戴道明

（安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

由于互聯(lián)網(wǎng)的迅猛發(fā)展，以及直接面向顧客（Direct－to－Customer，簡稱 DTC）訂貨方式的廣泛采用，制造商可以從互聯(lián)網(wǎng)上獲得大量有關(guān)顧客偏好和需求方面的信息，且價格變動所產(chǎn)生的費用非常低。因此，動態(tài)定價策略在零售業(yè)和制造業(yè)中掀起了一場重要的變革。

大多數(shù)定價與生產(chǎn)／庫存的聯(lián)合決策問題致力于單周期情形［1－3］。在這些模型中，價格是決策變量，需求是關(guān)于價格的單調(diào)減函數(shù)。研究的焦點在于設(shè)計算法（如微分法、求導(dǎo)或迭代法等），以便求得最優(yōu)價格和最優(yōu)訂貨量。

也有不少文獻(xiàn)研究多周期定價與生產(chǎn)／庫存的聯(lián)合決策問題。文獻(xiàn)［4］提出了逐期評審（s，S，p）策略；文獻(xiàn)［5］探討了政府和 WEEE回收法規(guī)對兩周期新制造產(chǎn)品與再制造產(chǎn)品差異定價策略和利潤的影響；文獻(xiàn)［6］研究了新制造產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品差異銷售情形，結(jié)果表明2種產(chǎn)品的數(shù)量在相鄰周期間交替占優(yōu)。

在以上提及的文獻(xiàn)中，周期的跨度預(yù)先未知，在企業(yè)生產(chǎn)管理實際應(yīng)用中帶來諸多不便?；贛RP的定價與生產(chǎn)／庫存的聯(lián)合決策問題［7－10］，預(yù)先把計劃期劃分成若干個周期（周期為月、旬或自然周等），在實際生產(chǎn)管理活動中易于操作。其模型和方法可以作為常用管理軟件（如MRPII、ERP等）的模型庫和方法庫。這類聯(lián)合決策問題一般運用組合技術(shù)進(jìn)行求解，涉及價格和生產(chǎn)量2類決策變量，求解方法比較復(fù)雜。

文獻(xiàn)［7］研究了考慮價格折扣的訂貨批量問題；文獻(xiàn)［8］研究了訂貨費用和庫存費用是動態(tài)情形的定價和批量的聯(lián)合決策問題；文獻(xiàn)［9］研究生產(chǎn)能力受限情形下制造／再制造混合批量問題，設(shè)計了一種啟發(fā)式蟻群優(yōu)化算法；文獻(xiàn)［10］研究了隨機提前期的批量問題，提出了動態(tài)規(guī)劃算法。

面對激烈的市場競爭，企業(yè)常常按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將市場劃分成若干個子市場，針對每個子市場的特點分別采取不同的定價策略和生產(chǎn)策略，以便獲得最佳效益。本文針對市場細(xì)分情形，研究基于MRP的動態(tài)定價與允許交貨延遲批量的聯(lián)合決策問題，提出基于動態(tài)規(guī)劃的精確算法。

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)T為計劃期內(nèi)的周期數(shù)；Mt為第t周期的子市場數(shù)；Kt為第t周期的生產(chǎn)啟動費用；vt為第t周期的單位產(chǎn)品變動生產(chǎn)費用；為第t周期的單位產(chǎn)品存貯費用為第t周期的單位產(chǎn)品延遲費用；γ為允許交貨延遲的最大周期數(shù)；dmt為第t周期第m 子市場的需求量；pmt（dmt）＝αmt－βmtdmt，為第t周期第m 子市場的價格函數(shù)；dt為第t周期的所有子市場的需求之和；xt為第t周期的生產(chǎn)量；為第t周期末的庫存量；為第t周期的交貨延遲量；第t周期如果生產(chǎn)則yt取1，否則取0。問題的數(shù)學(xué)模型如下：

