李 奕

（湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢430068）

氣力輸送就是氣固二相流，當(dāng)氣流中含有大量細(xì)小固體顆粒，且流動速度足夠大時，固體顆粒的流動類似于流體［1－2］.氣固二相流中要研究的就是固體顆粒和氣流二相之間因為相互作用而形成的流動問題.在顆粒的堆積和粉體力學(xué)中，考慮的是顆粒因為相互接觸所產(chǎn)生的力和流變問題，并未考慮氣流和顆粒之間的相互作用，屬于靜力學(xué)范疇［3］.氣固二相流動屬于動力學(xué)范疇，只考慮氣流和顆粒之間因為相對運動而產(chǎn)生的相互作用，不考慮顆粒之間的相互作用［4］.

1 作用在粒子上的氣流作用力

氣流中粒子的平動和回轉(zhuǎn)運動方程式在直角坐標(biāo)系（o－x1x2x3）中可以用下式表示［5］

式中：m表示粒子質(zhì)量，t表示時間，ρs表示粒子密度，gi表示重力加速度，V表示粒子體積，A表示粒子表面積，pij表示粒子表面的氣流應(yīng)力，nj表示法線矢量，Mi表示繞粒子慣性軸回轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)矩，ωi表示粒子的角速度，Ii表示粒子的主慣性矩.

管道內(nèi)的粒子運動可以用下面方法進(jìn)行數(shù)值解析，將管壁、管道入口、管道出口以及粒子表面作為邊界條件帶入運動方程式，再求出粒子表面的氣流應(yīng)力pij，將其帶入運動方程式，解出粒子新的位置，然后將這個過程反復(fù)循環(huán)進(jìn)行.為了正確求解粒子的運動，必須準(zhǔn)確計算出氣流應(yīng)力pij，為此，必須保證足夠的計算精度.當(dāng)輸送的粒子多數(shù)形狀都較為復(fù)雜時，利用這種方法計算將變得非常困難.于是，通常在計算粒子回轉(zhuǎn)時將粒子的宏觀流動簡化為簡單流動，從而將氣流應(yīng)力pij簡化為等效的力.這些力包括氣流阻力、橫向力、附加質(zhì)量力、浮力、渦旋力等.在空氣輸送中，流體密度差別很大的時候，阻力和升力是重要的流體力，需要仔細(xì)考慮.

如圖1所示，設(shè)速度為U的氣流中顆粒表面受到的氣流法線應(yīng)力為p，剪應(yīng)力為τ，則顆粒表面A受到的流動方向的阻力的合力FD和垂直方向的升力FL分別為：

阻力系數(shù)CD和升力系數(shù)CL可以由

確定.其中，AD、AL分別表示顆粒表面積在各個作用力方向的投影面積.對于粒子流動過程中的輸送阻力，各種顆粒有多種測量方法.Morsi等利用雷諾數(shù)Re來表達(dá)均勻流動中單個顆粒的阻力系數(shù)系數(shù)C0、C1、C2根據(jù)表1決定.粒子群中單個粒子的阻力系數(shù)和自由流動的阻力不同，根據(jù)Di Felice的研究，可做修正為

圖1 粒子受力模型

表1 單個粒子的阻力系數(shù)

球形粒子的作回轉(zhuǎn)運動時，存在Magnus力.根據(jù)日本科學(xué)家辻裕的研究，可以利用下式來確定升力系數(shù)：

式中，Γ＝ωD／2U，其中ω為粒子的回轉(zhuǎn)角速度.

如圖2所示，在氣流的速度梯度Π很大的場合，若設(shè)粒子和氣流的相對速度為Ur，在流動的垂直方向上還受到如圖2所示Saff man力的作用.

圖2 Saff man力模型

2 單個球形粒子的運動和沉降速度

分析在均勻氣流作用下，以初速度（vxo，vyo，vzo）從原點投入的單個球形粒子的運動.令x為水平方向，y為鉛垂向上方向，z為氣流的流動方向（圖3）.根據(jù)stokes法則，有

圖3 水平氣流中粒子的運動

若忽略橫向的旋轉(zhuǎn)，可得粒子的運動方程式為：

解得：

因為t＊非常小，初始狀態(tài)下vx＝0，vy＝gt＊，vz＝U，因此粒子的運動軌跡為：

可見，在與氣流流動方向垂直的x方向滲入深度取決于vxot＊的大小，而與氣流速度U沒有關(guān)系，將這個滲入深度稱為停止舉例.t＊是沿粒子的流動方向設(shè)定的時間基準(zhǔn)，稱為緩沖時間，用來衡量粒子慣性的大小.

