黃翠玲， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中有很多經(jīng)典的曲線造型工具，如Bézier曲線、B樣條曲線等，這些曲線模型具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在實(shí)際工程曲線曲面造型中也得到了廣泛的應(yīng)用，但仍存在一些不足之處，如給定控制點(diǎn)時(shí)，Bézier曲線的位置是確定的，若調(diào)整曲線的形狀必須調(diào)整控制多邊形。為了方便地調(diào)整曲線形狀或改變曲線的位置，人們提出了使用參數(shù)構(gòu)造曲線的方法，有理Bézier曲線和有理B樣條曲線中的權(quán)因子也有調(diào)整曲線的作用，但權(quán)因子的選取對(duì)曲線形狀影響尚未完全解決，所以使用張量參數(shù)構(gòu)造曲線的方法是值得研究的重要問(wèn)題。文獻(xiàn)［1－3］在Bézier基函數(shù)中引入1個(gè)或多個(gè)形狀參數(shù)構(gòu)造了帶參數(shù)的Bézier曲線曲面，對(duì)Bézier曲線進(jìn)行了擴(kuò)展；文獻(xiàn)［4－5］基于引入形狀參數(shù)的方法對(duì)B樣條曲線作了擴(kuò)展，使得曲線具有更好的調(diào)節(jié)性。自1974年，英國(guó)數(shù)學(xué)家Ball在著名的CONSURF機(jī)身曲面造型中首次提出一種有理三次參數(shù)曲線［6－8］以來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)Ball曲線［9］類似于Bézier曲線，也具有良好的保形性質(zhì)，且在某些方面有比Bézier曲線更好的性質(zhì)，因此廣義Ball曲線曲面的研究越來(lái)越受到重視，其中以 Wang－Ball和Said－Ball曲線曲面為主。文獻(xiàn)［10－11］分別對(duì)三次Ball曲線以及四次Ball曲線進(jìn)行了參數(shù)擴(kuò)展，由得到的新的基函數(shù)組所定義的曲線具有與三次Ball曲線類似的性質(zhì)。文獻(xiàn)［12］提出2類高次帶位置參數(shù)的廣義Ball曲線，第1類介于Wang和Said之間，第2類介于Bézier和Said之間。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)［13］構(gòu)造了一簇新的廣義Ball基，并給出了相應(yīng)曲線和三角面片的一些性質(zhì)。

本文針對(duì)四次 Wang－Ball曲線進(jìn)行擴(kuò)展，通過(guò)引入2個(gè)形狀參數(shù)α、β得到5個(gè)四次多項(xiàng)式，稱之為 Wang－Ball型基函數(shù)。Wang－Ball型基函數(shù)實(shí)現(xiàn)了從四次 Wang－Ball基到Said－Ball基函數(shù)的過(guò)渡以及四次Said－Ball基到Bernstein基的過(guò)渡，由Wang－Ball型基函數(shù)構(gòu)造了帶有2個(gè)形狀參數(shù)的曲線，稱為 Wang－Ball型曲線，Wang－Ball型曲線具有與四次Wang－Ball曲線類似的性質(zhì)，并且包含了文獻(xiàn)［11］中的2類曲線。

1 Wang－Ball型曲線

1.1 基函數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì)

定義1 對(duì)t∈［0，1］，α、β∈R，關(guān)于t的多項(xiàng)式（1）式為帶參數(shù)α、β的四次 Wang－Ball型基函數(shù)，即

α＝0，β＝1時(shí)基函數(shù)的圖形如圖1所示。

上述基函數(shù)具有下列性質(zhì)。

性質(zhì)1 非負(fù)性、權(quán)性。對(duì)任意的t∈［0，1］，α∈［－2，2］，β∈［－2，1］，有 wi，4（t）≥0，i＝0，1，2，3，4，且

性質(zhì)2 對(duì)稱性。對(duì)任意的t∈［0，1］，wi，4（t）＝w4－i，4（1－t），i＝0，1，2，3，4。

性質(zhì)3 端點(diǎn)性質(zhì)。

性質(zhì)4 單峰性。每個(gè)基函數(shù)在［0，1］上具有唯一的最大值。

性質(zhì)5 退化性。當(dāng)α＝0，β＝0時(shí)，Wang－Ball型基為四次Wang－Ball曲線的基函數(shù)；當(dāng)α＝1，β＝1時(shí)，Wang－Ball型基為四次Said－Ball曲線的基函數(shù)；當(dāng)α＝2，β＝1時(shí) Wang－Ball型基為四次Bernstein基函數(shù)。

圖1 Wang－Ball型基函數(shù)

