姜英秀， 韓筱爽

（1．延邊大學(xué)教務(wù)處，吉林 延吉133002；2．延邊大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，吉林 延吉133002）

一類具有可修復(fù)儲備部件的人－機(jī)系統(tǒng)解的指數(shù)穩(wěn)定性

姜英秀1， 韓筱爽2

（1．延邊大學(xué)教務(wù)處，吉林 延吉133002；2．延邊大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，吉林 延吉133002）

針對具有2個運(yùn)行部件和1個儲備部件，故障修復(fù)時間服從一般分布的人－機(jī)系統(tǒng)模型，運(yùn)用泛函分析的方法和Banach空間上的線性算子半群理論，證明了嚴(yán)格占優(yōu)本征值的存在性，并通過分析系統(tǒng)本質(zhì)譜界經(jīng)過擾動后的變化，證明了在一定條件下系統(tǒng)的動態(tài)解以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．

嚴(yán)格占優(yōu)本征值；本質(zhì)譜界；指數(shù)穩(wěn)定性

0 引言

文獻(xiàn)［1］中研究了具有2個運(yùn)行部件和1個儲備部件，系統(tǒng)故障修復(fù)時間服從一般分布的人－機(jī)系統(tǒng)模型的可靠性，運(yùn)用線性常微分方程得到了系統(tǒng)在定常狀態(tài)和非定常狀態(tài)下故障修復(fù)時間、平均故障時間等的一般表達(dá)式，并作圖分析證實(shí)了人為故障對其產(chǎn)生的影響．該系統(tǒng)為并聯(lián)冗余系統(tǒng)，其中2個部件并聯(lián)工作，1個冗余部件處于儲備狀態(tài)，任何時刻只要有1個部件正常工作均能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，工作部件中任何1個發(fā)生故障，儲備部件立即補(bǔ)充進(jìn)入工作狀態(tài)，并且部件間的替換過程是自動且瞬時完成的．若系統(tǒng)出現(xiàn)部件故障則修復(fù)程序立即啟動，若所有部件均發(fā)生故障則整個系統(tǒng)故障．系統(tǒng)的工作流程如圖1所示．i＝0表示2個運(yùn)行部件和1個儲備部件均處于完好狀態(tài)；i＝1表示1個運(yùn)行部件因硬件錯誤而故障，1個儲備部件立即補(bǔ)充運(yùn)行；i＝2表示系統(tǒng)僅有1個部件正常運(yùn)行而無儲備部件；i＝3表示系統(tǒng)由于硬件錯誤而處于故障狀態(tài)；i＝4表示系統(tǒng)由于通常錯誤而處于故障狀態(tài)；i＝5表示系統(tǒng)由于臨界人為錯誤而處于故障狀態(tài)．

圖1 系統(tǒng)的工作流程

上述的模型可由以下積分 －微分方程描述：

文獻(xiàn)［2］運(yùn)用初等階梯函數(shù)對系統(tǒng)模型中的修復(fù)率進(jìn)行逼近，給出了系統(tǒng)的半離散化模型．這里假

本文基于上述假定，討論系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性．在文獻(xiàn)［2］中取狀態(tài)空間是1個Banach空間．在X上定義算子A＝diag（－a0，－a1，－取A的定義域?yàn)閯t系統(tǒng)的積分 －微分方程組可描述為Banach空間中的1個抽象Cauchy問題中p（t）＝（p0（t），p1（t），p2（t），p3（x，t），p4（x，t），p5（x，t））．

1 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解

文獻(xiàn)［3］為研究算子A＋E的預(yù)解式R（γ，A＋E）而考慮了預(yù)解方程［γI－（A＋E）］p＝y(tǒng)，本文先研究［γI－（A＋E）］p＝0非零解的存在問題．

2 系統(tǒng)解的指數(shù)穩(wěn)定性

文獻(xiàn)［2］利用c0半群理論證明了算子A＋E可以生成c0半群，并且得到：

引理1［2］①γ＝0是算子A＋E的簡單本征值；在X中稠密；④T（t）為壓縮c0半群．其中正數(shù)

又由于E是1個有限秩算子，因而是緊算子．利用算子半群的擾動定理及半群的緊擾動得定理1：

證明 ① 當(dāng)Reγ＋c＞0，由定理1知，γ∈ρ（A），則［γI－（A＋E）］＝（γ－A）（I－R（γ，A）E），而A是有限秩算子，因此R（γ，A）A是緊算子．由于緊算子若存在非零的譜值，則必為本征值，因此γ∈ρ（A＋A）的充分必要條件是1不是R（γ，A）A的本征值，因此Reγ＋c＞0時γ∈σ（A＋E）?D（γ）＝0．

②易知D（γ）在Reγ＋c＞0上是解析函數(shù)，至多有有限個零點(diǎn)，且在有限區(qū)域內(nèi)沒有聚點(diǎn)．文獻(xiàn)［3］已證明算子A＋E的譜在復(fù)平面的左半平面上，虛軸上的點(diǎn)除0點(diǎn)外都在預(yù)解集中．又由于0是A＋E的具有正本征向量的簡單本征值，再由嚴(yán)格占優(yōu)本征值定義知0是嚴(yán)格占優(yōu)本征值．設(shè)γ0＝0對任意的其中γk按照實(shí)部遞減排序，即Reγk＋1≤Reγk，k＝1，2，…，N，因此γ0＝0是A＋E的嚴(yán)格占優(yōu)本征值．

③根據(jù)半群的擾動定理，緊擾動不改變半群的本質(zhì)譜界．由此知算子A＋E生成的半群T（t）與算子A生成的半群S（t）有相同的本質(zhì)譜界，故T（t）的本質(zhì)譜界ω（A＋B）≤ω0（A＋B）．又設(shè)＾p0如前，Reγ1＜－ω ＜γ0，根據(jù)算子半群的有限展開定理有：對任意的p∈X，θ＝（1，1，1，1，1，1），存在常數(shù)M（ω）＞0，使得

上述結(jié)果表明，在一定條件下系統(tǒng)的動態(tài)解以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．

［1］ Yang Nianfu，Dhillon B S．Availbility analysis of a repairable standby human－machine system［J］．Microelectron Reliab，1995，35（11）：1401－1413．

［2］ 方明，韓筱爽．一類具有可修復(fù)儲備部件的人－機(jī)系統(tǒng)解的半離散化［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2005，35（12）：142－150．

［3］ 方明，韓筱爽．一類具有可修復(fù)儲備部件的人－機(jī)系統(tǒng)的解的譜特性［J］．延邊大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，35（4）：305－308．

［4］ Pazy A．Semigroups of linear operators and applications to partial differ［M］．New York：Spring Verlag Berlin Heidelbery，1980：84－102．

The exponential stability of a human－machine system with general failed system repair time distribution

JIANG Ying－xiu1， HAN Xiao－shuang2
（1．The Dean’s Office of Yanbian University，Yanji 133002，China；2．Institute of Science and Technology，Yanbian University，Yanji 133002，China）

We attempt to study a model of human－machine system with general failed system repair time distribution which have two units active and one unit on standby by using the theory of the functional analysis method，especially the theory semi－groups of linear operators on Banach space．Firstly，the existence of the strictly dominance eigenvalue is proved．Then by analyzing the change of the system essential spectral bound under the perturbation，we prove that the dynamic solution is exponential tends to the steady solution of the system．

strictly dominance；essential spectral bound；exponential stability

O177．2

A

1004－4353（2012）02－0108－04

2012－03－22

姜英秀（1978—），男，講師，研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計．