高振林， 許成蘇

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］半群S上的Green′s關(guān)系L和R定義為

Fountain［2］將Green’s關(guān)系推廣，定義 Green’s＊關(guān)系L＊和R＊為：

（a，b）∈L＊當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈S1有ax＝ay?bx＝by

（a，b）∈R＊當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈S1有xa＝y(tǒng)a?xb＝y(tǒng)b

文獻(xiàn)［3］對(duì)Green′s＊－關(guān)系做了進(jìn)一步推廣，定義Green’s＊＊關(guān)系L＊＊和R＊＊為

（a，b）∈L＊＊當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈S1有（ax，ay）∈R?（bx，by）∈R

（a，b）∈R＊＊當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈S1有（ax，ay）∈L?（bx，by）∈L

定義2［4］半群S如果滿足下列條件：

a.S的每個(gè)L＊＊－類至少含有一個(gè)冪等元；

b.對(duì)?a∈S，?e∈E（）有a＝ae，其中E（）為的冪等元集合，則稱S為wrpp半群；若wrpp半群S還滿足E（S）?C（S），即S的冪等元在S的中心（）CS中，則稱S為Cwrpp半群.

定義3［5］半群S上的同余ρ稱為Cwrpp同余，如果S／ρ是Cwrpp半群.此時(shí)如果ρ還是S上的Rees同余，稱ρ是Cwrpp Rees同余.

定義4［5］對(duì)半群S上的Cwrpp同余ρ，如果存在S的子集I和Cwrpp子半群使得

S＝I∪C（不必是不交并）且C?S／ρ

則稱I是S的（Cwrpp）ρ－集，這時(shí)將ρ記作ρI.

由文獻(xiàn)［5］知，若（Cwrpp）ρ－集存在，則由ρ唯一確定.另外，若ρ是 Cwrpp Rees同余，則（Cwrpp）ρ－集I必存在，且I是半群S的理想，稱I為S的Cwrppρ－理想.

定義5［5］對(duì)半群S，如果S無任何Cwrpp同余，那么定義S的Cwrpp根同余是泛關(guān)系S×S，且稱S是Cwrpp根半群；如果S至少有一個(gè)Cwrpp同余，那么定義S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα（α∈w）的交，記作ρcr.即

如果ρcr也有ρcr－集，則將其記為N（S）.即ρcr＝ρN（S）.稱N（S）為S的 Cwrpp根集.對(duì)于 Cwrpp根同余ρcr和Cwrpp根集N（S），有時(shí)統(tǒng)稱它們?yōu)镾的Cwrpp根.

由定義5知，對(duì)任－半群S，ρcr總是存在的.一般地，ρcr不必仍是S的Cwrpp同余.當(dāng)然，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，那么ρcr是S上的最小Cwrpp同余.

定義6［5］稱半群S的Cwrpp根同余ρcr是強(qiáng)Cwrpp根，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，且N（S）存在.若S的強(qiáng)Cwrpp根同余ρcr還是Rees同余，即N（S）是S的理想，則稱S為有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.

設(shè)半群S的Cwrpp根同余ρcr是強(qiáng)Cwrpp根，由文獻(xiàn)［5］知

定義7［4］稱半群S為（右）左（L）R－可消的，若?a，b，c∈S有（（ba，ca）∈L?（b，c）∈L）（ab，ac）∈R?（b，c）∈R.

定義8 假設(shè)N，T＊是不相交半群，T＝T＊∪｛0｝有零元0.稱半群S是由T關(guān)于N的一個(gè)（理想）擴(kuò)張，如果S＝NT＊（不交并）且N是S的一個(gè)理想使得S／N?T.T關(guān)于N的一個(gè)（理想）擴(kuò)張S稱為Cwrpp Rees根的擴(kuò)張，若T是Cwrpp半群且N（S）＝N是wrpp半群.

文獻(xiàn)［5］解決了有強(qiáng)Cwrpp根且N（S）＝E（S）是帶的wrpp半群S（即SBCRW－半群）的結(jié)構(gòu)刻畫.本文繼文獻(xiàn)［5］的工作，用半群的理想擴(kuò)張基本理論證明Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群的結(jié)構(gòu)特征，給出半群Cwrpp Rees根的幾種擴(kuò)張結(jié)構(gòu).

2 基本性質(zhì)

由文獻(xiàn)［1，3］得以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 a.（R＊＊－關(guān)系）L＊＊－關(guān)系為任意半群S上的（左同余）右同余，且在S上有（R＊?R＊＊，R＊＊｜E（S）＝R.）L＊?L＊＊，L＊＊｜E（S）＝L；

b.設(shè)U是半群S的子半群，則 LU?LS∩（U×U），RU?RS∩（U×U）.

由定義3，4，8易得以下引理1，2與性質(zhì)2.

引理1 若ρ是半群S上的Cwrpp Rees同余，則必有S的Cwrppρ－理想I使得ρ＝（I×I）∪1S且S／ρ同構(gòu)于Cwrpp半群S＼I∪｛0｝.