性質(zhì)5說(shuō)明定義1給出的基函數(shù)是Ball基函數(shù)的擴(kuò)展。

性質(zhì)6 對(duì)參數(shù)α、β的單調(diào)性。當(dāng)t∈［0，1］，w0，4（t）是分別關(guān)于α、β的單調(diào)遞減函數(shù)，w1，4（t）、w3，4（t）是關(guān)于α的單調(diào)遞增函數(shù)，w2，4（t）是關(guān)于β的單調(diào)遞增函數(shù)，w4，4（t）是關(guān)于α、β的單調(diào)遞減函數(shù)。

1.2 Wang－Ball型曲線的構(gòu)造與性質(zhì)

定義2 給定控制頂點(diǎn)Pi∈Rd，d＝2，3，i＝0，1，2，3，4，對(duì)任意α∈［－2，2］，β∈［－2，1］，稱（2）式為帶雙參數(shù)的四次 Wang－Ball型曲線，即

顯然，當(dāng)α＝β＝0時(shí)，四次 Wang－Ball型曲線退化為四次 Wang－Ball曲線；當(dāng)α＝β＝1時(shí)；四次Wang－Ball型曲線退化為四次Said－Ball曲線；當(dāng)α＝2，β＝1時(shí)該曲線退化為四次Bézier曲線。

圖2給出了四次 Wang－Ball曲線以及四次Said－Ball曲線之間的曲線，也給出了四次Said－Ball曲線以及四次Bézier曲線之間的曲線。

圖2 Wang－Ball曲線與Bézier曲線的過(guò)渡

從上述基函數(shù)的性質(zhì)，不難得出曲線具有下列性質(zhì)。

性質(zhì)7 凸包性。由基函數(shù)的非負(fù)性和權(quán)性即可得到。

性質(zhì)8 對(duì)稱性。以P0P1P2P3P4和P4P3P2P1P0為控制多邊形的2條四次 Wang－Ball型曲線是相同的，只是方向相反。

因此根據(jù)基函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，可得：

性質(zhì)9 端點(diǎn)性質(zhì)。

上述端點(diǎn)性質(zhì)說(shuō)明四次Wang－Ball型曲線插值于首末端點(diǎn)及與控制多邊形的首末邊相切。

性質(zhì)10 幾何不變性和仿射不變性。曲線僅依賴于控制頂點(diǎn)，而與坐標(biāo)系的位置和方向無(wú)關(guān)，即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時(shí)，對(duì)控制多邊形進(jìn)行縮放或剪切等仿射變化后所對(duì)應(yīng)的新曲線就是相同仿射變化后的曲線。

性質(zhì)11 逼近性。即當(dāng)參數(shù)α＋β增大時(shí)，相應(yīng)的曲線更加逼近奇控制多邊形，突破了四次Wang－Ball曲線以及Said－Ball曲線對(duì)控制多邊形的逼近。根據(jù)基函數(shù)對(duì)參數(shù)的單調(diào)性可以驗(yàn)證。

性質(zhì)12 變差縮減性（V.D.）和保凸性。

性質(zhì)12的證明可采用文獻(xiàn)［14］中所提供的方法，具體可參考文獻(xiàn)［10］。

1.3 形狀參數(shù)的幾何意義

（1）固定參數(shù)α，當(dāng)β變動(dòng)時(shí)曲線的變化如圖3a所示，其中曲線1～4分別為α＝1時(shí)，β＝－2，－1，0，1的情形，可看出當(dāng)α不變，β越大，曲線越靠近頂點(diǎn)P2，即α＋β值越大曲線越逼近控制多邊形。

（2）固定參數(shù)β，當(dāng)α變動(dòng)時(shí)曲線的變化如圖3b所示，其中曲線1～5分別為β＝0時(shí)，α＝－2，－1，0，1，2的情形，可看出當(dāng)β不變，α越大曲線越靠近頂點(diǎn)P1、P3，亦即α＋β值越大曲線越逼近控制多邊形。

圖3 形狀參數(shù)的變化情形

2 曲線的拼接

下面討論四次 Wang－Ball型曲線的光滑拼接。設(shè)

其中，t∈［0，1］；W（t）、～W（t）中的參數(shù)分別為α、β和，且－2≤α，～α≤2；－Pi（i＝0，1，2，3，4）為W（t）的控制頂點(diǎn)；Qi（i＝0，1，2，3，4）為～W（t）的控制頂點(diǎn)。

結(jié)合四次 Wang－Ball型曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，可得曲線W（t）和～W（t）的光滑拼接條件如下。

特別地，當(dāng) P4＝Q0，且取時(shí)，＝W′（1），即2條曲線在切點(diǎn)處不但切向相同，而且切向量相同，則W（t）曲線與曲線在連接點(diǎn)P4處C1連續(xù)。

將（4）式帶入（6）式可得：

令h1為點(diǎn)P0到P3P4的距離，h2為點(diǎn)P2到P3P4的距離，k1為Q2到Q0Q1的距離，k2為Q4到Q0Q1的距離，當(dāng)參數(shù)α＝1，β＝1時(shí)2段端曲線在連接點(diǎn)處G2連續(xù)時(shí)的情形如圖4所示。