模型Ⅰ：

目標(biāo)函數(shù)（1）是制造商的利潤；約束條件（2）是相鄰周期間的物料平衡方程；約束條件（3）要求每個周期所有子市場的需求量之和等于該周期的總需求量；約束條件（4）規(guī)定了生產(chǎn)量的上限；約束條件（5）表示某周期是否生產(chǎn)；約束條件（6）要求未被滿足的交貨延遲的期限不能超過γ個周期；約束條件（7）要求相關(guān)變量的非負(fù)性；約束條件（8）要求每個周期各個子市場的需求量和價格是非負(fù)的。目標(biāo)函數(shù)（1）中是第t周期的收益。當(dāng)?shù)趖周期的各子市場需求量之和為dt時，考慮下面的模型。

模型Ⅱ：

令Rmt（dmt）表示第t周期第m 子市場的收益，即Rmt（dmt）＝dmtpmt（dmt）。由pmt（dmt）定義可知，Rmt（dmt）處處可微，且是凹函數(shù)。模型Ⅱ的庫恩－塔克條件為：

通過（10）式和（11）式可以分別求解出d1t，…，dMtt關(guān)于dt的函數(shù)表達(dá)式，令

令Rt（dt）表示周期t的需求量為dt時，周期t的最大收益。由于d1t，d2t，…，dMtt僅僅通過dt與批量決策相關(guān)聯(lián)，因此模型Ⅱ和下面的模型Ⅲ聯(lián)合起來等價于模型Ⅰ。

模型Ⅲ：

2 最優(yōu)解性質(zhì)分析

令D＝｛d1，…，dT｝表示從周期1到周期T的需求向量，X（D）表示需求向量為D時的可行生產(chǎn)計劃。

定義2 如果Sab（1≤a＜b≤T）表示生產(chǎn)計劃X（D）的一個子集，且Sab＝｛xi，a≤i＜b｜a－1和b是再生點＞0或＞0，a≤j＜b｝，則稱Sab是生產(chǎn)計劃X（D）的子生產(chǎn)計劃，相應(yīng)的問題稱為子問題（a，b）。特別地，如果a－1和a都是再生點，則Saa也是生產(chǎn)計劃X（D）的子生產(chǎn)計劃。

定理1 給定需求向量D＝｛d1，…，dT｝，存在某個最優(yōu)生產(chǎn)計劃，具有以下性質(zhì)：在任意2個連續(xù)的生產(chǎn)點t0、t1（1≤t0＜t1≤T）間，至少存在1個再生點j，t0≤j＜t1；也就是說，在任意2個連續(xù)的再生點間，至多存在1個生產(chǎn)點。

證明 反證法。假設(shè)最優(yōu)生產(chǎn)計劃X（D）存在連續(xù)生產(chǎn)點t0、t1，它們之間沒有再生點，即＞0或＞0（t0≤i＜t1）。分3類：①＞0（t0≤i＜t1）；②＞0（t0≤i＜t1）；③ 存在某個周期j0（t0＜j0＜t1）＞0且＞0。以第3類為例進(jìn)行證明，分2種情形討論。

這時，周期j0的需求既可以全部由生產(chǎn)點t0來滿足（此時，Ij0＝0），也可以全部由生產(chǎn)點t1來滿足（此時，Ij0－1＝0），總費用不變。因此，存在某個最優(yōu)解X′（D），具有定理1的性質(zhì)。

第1類取j0＝t1－1；第2類取j0＝t0，可以類似地證明。證畢。

由定理1可知，存在某個最優(yōu)生產(chǎn)計劃，任意2個連續(xù)的再生點，至多有1個生產(chǎn)點。因此，很容易得到下面的推論。

推論1 存在某個最優(yōu)生產(chǎn)計劃，對于任意周期t，要么不生產(chǎn)，要么生產(chǎn)量是幾個連續(xù)周期的需求量之和。

設(shè)周期t0是生產(chǎn)點，令周期r（t0）表示不超過周期t0的最遲的再生點。

證明 存在最優(yōu)解X（D＊＊），其中D＊＊＝，…，｝。t0和t1（t0＜t1）是 X（D＊＊）的任意2個連續(xù)的生產(chǎn)點。由于從周期r（t0）＋1到r（t1）只有1個生產(chǎn)點t0，故對于周期t，其中r（t0）＋1≤t≤（t0－1），需求量分別為和時，利潤之差為：