引理2 半群S的Cwrpp根同余ρcr是強(qiáng)Cwrpp Rees根同余的充分必要條件為：

a.ρcr是Cwrpp同余；

b.N（S）存在且N（S）是S的理想.

性質(zhì)2 設(shè)S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群，則

a.N（S）是Cwrpp根半群；

b.如果I既是S的Cwrpp理想，又是Cwrpp根半群，那么I＝N（S）；

c.S是Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.

證明 只要證明c.設(shè)S滿足題設(shè)要求，N＝N（S）是S的Cwrpp Rees根，由引理1，知

C＝∪α∈YMα∪ ｛0｝，S／N?S＼N∪ ｛0｝＝C是Cwrpp半群.依定義8，S是Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.證畢.

性質(zhì)3［3］有零元的Cwrpp半群C＝C＊∪｛0｝有半格分解表示

性質(zhì)4［3］設(shè)S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的 wrpp半群.若E（S）是帶，則存在半格Y使得E（N（S））包含子帶

證明 由題設(shè)條件和引理2得，S／N（S）?S＼N（S）∪｛0｝是Cwrpp半群，由性質(zhì)3，設(shè)S＼N（S）∪＼是左R－可消么半群的半格，這里Y是半格，1α是（α∈Y）的恒等元.因?yàn)镋（S）＝E（N（S））∪｛1α｝α∈Y是帶，N（S）是S的理想，故對(duì)e∈E（N（S）），1α∈C＊，e1α，1αe∈E（N（S）），于是e1α·e1α＝e1α＝eα，e1αf∈E（N（S））.則對(duì)?eα，fβ∈E0（由式（4）定義），eα·fβ＝e1α·f1β＝h1β＝hβ∈E0（h＝e1αf）.即E°是E（N（S））的子帶.證畢.

性質(zhì)5 Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.

證明 只要證S是wrpp半群，則由定義8即知S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.設(shè)a∈這里C是Cwrpp半群且N（S）＝N是wrpp半群.往證定義2中a與b.

若α∈N，因N是wrpp半群，故有冪等元e∈E（N），эeL＊＊Na且對(duì)?f∈E（N））有a＝af.由定義1，對(duì)

?x，y∈N，（ax，ay）∈RN?（ex，ey）∈RN

設(shè)x，y∈S，（ax，ay）∈RS＝R，則有x，，y，∈S，∈ax＝ayy，，ay＝axx，.于是

axN＝ayy，N?ayN，ayN＝axx，N?axN從而axN＝ayN，即（ax，ay）∈RN.由上式推得（ex，ey）∈RN，再由性質(zhì)1得（ex，ey）∈RS.同理可證（ex，ey）∈RS?（ax，ay）∈RS.綜合得（a，e）∈L＊＊S.設(shè)?f∈E（（S）），因

E（S）＼｛0｝＝E（N）∪E（C＊），C＊＝C＼｛0｝若f∈E（（N）），由上知a＝af；若f＝1α∈E（C＊）（?α∈Y），由（f，e）∈L＊＊S和性質(zhì)1得eS1＝fS1.因?yàn)閑∈N，f∈C＊且N是S的理想，故eS1?N，fS1∩C＊≠Φ.從而eS1≠fS1.

這表明不存在α∈Y，f＝1α∈E（C＊）∈f∈E（（S））.故對(duì)α∈N定義2中a與b成立.

對(duì)α∈C用以上相同方法可得定義2中a與b成立.證畢.

由性質(zhì)2與性質(zhì)5得：

定理1 設(shè)S為半群，以下兩條等價(jià).

a.S是Cwrpp Rees根擴(kuò)張半群；

b.S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.

引理3［6］設(shè)半群C與I滿足以下兩條，則C關(guān)于I的擴(kuò)張總是存在的.

a.C無真零因子；

b.I至少有一個(gè)冪等元.

3 半群的Cwrpp Rees根的擴(kuò)張結(jié)構(gòu)

用半群的理想擴(kuò)張基本理論，給出半群的幾種Cwrpp Rees根的擴(kuò)張結(jié)構(gòu)定理.

首先C＝C＊∪｛0｝是由式（3）給定的有零元的Cwrpp半群，N是與C＊不相交的Cwrpp根wrpp半群.E（N）包含由Y決定的半格

定理2 從C＊＝∪α∈YMα到N的映射θ定為

則以下結(jié)論成立：

a.θ是一個(gè)局部同態(tài)映射［6］；

b.令S＝NC＊為不交并，在S上定義由（a）－（d）決定的運(yùn)算“?！?/p>

（a）?x，y∈C＊，x?y＝xy在C＊中；

（b）?x∈C＊，n∈N，x?n＝xθ·n在N中；

（c）?x∈C＊，n∈N，n?x＝n·xθ在N中；

（d）?n，m∈M，n?m＝nm在N中.

則S構(gòu)成一個(gè)Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.