作為粒子的另一個特性，粒子的最終沉降速度設(shè)為ug；粒子在自重、浮力和氣流阻力的共同作用下勻速下降時的速度稱為最終自由落下速度.對于球形粒子，有

將式（1）帶入上式，并利用Re＝ugD／ν，得：

式中，Ga稱為伽利略數(shù)，也稱為阿基米德數(shù).當(dāng)St okes法則成立時，有

在空氣輸送過程中，在上升氣流中粒子的懸浮速度ug也稱為懸浮速度.為了使ug很小的粒子在上升氣流中處于懸浮狀態(tài)，氣流作用力也很小.

3 管道空氣輸送中粒子的運動

在管內(nèi)流動時，因為管壁的原因，流動受到約束，和管壁發(fā)生碰撞會產(chǎn)生能量損失.另外，管內(nèi)存在大量粒子時，粒子之間也會發(fā)生碰撞，能量損失和粒子的運動狀態(tài)之間存在相互影響［6］.如果把這種粒子群作為流體的一個整體，在定常流狀態(tài)下可得該式是均一粒子群的方程.式中，c為粒子體積，d s為流動的微小長度，n為粒子個數(shù)，D為管道直徑，λs為粒子群和管壁摩擦系數(shù)，d為粒子直徑.

對于滿足Stokes法則的粒子群，式（2）可寫成

對于流速為u的氣流，假設(shè)λs為常數(shù)時，解出上式得

式中，ζ＝λsut＊／2d，加速結(jié)束后的勻速速度稱為最終速度，解出該速度為

從上式可看出，λs和t很大時，粒子群的速度較小.對于垂直上升的輸送狀態(tài)，速度為

若把CD看作是一個常數(shù)，垂直向上輸送時，速度為

通過以上分析可看出，因為重力的原因，垂直輸送比水平輸送狀態(tài)下粒子的速度要更小.

4 靜止粉體層的壓力損失

當(dāng)氣流從粒子間低速透過時，氣流的體積流量Q和流動方向x向的壓力梯度d p／d x之間的關(guān)系為

這個方程稱為達(dá)西（darcy）方程.式中，K為透過系數(shù)，A為粒子層空隙截面積，利用表觀速度U＝Q／A，可得

式中，k＝νK／g稱為透過率，壓力損失和U成正比，和k成反比.

在空隙率很小的時候，粒子層中的氣流可以看成是毛細(xì)管聚集形成的毛細(xì)管模型.粒子層的流體平均深度

式中，Va為粒子層的空隙體積，St為層內(nèi)粒子的總表面積的比值，S’＝St／Vs表示粒子層內(nèi)的粒子群的平均比表面積，Vs表示層內(nèi)粒子的總體積.如果用ue表示毛細(xì)管內(nèi)的氣流流速，Le表示毛細(xì)管模型的粒子層等價長度，de表示模型中毛細(xì)管的直徑，因為de ＝4rh ＝4ε／S’（1－ε），根據(jù) Hagen－Poiseuille法則可得

若氣流流過長度為Le的通道所需時間和流過長度為L的粒子層實際所用的時間相等，即Le／ue＝L／（U／ε），則壓力損失將上式與式（3）比較，式中，C取1／180～1／150之間的數(shù)值.以上公式在Re＝UDSV／ν≤20的情況下成立.

紊流可以認(rèn)為是在一個粗管道中流動.根據(jù)Burke－plu mmer方程，假設(shè)摩擦系數(shù)為λo，在雷諾數(shù)為常數(shù)時，壓力損失

對于范圍變化較大的雷諾數(shù)Re，根據(jù)Ergun公式，有

在截面積為A，長度為L的管道中，大小相同的球形粒子在靜止的情況下，如果用R表示粒子群中一個粒子收到的氣流阻力，N表示粒子個數(shù)，壓力損失和氣流阻力之間存在AΔp＝RN ，因為可得

式中，CDm表示粒子群中一個粒子所受到的阻力系數(shù).

將上式兩邊分別除以管道長度L，并帶入Ergun公式，得

5 結(jié)束語

本文分析了在氣力輸送過程中，粒子受到的氣流作用力，推導(dǎo)了單個粒子在氣流中運動的運動方程式以及利用管道進(jìn)行空氣輸送時，粒子的運動方程式.另外對于氣流透過靜止粉體層的壓力損失表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，為空氣管道輸送積累了必要的理論基礎(chǔ).

［1］周仕學(xué)，張鳴林.粉體工程導(dǎo)論［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［2］謝洪勇.粉體力學(xué)與工程［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

［3］葉 菁.粉體科學(xué)與工程基礎(chǔ)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

［4］楊 倫，謝一華.氣力輸送工程［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［5］Nedder man R M.Statics and kinematics of granular materials［M］，Cambridge ：Cambridge University Press，1992.

［6］Morsi S M，Alexander A J.An lnvestigation of partical trajectories in two－prase flow Systems［J］.Fluid Mech，1972，55（2）：193－208.