綜上所述，需求向量D＊＝，…，｝也是原問題的一個最優(yōu)需求向量。證畢。

3 算法及計算復(fù)雜度

3.1 模型Ⅱ的求解方法

Rt（dt）是關(guān)于dt的二次函數(shù)。不妨設(shè)Rt（dt）＝At＋Btdt＋。把（14）式代入到模型Ⅱ目標(biāo)函數(shù)（9）式中，得到：

3.2 模型Ⅲ的子問題求解方法

根據(jù)定理1，可以把模型Ⅲ分解成若干子問題，分別對子問題進(jìn)行求解。不失一般性，以子問題（1，n）（1≤n≤T）為例。根據(jù)定理1及推論1可知，子問題（1，n）只有1個生產(chǎn)點t（1≤t≤γ＋1）且生產(chǎn)量為子問題所有周期的需求總和。對于給定的生產(chǎn)點，運用定理2可以求解子問題的每個周期的價格。遍歷所有可能的生產(chǎn)點，利潤最大者所對應(yīng)的生產(chǎn)計劃和需求向量為子問題的最優(yōu)生產(chǎn)計劃和最優(yōu)需求向量。

令Φ是所有可行D 的集合。E（1，n，t0）表示子問題（1，n）生產(chǎn)點為t0時的最大利潤，即

子問題（1，n）的最優(yōu)需求策略：

把（24）式和（25）式分別代入（14）式，得到周期t時各子市場的需求量dmt。如果dmt＜0，則令dmt＝0，（12）式和（13）式中不考慮市場m，重新計算需求量為非負(fù)的子市場的需求量。直至各子市場需求量非負(fù)為止。

子問題（1，n）的最優(yōu)生產(chǎn)策略：

3.3 模型Ⅲ的求解方法

用動態(tài)規(guī)劃法求解模型Ⅲ。F（k）表示從計劃期初到周期k末的總利潤。令δ＝min｛i＋γ，k｝。

由定理1，得到動態(tài)規(guī)劃順序遞推公式：

其中，（28）式為初始條件，E（i，k，t）可以根據(jù)3.2節(jié)中的算法進(jìn)行求解。F（T）就是模型Ⅲ的最大利潤，對應(yīng)的需求向量（或生產(chǎn)計劃）就是模型Ⅲ的最優(yōu)需求向量（或最優(yōu)生產(chǎn)計劃）。

3.4 計算復(fù)雜度分析

模型Ⅱ的時間復(fù)雜度為O（T）。對于模型Ⅲ，子問題的時間復(fù)雜度為O（T）。模型Ⅲ包含的子問題數(shù)是0.5T（T－1），因此，模型Ⅲ的時間復(fù)雜度為O（T3）。綜上所述，模型Ⅰ的時間復(fù)雜度為O（T3）。

3.5 算法的具體步驟

算法的主要步驟如下：

（1）給定周期t，根據(jù)（14）式，求得周期t各子市場的需求函數(shù)表達(dá)式；利用（21）～（23）式求得收益Rt（dt）的函數(shù)表達(dá)式。

（2）按照步驟（1），求得所有周期收益函數(shù)表達(dá)式和各子市場的需求函數(shù)表達(dá)式。

（3）對于i，k，1≤i≤k≤T，運用3.2中的方法求解子問題（i，k）的最優(yōu)需求量和生產(chǎn)計劃。

（4）按照步驟（3），求解所有可能的子問題（i，k）的最優(yōu)需求向量和最優(yōu)生產(chǎn)計劃。

（5）運用（27）式和（28）式，用動態(tài)規(guī)劃順推解法求解出模型Ⅲ的最大利潤、最優(yōu)價格向量和最優(yōu)生產(chǎn)計劃。

（6）對于步驟（5）中求得的各周期最優(yōu)需求量，利用步驟（1）得到的每周期各子市場的需求函數(shù)表達(dá)式，求得每周期各子市場的最優(yōu)需求量。

