苑立波

（1.哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院 光子科學(xué)與技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2.黑龍江省光纖傳感科學(xué)與技術(shù)重點實驗室，哈爾濱 150001）

0 引言

本文主要討論的是應(yīng)變與溫度的測量。但是由于任何應(yīng)變的測量，都無法避免溫度變化帶來的干擾，所以在實際應(yīng)用中，通常要在測量應(yīng)變的同時監(jiān)測被測結(jié)構(gòu)的溫度變化?？紤]熱膨脹效應(yīng)和溫度對光纖折射率的影響，便可得到純機(jī)械應(yīng)變。另外，在光纖應(yīng)變測量中通常假設(shè)應(yīng)變場是完全軸向分布的，亦即，應(yīng)變僅存在于沿著光纖的方向。

事實上，光纖本身所感知的應(yīng)變與基體結(jié)構(gòu)的應(yīng)變相關(guān)，但二者不完全一致。本文主要討論應(yīng)變從基體到光纖的傳導(dǎo)機(jī)制，通過監(jiān)測光纖中傳輸?shù)墓庑盘柕淖兓瘉慝@得外部的應(yīng)變和溫度信息。對傳感系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定時，在基體結(jié)構(gòu)上施加一個已知的溫度和應(yīng)變。這個應(yīng)變場通過某些邊界層傳輸?shù)焦饫w，具體的傳輸機(jī)理將在以后介紹。光纖因此而產(chǎn)生的相關(guān)參數(shù)（例如光程差）的變化結(jié)果通過干涉解調(diào)單元（例如Michelson 或者M(jìn)ach－Zehnder干涉儀）的機(jī)械位移而解調(diào)出來。通過標(biāo)定實驗得到的系統(tǒng)參數(shù)，可以在使一個未知應(yīng)變施加于基體結(jié)構(gòu)上的時候，使系統(tǒng)以一個對應(yīng)的信號作為輸出，其數(shù)值大小對應(yīng)于測定的基體結(jié)構(gòu)中的應(yīng)變。

1 光纖應(yīng)變與溫度傳感基本方程

白光光纖傳感器的基本參數(shù)是傳感部分的光程。在均勻條件下，光程可以表示為：

式中n為光纖纖芯的有效折射率；L為光纖傳感器的標(biāo)稱長度。

一般地，光程是外加應(yīng)力σ和溫度T的函數(shù)，可以表示成為：

光程的變化產(chǎn)生的增量可表示為：

式中dσ和dT分別是局部應(yīng)變和溫度的變化量，［?S／?σ］T和［?S／?T］σ分別是S對σ和T的導(dǎo)數(shù)。

由式（1）中給出的光程，對于σ和T的變化，光程改變可以進(jìn)一步展開為［1］：

將（4）式稍加改寫，得到如下形式：

引入楊氏模量Ef和熱膨脹系數(shù)αf，則式（5）轉(zhuǎn)化為：

考慮到S＝nL和胡克定律dε＝dσ／Eg，式（6）可以簡化為：

這里系數(shù)Cε和CT分別定義為：

對于標(biāo)準(zhǔn)的SMF－28型光纖，其應(yīng)變系數(shù)Cε和溫度系數(shù)CT對于工作在波長為1 300nm 的光源而言，分別為－0.133 2×10－6／μm和0.762×10－5／℃，在1 550nm 處分別為－0.164 9×10－6μm和0.811×10－5／℃［2］。光纖的熱膨脹系數(shù)為5.5×10－7／℃。

這里，下式是很有用的：

式中dn是由于機(jī)械應(yīng)變dε引起的光纖折射率的改變量。根據(jù)光彈效應(yīng)理論，由于光線性極化出現(xiàn)在i方向的折射率的變化量dni，與應(yīng)力場εj（j＝1，2，…，6，其中j＝1，2，3分別表示沿z、x和y方向的主應(yīng)變，j＝4，5，6 分別表示3 個切向應(yīng)變）的關(guān)系可以表示為［3］：

式中pij為光彈系數(shù)，用下標(biāo)1表示沿著光纖的軸向z，2和3分別表示處于光纖橫截面內(nèi)的兩個正交方向x和y，見圖1。

圖1 光纖應(yīng)變計的歸一化長度變化與應(yīng)變、光彈系數(shù)和相對折射率的關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic of the normalized change in the sensor gauge length as a function of strain，the photo－elastic coefficients，and the relevant index of refraction for a fiber optic sensor