則（7）式變?yōu)椋?/p>

圖4 2段Wang－Ball型曲線的G2拼接

3 曲線的應(yīng)用實(shí)例

3.1 花瓣圖形

Wang－Ball型曲線形成的開(kāi)曲線花瓣圖形如圖5a所示，參數(shù)（α，β）從內(nèi)到外分別為（－2，－2），（－1.5，－1），（－1，0），（0，0.5），（1，1），從圖5a中可以看出，當(dāng)α、β取值不同時(shí)所形成的圖形仍具有對(duì)稱性。

四次Wang－Ball型曲線與四次Ball曲線以及四次Bézier曲線一樣，當(dāng)首末頂點(diǎn)重合時(shí)，得到一封閉曲線，閉曲線的花瓣圖形如圖5b所示，參數(shù)（α，β）從內(nèi)向外分別為（0，0），（1，1），（2，1）。

圖5 2種曲線花瓣圖形

3.2 花瓶圖形

圖6a所示為花瓶旋轉(zhuǎn)曲面的母線，它是由3段相鄰的四次Wang－Ball型曲線以G1連續(xù)拼接而成的，圖6b是相應(yīng)生成的花瓶曲面模型，可以選擇不同的參數(shù)，調(diào)節(jié)母線的形狀，進(jìn)而調(diào)節(jié)花瓶的形狀。

圖6 花瓶圖形

4 張量積曲面

運(yùn)用張量積的方法可將曲線推廣到曲面上。

定義3 給定5×5個(gè)控制頂點(diǎn)Pi，j∈Rd（d＝2，3；i，j＝0，1，2，3，4），其相應(yīng)的張量積曲面（9）式稱為［0，1］×［0，1］上的雙四次 Wang－Ball型曲面，即

其中，u，v∈［0，1］；α∈［－2，2］；β∈［－2，1］。可以證明雙四次 Wang－Ball型曲面具有與四次Wang－Ball型曲線相似的幾何性質(zhì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

由 Wang－Ball型基函數(shù)構(gòu)造的 Wang－Ball型曲線（2）式具有四次Wang－Ball曲線的特征，如端點(diǎn)插值、控制多邊形首末邊相切、凸包性、變差縮減性、保凸性等。該曲線不僅分別以四次Wang－Ball曲線、四次Said－Ball曲線和四次Bézier曲線為特例，而且由于帶有形狀參數(shù)，所以可以在不改變控制多邊形的情況下對(duì)曲線的形狀和位置進(jìn)行調(diào)整，從而可以得到介于四次 Wang－Ball曲線和Said－Ball曲線之間以及介于四次Said－Ball曲線和Bézier曲線之間的無(wú)數(shù)中間曲線。本文還討論了2段帶形狀參數(shù)的 Wang－Ball型曲線的G0、G1和G2連續(xù)的拼接條件。實(shí)例表明，Wang－Ball型曲線曲面通過(guò)選取不同的參數(shù)值可以生成多種不同的常用復(fù)雜曲線曲面，因而它在工程曲線曲面的造型中有著非常廣泛的應(yīng)用前景。

［1］吳曉勤，韓旭里，羅善明.四次Bézier曲線的兩種不同擴(kuò)展［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2006，27（5）：59－64.

［2］張?jiān)蓿S有度.帶雙參數(shù)的Bézier型三角多項(xiàng)式曲線［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2008，25（11）：236－238.

［3］鄔弘毅，夏成林.帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線與曲面的擴(kuò)展［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17（12）：2607－2612.

［4］王文濤，汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的均勻B樣條［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16（6）：783－788.

［5］馬素靜，劉旭敏.二次均勻TC－B樣條曲線的擴(kuò)展［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2008，29（22）：5863－5865.

［6］Ball A A.CONSURF，part 1：introduction to the conic lofting title［J］.Computer Aided Design，1974，6（4）：243－249.

［7］Ball A A.CONSURF，part 2：description of the algorithms［J］.Computer Aided Design，1975，7（4）：237－242.

［8］Ball A A.CONSURF，part 3：how the program is used［J］.Computer Aided Design，1977，9（1）：9－12.

［9］王國(guó)瑾，汪國(guó)昭，鄭建明.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2001：99－111.

［10］王成偉.三次Ball曲線的擴(kuò)展［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29（1）：77－81.

［11］嚴(yán)蘭蘭，饒智勇，溫榮生.兩類新的四次Ball曲線［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，33（2）：316－320.

［12］鄔弘毅.兩類新的廣義Ball曲線［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（2）：196－205.

［13］沈莞薔，汪國(guó)昭.Ball基的推廣［J］.軟件學(xué)報(bào)，2005，16（11）：1992－1999.

［14］Goldman R.金字塔算法：曲線曲面幾何模型的動(dòng)態(tài)編程處理［M］.吳宗敏，劉劍平，曹 沅，等，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2004：152－157.