)分量,但這種方法在信號(hào)檢測(cè)與對(duì)消過程中易受到誤差的影響。另一種方法是在變換域u上作帶阻濾波。對(duì)原混疊多分量信號(hào)作旋轉(zhuǎn)角度αk變換:

式中,Sαk(u)為對(duì)應(yīng)于角度 αk有沖激函數(shù)的信號(hào),Wαk(u)代表其他信號(hào)分量作旋轉(zhuǎn)角度為 αk的變換。再在u域內(nèi)對(duì)尖峰進(jìn)行遮蔽處理:

M(u)為中心頻率為 u的帶阻濾波器,適當(dāng)選擇其帶寬,保證既能濾除強(qiáng)信號(hào)分量,又對(duì)其他信號(hào)不造成較大損傷。

4.4 濾除強(qiáng)信號(hào)后的時(shí)域恢復(fù)

對(duì)遮蔽處理后的信號(hào)作逆FRFT變換,得到經(jīng)過一次聚類分析和信號(hào)消除后的剩余信號(hào)分量。對(duì)剩余信號(hào)進(jìn)行放大,然后重復(fù)以上流程,直到滿足特定門限,使剩余成分中不再含有所需信號(hào)分量。

5 仿真與分析

假設(shè)接收信號(hào)中含有5個(gè)信號(hào)分量,其中兩個(gè)窄帶信號(hào)分別為

其余3個(gè)寬帶LFM分量,振幅分別為 a3=1.2、a4=1、a5=1,初始頻率分別為 f3=40 Hz、f4=75 Hz、f5=95 Hz,調(diào)頻斜率分別為 k3=9Hz/s、k4=12 Hz/s、k5=5 Hz/s。噪聲為加性零均值高斯白噪聲,信噪比為6 dB。圖2所示為各信號(hào)分量的頻譜圖,圖3為混合信號(hào)的頻譜圖。

圖2 各信號(hào)分量的頻譜圖Fig.2 The spectrum of the signal components

圖3 混合信號(hào)的頻譜圖Fig.3 The spectrum of mixed-signal

由圖2和圖3可知,接收的多信號(hào)分量之間在頻譜上相互重疊,通過頻域?yàn)V波的方法,不能進(jìn)行分離及檢測(cè)各分量的參數(shù)。先做FRFT,首先檢測(cè)出p=1上的余弦信號(hào)和調(diào)幅信號(hào),之后將檢測(cè)出的信號(hào)從混疊信號(hào)中消除。消去窄帶余弦和調(diào)幅信號(hào)前后多分量信號(hào)的FRFT變換的頻譜圖分別如圖4和圖5所示。

圖4 原混疊信號(hào)的FRFT幅值圖Fig.4 The FRFT magnitude diagram of original signal

應(yīng)用混沌-多步擬牛頓法檢測(cè)出最大信號(hào)的FRFT域位置為( α, u)=(3.086 1,2.218 8),在進(jìn)行聚類分析之前,設(shè)定各參數(shù)的值為:平面切割的高度因子m=0.7,距離參數(shù)r=0.02,類門限參數(shù) λ=0.95。信號(hào)尖峰的第一次聚類結(jié)果如圖6所示。

圖5 消去窄帶信號(hào)后的FRFT幅值圖Fig.5 FRFT magnitude after eliminating narrow-band signals

圖6 信號(hào)尖峰的第一次聚類結(jié)果Fig.6 The first signal peak clustering result

在進(jìn)行尖峰聚類時(shí),若存在的多個(gè)信號(hào)分量,弱分量的能量小于強(qiáng)分量的0.7倍時(shí),只進(jìn)行一次聚類,將會(huì)導(dǎo)致弱信號(hào)不能檢測(cè)出來,此時(shí)應(yīng)將檢測(cè)出的強(qiáng)信號(hào)分量在混疊信號(hào)中消除,減小對(duì)弱信號(hào)分量的遮蔽作用。然后再應(yīng)用混沌-多步擬牛頓法檢測(cè)出剩余信號(hào)中的最大信號(hào),使用聚類分析,得到多個(gè)能量相近信號(hào),直到所有信號(hào)分量都被檢測(cè)出來。

信號(hào)y3、y4、y5分別在各自的最佳旋轉(zhuǎn)角和對(duì)應(yīng)u值的尖峰圖如圖7所示。

圖7 y3、y4、y5最佳旋轉(zhuǎn)角處FRFT幅值圖Fig.7 The FRFT magnitude of y3,y4,y5in best rotation angle

6 結(jié) 論

本文研究了將混沌-多步擬牛頓法和聚類分析綜合應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階Fourier變換進(jìn)行頻譜重疊信號(hào)的分離與檢測(cè),改變了之前研究中單純提高搜索速率或單純應(yīng)用聚類分析的方法,通過理論分析和仿真驗(yàn)證,本方法與其他方法相比,能夠在保證檢測(cè)精度的前提下提高檢測(cè)效率。文中只考慮了單頻、調(diào)幅和線性調(diào)頻3種信號(hào)混疊的檢測(cè),對(duì)于混疊信號(hào)中含有更多種調(diào)制信號(hào)的分離與檢測(cè),將是我們下一步研究的重點(diǎn)。

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