因此，光纖傳感器測量的溫度和應(yīng)變變化對在光纖中傳輸光特性的影響，可以由下列基本關(guān)系給出：

上述等式用于描述光纖歸一化的傳感器光程變化量。在一般情況下，沿光纖軸向的參考應(yīng)變εz0可以取為零，且不考慮溫度變化即dT＝0，因此，在恒溫的條件下得到：

在均勻各向同性介質(zhì)中，光彈張量只依賴于兩個獨立的參數(shù)（即光彈系數(shù)p11和p12），可以表示如下：

若假設(shè)應(yīng)變場是純粹軸向應(yīng)變，亦即，只存在于沿著光纖的方向，可以給出：

式中ν為光纖的泊松比。這種簡化源于Butter和Hocker的早期論文［4］，后來的研究者在光纖應(yīng)變測量中繼續(xù)沿用這個簡化的表達(dá)式。然而在實際應(yīng)用中，這個假設(shè)只適用于表面粘貼或者埋入內(nèi)部的傳感器，在具有軸對稱性的平面載荷情況［5］。

根據(jù)Butter和Hocker的假設(shè)，將式（14）和式（16）代入式（13），在恒溫、光纖均勻各向同性且僅存在軸向應(yīng)變的條件下，可以得到光纖應(yīng)變與光程的關(guān)系：

對于更為一般的應(yīng)變場（定義3 個主應(yīng)變｛εz，εx，εy｝）的情況，將假設(shè)εz為光纖軸向的應(yīng)變，對于光矢量中的電場E分量分別在x和y方向，其歸一化光程變化量可分別表示為：

2 光纖白光干涉儀工作原理

自從1880 年發(fā)明干涉儀之后，Michelson 干涉儀一直被用來測量微小的空間位移。常用的實驗室測量位移的方法有條紋計數(shù)法或白光條紋零光程法［6］。使用單色或者高相干光源干涉儀進(jìn)行絕對位移測量所存在的主要困難是僅能實現(xiàn)對應(yīng)為弧度相位范圍內(nèi)光程差的測量，超過此范圍，將對應(yīng)一個周期性的輸出信號。為了解決這個問題，人們提出了光纖白光Michelson干涉儀［7］并用于溫度和絕對位移的測量［8－9］。在白光干涉儀中，可以精確地確定干涉條紋信號中主干涉中央條紋的位置［10］。

光纖Michelson干涉儀的結(jié)構(gòu)見圖2。該干涉儀中，作為參考臂和測量的兩臂通過使用一個3 dB的耦合器對光進(jìn)行了分路和合路，同時利用一個掃描鏡來改變干涉儀兩臂的光程差（OPD）。當(dāng)干涉儀兩臂之間的光程差小于光源的相干長度時，就會產(chǎn)生一個白光干涉圖樣。干涉圖樣的中央條紋位于干涉條紋的中心且具有振幅極大值，它對應(yīng)于干涉儀兩臂的光程絕對相等。部分相干傳輸函數(shù)可以用描述光源光譜特性的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行表示。

圖2 光纖白光Michelson干涉儀Fig.2 Fiber optic white－light Michelson interferometer.

對于LED 光源，光譜的強(qiáng)度分布可以用一個高斯函數(shù)［11］來描述，見圖3。

式中Δλ為光源半譜寬度（FWHM），見圖3。表1給示出了典型的1 300nm 波長LED 光源的各參數(shù)值。

圖3 低相干光源的高斯光譜分布Fig.3 Gaussian specral intensity profile from a typical low coherence light source（e.g.LED）

表1 LED 光源的相關(guān)參數(shù)Table 1 Relative parameter of LED light source

考慮譜密度為G（k）的單色光分量，這里k為波數(shù)，光纖Michelson干涉儀的輸出光強(qiáng)與光程差x的函數(shù)可以寫成：

式中α是2×2光纖耦合器的插入損耗系數(shù)，定義為α＝（輸出總光強(qiáng)）／（輸入總光強(qiáng)）；R1是傳感臂光纖端面的反射率；R2是補(bǔ)償臂反射鏡的反射率；G1（k）和G2（k）分別是耦合傳感臂和補(bǔ)償臂的耦合強(qiáng)度。

對于3dB光纖耦合器，有：

假設(shè)R1＝R2＝R，則式（22）變?yōu)椋?/p>

將式（20）代入式（24）中，并且在（－∞～＋∞）區(qū)間對整個光譜積分，可以得到：

令k＝k－k0，整理式（25），變?yōu)椋?/p>

將表1中的數(shù)據(jù)代入式（26），并取耦合器的插入損耗α＝0.95和反射率R＝91%，計算得到的歸一化白光干涉圖見圖4。

圖4 中心波長為1 310nm 的LED光源光纖白光干涉儀的干涉圖Fig.4 Output of a fiber optic white light interferometer illuminated by an LED source with a central wavelength 1 310nm