證明a.首先指出θ是C＊到N的局部同態(tài).只需證明對(duì)任意的xα∈Mα，yβ∈Mβ有 （xαyβ）θ＝xαθyβθ成立.由θ的定義知，存在eα，eβ∈E1使得xαθ＝eα，yβθ＝eβ.因C＊是Cwrpp半群，E1是由Y決定的半格，故有

b.由文獻(xiàn)［6］知，S是θ決定的C關(guān)于N的擴(kuò)張.因?yàn)镹是Cwrpp根wrpp半群，C是Cwrpp半群，S＝NC＊，故N是S的最小Cwrpp理想，所以N＝N（S）.即S構(gòu)成Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.證畢.

由文獻(xiàn)［4－5］，性質(zhì)3和定理2得以下推論：

推論1 設(shè)C是由式（3）給出的Cwrpp（Crpp）半群，N是Cwrpp根wrpp半群且有半格分解N＝∪α∈Y.若N∩C＊＝Φ，則

a.E（N）是帶且包含子半格E1（式（5）定義）；

b.從C＊到N可由式（6）定義局部同態(tài)映射θ，通過（M1）－（M4）決定C關(guān)于N的Cwrpp（Crpp）Rees根擴(kuò)張半群S，使得N是S的強(qiáng)Cwrpp（或Crpp）Rees根.

以上推論的一個(gè)特別情形是下面的結(jié)論：

推論2 設(shè)C為式（3）給出的Cwrpp（Crpp）半群，N是有零元的左（右）正則帶.若N∩C＊＝Φ，則

a.N是包含子半格E1（如式（5）定義）的Cwrpp根wrpp半群；

b.從C＊到N可由式（6）定義局部同態(tài)映射θ，通過（a）－（d）決定C關(guān)于N的Cwrpp（Crpp）Rees根擴(kuò)張半群S，使得N是S的強(qiáng)Cwrpp（或Crpp）Rees根.

由性質(zhì)4，Cwrpp根wrpp半群N的冪等元集E（N）不必包含子半格E1.但只要E（N）非空，由引理3知，N的Cwrpp Rees根擴(kuò)張總是存在的.因此類似定理2的證明，易證下列更一般的Cwrpp根擴(kuò)張定理.這里省略其證明.

定理3 設(shè)N是有零元的Cwrpp根wrpp半群，Cwrpp半群C由式（3）給出，S＝N∪·C＊是不交并.若有e∈E（N），則映射θ：?x∈C＊，xθ＝e是局部同態(tài)映射，且S關(guān)于運(yùn)算“?！保ㄓ桑╝）－（d）給出）構(gòu)成C關(guān)于N的Cwrpp Rees根擴(kuò)張半群.

對(duì)E（N）中兩個(gè)不同的冪等元，由定理3可以得到兩個(gè)C關(guān)于N的Cwrpp Rees根擴(kuò)張.兩者之間的關(guān)系由文獻(xiàn)［6］給出：

定理4 半群N，C如定理3所設(shè).若有e，f∈E（N），e≠f，則

a.可確定兩個(gè)C＊到N的局部同態(tài)映射θ，θ′為

由θ，θ′可分別決定N的兩個(gè)Cwrpp Rees根擴(kuò)張半群S，S′；

b.S和S′是等價(jià)擴(kuò)張（見文獻(xiàn)［6］）當(dāng)且僅當(dāng)存在N的自同構(gòu)φ和C的自同構(gòu)φ，使得θφ＝φ1θ′，其中φ1＝φ｜C＊.

4 例 子

最后用下例結(jié)朿本文，該例指出Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群（即有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群）有其獨(dú)特意義.

例1設(shè)C是有零元的Cwrpp半群，C的半格分解表示由式（4）給出.取N＝Y(jié)＝E1（見式（5）），則N為半格，對(duì)任意的x∈C＊，存在α∈Y使得x＝xα∈Mα.可定義映射

下證θ為C＊到N上的局部同態(tài)映射.

對(duì)x，y∈C＊，則存在α，β∈N使得x∈Mα，y∈Mβ，因此不妨記x＝xα，y＝y(tǒng)β.則存在zαβ∈Mαβ，使得

（xα·yβ）θ＝ （zαβ）θ＝αβ＝ （xαθ）·（yβθ）故θ為C＊到N的局部同態(tài)映射.又對(duì)α∈N，?xα∈Mα，?xαθ＝α，即θ為C＊到N上的局部同態(tài)映射.令S＝C＊∪N為不交并，S上的運(yùn)算“?！庇桑╝）－（d）給出，即

?x，y∈C＊，x?y＝xy在C＊中

?x∈C＊，β∈N，x?β＝xθ·n＝αβ在N中

?x∈C＊，β∈N，β?x＝β·xθ＝βα在N中

?α，β∈N，α?β＝αβ在N中

由定理2知，S是一個(gè)Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.它是有強(qiáng)Cwrpp Rees根N的wrpp半群.

由于E（S）＝E（N）∪｛1α｝α∈Y＝N∪｛1α｝α∈Y，按以上“?！边\(yùn)算定義有

即E（S）為半格.由于E（S）≠N（S）＝N，故S不是文獻(xiàn)［5］中的SBCRW－半群.由文獻(xiàn)［5］知，左Cwrpp（右Cwrpp），完備rpp半群（見文獻(xiàn)［4，7］）均是SBCRW－半群，故S不是這幾類半群中的任何一類.

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