4 實驗結(jié)果與參數(shù)分析

交貨延遲的最大周期數(shù)γ＝3，每周期的子市場數(shù)Mt＝3。根據(jù)αjt和βjt的取值特征，把問題分為4種類型。類型Ⅰ：所有子市場的價格函數(shù)相同，αjt（j＝1，2，3）的值都等于表1中的α3t，βjt（j＝1，2，3）的值都等于表1中的β1t，其余參數(shù)值見表1所列。類型Ⅱ：βjt（j＝1，2，3）的值都等于表1中的β1t，其余參數(shù)值見表1所列。類型Ⅲ：αjt（j＝1，2，3）的值都等于表1中的α3t，其余參數(shù)值見表1所列。周期t（t＝1，…，T）時，如果每個子市場的價格函數(shù)相同，則該周期內(nèi)各子市場的最優(yōu)需求量和最優(yōu)價格是相同的，見表2和表3中的Ⅰ行。如果所有子市場價格函數(shù)的βjt（j＝1，2，3）取值相同，αjt（j＝1，2，3）減少，那么子市場的需求量隨之降低且價格也隨之降低，見表2和表3的Ⅱ行。如果所有子市場價格函數(shù)中的αjt（j＝1，2，3）取值相同，βjt（j＝1，2，3）增加，那么子市場的需求量反而隨之降低且價格保持不變，見表2和表3的Ⅲ行。如果αjt（j＝1，2，3）減少且βjt（j＝1，2，3）增加，那么子市場需求量下降的幅度更大，見表2和表3的Ⅳ行。綜上所述，αjt與子市場需求量（或價格）是正相關(guān)的，βjt與子市場需求量是負(fù)相關(guān)的且與價格不相關(guān)。

表1 類型Ⅳ的主要參數(shù)值

表2 4種類型的各子市場的最優(yōu)需求 件

表3 4種類型的各子市場的最優(yōu)價格 千元

圖1分析了不同生產(chǎn)啟動費用下，不允許延遲情形下和允許延遲情形下聯(lián)合決策的利潤變化。圖1的參數(shù)值見表1所列。從圖1可以看出，2條曲線呈張開的剪刀形，說明允許交貨延遲情形下的聯(lián)合決策對生產(chǎn)啟動費用的變化較為“遲鈍”。從管理角度來說，當(dāng)生產(chǎn)啟動費用較大時，采用允許交貨延遲的聯(lián)合決策可以給企業(yè)增加更多的利潤；當(dāng)固定費用較小時，2種情形下的利潤差別不大?？梢詮睦碚摻嵌冉忉屵@個現(xiàn)象，當(dāng)生產(chǎn)啟動費用較大時，采用允許交貨延遲的聯(lián)合決策模型可以減少生產(chǎn)啟動的次數(shù)，如果減少的生產(chǎn)啟動費用大于由于生產(chǎn)點的數(shù)目減少而增加的延遲費用和庫存費用，則利潤就會增加。

圖1 不許延遲與允許延遲的利潤比較

一般來說，聯(lián)合策略優(yōu)于分散策略，如圖2所示。

圖2 分散策略與聯(lián)合策略的利潤比較

圖2的參數(shù)值見表1所列。分散策略下，選擇了13種定價方案。為方便起見，分散策略下的每周期各子問題的價格取值分別是聯(lián)合決策下最優(yōu)價格的92%、93%、94%、95%、96%、97%、98%、99%、101%、102%、103%、104%、105%。當(dāng)倍數(shù)大于等于106%時，子市場3周期1的需求量為負(fù)，定價方案不可行。從管理角度來看，如果分散策略下價格過低，雖然提高市場占有率，但降低了邊際利潤率；如果價格過高，雖然提高了邊際利潤率，但降低了市場占有率。聯(lián)合決策模型在邊際利潤率和市場占有率之間找到了平衡點，為每周期各子市場制定了合理的價格水平，使得企業(yè)利潤最大化。

5 結(jié)束語

本文研究了在市場細(xì)分情形下，允許交貨延遲的批量與定價的協(xié)調(diào)決策問題，提出了基于動態(tài)規(guī)劃的精確算法，可以在多項式時間O（T3）內(nèi)求解出每周期各個子市場的最優(yōu)價格和最優(yōu)生產(chǎn)計劃，獲得最大的利潤。定價時不僅注重公司的外部因素（通過產(chǎn)品成本、需求函數(shù)中的系數(shù)αjt和βjt體現(xiàn)），同時也考慮公司的內(nèi)部因素（生產(chǎn)費用及庫存費用等）。模型不僅可以有效解決成熟產(chǎn)品的定價決策與批量決策的協(xié)調(diào)問題，而且對制造商的新產(chǎn)品定價具有指導(dǎo)意義。

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