光纖白光干涉技術(shù)作為一種有效的方法可以對應(yīng)變和溫度導(dǎo)致的光程變化進(jìn)行測量?？紤]圖2中所示的系統(tǒng)，構(gòu)成傳感臂光纖的光程長度是S＝2nL1；參考臂由長度略短于傳感光纖的參考光纖L2和參考光纖端面與掃描鏡形成的空氣間隙X組成。因此參考臂的總光程為2nL2＋2X。

通過調(diào)節(jié)掃描鏡的位置，可以使傳感臂和參考臂的光程相匹配，即：

在該位置附近，出現(xiàn)與圖4類似的白光干涉圖紋。其中，零級條紋近似在干涉條紋圖樣的中央，具有最大的振幅，對應(yīng)于兩臂光程完全相等處。當(dāng)傳感臂的光程因應(yīng)變或者周圍環(huán)境溫度改變的作用下發(fā)生變化時，這一光程變化量ΔS＝Δ（nL1）可以通過測量反射鏡位置的改變量ΔX獲得。而反射鏡位置的改變量ΔX對應(yīng)的是零級中央條紋位置的改變量，見圖5。

圖5 光纖傳感器長度變化對應(yīng)的白光干涉圖位置的移動Fig.5 Illustration of fringe pattern shift corresponding to the fiber optic sensor gauge length elongation

掃描鏡位移對應(yīng)傳感器光程長度的變化，即：

傳感臂連續(xù)形變可以通過反復(fù)連續(xù)測量并記錄的方法實現(xiàn)自動測量。因此，可通過這種簡單、直接的測量方法實現(xiàn)對應(yīng)變或者溫度的跟蹤監(jiān)測。

3 應(yīng)變和溫度測量技術(shù)

在實際應(yīng)用中，光纖白光Michelson 干涉儀的結(jié)構(gòu)與圖2所示的結(jié)構(gòu)相比略有不同，見圖6。在傳感器的前后兩個端面上，各自產(chǎn)生一個傳感信號，其中一個信號來自于傳感器前端面的部分反射光；而通過該端面的透射光經(jīng)過長度為L0的傳感器，在傳感器的后端面發(fā)生反射，形成第二個傳感信號。當(dāng)參考臂的反射器進(jìn)行掃描時，會得到兩組干涉條紋。前后兩次獲得干涉條紋時反射鏡的位置差（X＝X2－X1）對應(yīng)兩組干涉條紋的中央條紋：

當(dāng)有負(fù)載作用于傳感器時，白光干涉中心條紋的位置將發(fā)生移動。式（29）變?yōu)椋?/p>

這里，“′”表示載荷施加后的值。

定義：

利用式（29）和式（30），可以得到：

式中ΔL0和Δn表示由被測量（例如：溫度T或者應(yīng)變ε）導(dǎo)致的光纖傳感器長度和折射率的變化。

圖6 基于白光Michelson干涉儀的光纖傳感測量系統(tǒng)Fig.6 White－light Michelson interferometer based fiber optic sensing system

3.1 應(yīng)變測量原理

當(dāng)只在傳感上施加軸向應(yīng)變εz時，ΔL0可以表示為：

折射率的變化可以表示為［4］（參見式（11））：

將式（33），式（34）代入式（32）：

3.2 溫度測量原理

當(dāng)環(huán)境溫度從T0變化到T時，式（32）中的ΔL0和Δn可表示為：

將n＝n（λ，T0），L0＝L0（T0）以及式（37）和式（38）代入式（32），得到：

重寫式（40），得到：

表示傳感長度為L0的白光干涉光纖傳感器的靈敏度，?是靈敏度系數(shù)。對于標(biāo)準(zhǔn)單模通信光纖，根據(jù)文獻(xiàn)［12］，在波長λ＝1 310nm 處n0＝1.468 1，αT＝5.5×10－7／℃，CT＝0.762×10－5／℃；在λ＝1 550nm 處n0＝1.467 5，αT＝5.5×10－7／℃，CT＝0.811×10－5／℃。利用這些數(shù)據(jù)，可以得到單位長度的光纖在1 310nm和1 550nm處，其溫度傳感器的靈敏度系數(shù)?分別為11.99（μm／m·℃）和12.71（μm／m·℃）。

4 熱表觀應(yīng)變與溫度補(bǔ)償技術(shù)

熱表觀應(yīng)變對于應(yīng)變測量來講是一個共性的問題，傳統(tǒng)的應(yīng)變片必須進(jìn)行溫度補(bǔ)償，以克服測量過程中溫度的波動。因此，對于光纖應(yīng)變測量系統(tǒng)，同樣需要溫度補(bǔ)償技術(shù)。

為了更好地理解熱表觀應(yīng)變，考察光纖被粘貼在參考溫度為T0的基體結(jié)構(gòu)上的情況。如果該結(jié)構(gòu)對于外部機(jī)械載荷是自由的，當(dāng)經(jīng)歷了一個小的溫度波動ΔT，由于光纖與結(jié)構(gòu)基體材料的熱膨脹系數(shù)的不一致，在光纖中會產(chǎn)生了一個附加應(yīng)變。這個熱致軸向應(yīng)變可以表示為：

式中Eg為光纖的楊氏模量；αm和αg分別是光纖與基體材料的熱膨脹系數(shù)。將應(yīng)力增量表達(dá)式（43）代入式（7），可以得到：

由式（44）可見，即使光纖與基體材料的熱膨脹系數(shù)一致（即αm＝αg），由于溫度系數(shù)CT的數(shù)量級比基體材料熱膨脹系數(shù)αm大，因此存在平均溫度表觀應(yīng)變的問題。

常用的一種處理表觀應(yīng)變的方法是在應(yīng)變的測試中獨立進(jìn)行溫度的測量，然后對所測的的應(yīng)變加以修正。當(dāng)應(yīng)力誘導(dǎo)產(chǎn)生應(yīng)變時，對于光纖傳感器，可得到更加完整的表達(dá)式：

上式可以寫成更緊湊的形式：

式中：

如果設(shè)計并安裝一個只對溫度響應(yīng)的傳統(tǒng)傳感器或光纖傳感器，對溫度進(jìn)行獨立測量，那么式（46）中溫度改變項變就是已知的，只有應(yīng)變是未知的。

另外一種方案是用兩種方法進(jìn)行同時測量，每個測量結(jié)果都與溫度和應(yīng)變有關(guān)。可以通過這兩項測量來確定未知的應(yīng)變和溫度。通常，可以用矩陣的形式來表示：

將矩陣轉(zhuǎn)置，可以得到Δε和ΔT：

因此，可以求得應(yīng)變和溫度：

這里，行列式：

必須為非零值。事實上，對于兩次獨立的測量，溫度和應(yīng)變系數(shù)的差異越大，這種轉(zhuǎn)置運算越精確。如果式（51）中?行列式是病態(tài)矩陣，那么兩次獨立測量中的微小誤差δM1和δM2，在求解式（53）和式（54）時也會轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€很大誤差。同樣，注意到應(yīng)變誤差δε和溫度誤差δT，與光程變化測量誤差之間的關(guān)系是一致的?？梢酝ㄟ^式（52），對于δM1和δM2這一對等式進(jìn)行變換得到［14］：

上式清楚地顯示，需要確保不同系數(shù)測量具有較大差異才能確保式（52）非病態(tài)，對于差異較小的情況，在測量中會出現(xiàn)較大的誤差。

對于白光干涉光纖傳感器，可采用兩個獨立的傳感器對溫度和應(yīng)變進(jìn)行測量，一個傳感器埋入基體材料內(nèi)部，另一個傳感器只用于對應(yīng)變傳感器附近的溫度測量，于是有：

因此，可得到應(yīng)變和溫度的變化量：

上述討論的一個重要假設(shè)是在載荷應(yīng)變或者溫度變化中應(yīng)變系數(shù)和溫度系數(shù)恒定且不相關(guān)。對于引入的非線性交叉項的情況，這個假設(shè)是無效的，并且會給解讀傳感器輸出的信號帶來更大的困難。非線性的出現(xiàn)，是由于在式（43）的原始泰勒展開式中，只考慮了線性因子。對于Δε和ΔT數(shù)值較大的情況，需要考慮展開式中的高階項，高階項是應(yīng)變和溫度的交叉敏感項，由此產(chǎn)生的應(yīng)變和溫度交叉系數(shù)Cε，T和Δε與ΔT的變化量為：

式中交叉系數(shù)的值為Cε，T～10－8rad0C－1με－1m－1［15］。

上述結(jié)果表明，對于自由光纖，除了在較大的應(yīng)變和溫度漂移的情況下，其它情況下該交叉項可以忽略［13，15］。但是，同樣可以看到，交叉系數(shù)與光纖的長度成正比，長的光纖傳感器比短的傳感器更容易受應(yīng)變和溫度變化的影響。

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