基于柯西先驗分布的疊前彈性阻抗反演方法及應(yīng)用

郝前勇，宗兆云

（中國石油大學(xué) 地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266555）

0 前言

概率化反演是求解不適定反演問題的有效方法之一。概率化方法包括概率分布匹配解、最大似然解和貝葉斯解。其中，概率分布匹配解和最大似然解僅考慮了數(shù)據(jù)的不確定性，未考慮模型不確定性；而貝葉斯解既考慮了數(shù)據(jù)不確定性，又考慮了模型不確定性。Buland和Omre［1］提出了貝葉斯線性AVO反演方法，該方法可以反演得到地層的縱橫波速度和密度信息，但未考慮參數(shù)間的耦合關(guān)系；Downton［2］在貝葉斯反演理論的基礎(chǔ)上探索了AVO三參數(shù)及波形反演，得到縱波、橫波阻抗和密度的反射系數(shù)值；楊培杰［3］利用貝葉斯反演理論實現(xiàn)了疊前三參數(shù)同步反演。

自Connolly［4］提出彈性阻抗概念以來，彈性阻抗反演作為一種高效的疊前地震反演策略，在科研和生產(chǎn)中得到廣泛關(guān)注和應(yīng)用［5］。印興耀［6］等提出先反演縱、橫波速度和密度參數(shù)后計算縱、橫波阻抗、拉梅常數(shù)、泊松比等巖性參數(shù)的彈性阻抗反演方法。為了得到更準(zhǔn)確的巖石物性參數(shù)，減小計算的累計誤差，王保麗等［7、8］提出了基于Gray近似的彈性波阻抗反演方法，通過對基于拉梅參數(shù)的反射系數(shù)近似方程［9］進行積分推導(dǎo)，得到利用拉梅參數(shù)表示的彈性阻抗方程，通過反演和參數(shù)直接提取可以得到拉梅常數(shù)，減小了間接計算的累計誤差。

作者在本文利用拉梅參數(shù)彈性阻抗方程，實現(xiàn)了一種彈性阻抗貝葉斯反演方法。首先在貝葉斯反演理論框架下，假設(shè)待反演的模型參數(shù)服從柯西分布，實現(xiàn)了不同角度彈性阻抗反演；其次基于拉梅參數(shù)彈性阻抗方程，實現(xiàn)了拉梅參數(shù)直接反演；最后通過實際資料表明，基于柯西先驗的彈性阻抗反演結(jié)果合理可靠，具有較高的分辨能力，且提取的彈性參數(shù)能夠較好地吻合實際鉆遇結(jié)果。

1 拉梅參數(shù)彈性阻抗方程

與常規(guī)縱橫波速度相比，指示孔隙流體可壓縮性（或不可壓縮性、體積模量）和巖性變化的剪切剛性（或剪切模量）等，可提高對儲層巖性及流體的識別。巖石模量參數(shù)比聲波速度和波阻抗更易理解［9］。第一拉梅參數(shù)（λ）對孔隙流體比對骨架敏感，而第二拉梅參數(shù)（μ）僅僅受骨架連通性的影響。與λρ和μρ相比，μ的信噪比提高了兩倍；λ的信噪比提高了四倍［5］，克服了由密度參數(shù)ρ引進的不確定性信息。因此，我們擬采用拉梅參數(shù)彈性阻抗方程，在本文開展貝葉斯反演方法研究。

基于拉梅參數(shù)和密度的縱波反射系數(shù)近似方程為［10］：

其中 α、β、ρ分別是縱波、橫波速度和密度；θ為縱波入射角；λ、μ為第一拉梅參數(shù)和第二拉梅參數(shù)。

類比常規(guī)彈性阻抗方程推導(dǎo)過程，可以建立拉梅參數(shù)彈性阻抗方程為［8］：

2 彈性阻抗貝葉斯反演

貝葉斯理論中先驗概率分布、似然函數(shù)，以及后驗概率分布間的關(guān)系如圖1所示。一般假設(shè)模型參數(shù)和似然函數(shù)分別服從某種概率分布，然后通過貝葉斯公式得到的后驗概率分布能夠大大降低先驗的不確定性。

圖1 貝葉斯理論中先驗、似然函數(shù)與后驗分布間關(guān)系圖Fig.1 The relation diagram of prior distribution，likelihood function and posterior distribution in Bayesian theory

在彈性阻抗貝葉斯反演中，假設(shè)部份角度疊加道集的噪音服從高斯分布，則描述合成地震記錄與觀測數(shù)據(jù)相似程度的似然函數(shù)為：

其中 m為待反演的彈性阻抗反射系數(shù)；d為角度部份疊加道集；p（d｜m）為似然函數(shù)；σn為噪音方差；G為子波矩陣。

假設(shè)待反演參數(shù)的先驗信息服從柯西分布為［2、3］：

其中 σm為待反演參數(shù)先驗方差，可以通過測井資料統(tǒng)計獲得。

由公式（3）和公式（4）得，待反演參數(shù)后驗概率密度為：

方程（5）右側(cè)最大化得反演目標(biāo)函數(shù)為：

方程（6）右側(cè)第一項表示合成地震記錄與觀測數(shù)據(jù)相似程度，第二項為模型先驗約束。同時，為提高反演穩(wěn)定性，可以考慮根據(jù)彈性阻抗與待反演參數(shù)間的定量關(guān)系加入彈性阻抗約束。彈性阻抗EI（θ，t）與待反演彈性阻抗反射系數(shù)R（θ，t）間的關(guān)系為：

聯(lián)合方程（6）和方程（7）可得反演最終目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

可以采用共軛梯度法對方程（8）進行優(yōu)化求解，然后根據(jù)方程（7）獲取地層不同角度絕對彈性阻抗。

3 拉梅參數(shù)直接提取

由于方程（2）具有非線性特征，我們可以將其變換到對數(shù)域：

在同一入射角情況下，各采樣點處a（θ）、b（θ）、c（θ）相同，則式（9）變?yōu)椋?/p>

通過井旁彈性阻抗和測井?dāng)?shù)據(jù)回歸計算得到公式（10）中各權(quán)重系數(shù)，并將不同角度的彈性阻抗數(shù)據(jù)帶入方程（11），即可求得λ、μ、ρ數(shù)據(jù)體。

4 應(yīng)用實例及效果分析

國內(nèi)、外許多學(xué)者通過模型試算，對柯西先驗在提高反演可靠性等方面的優(yōu)勢已進行許多研究［2、3、11、12］。作者在本文主要通過實際資料來測試基于柯西先驗的彈性阻抗反演方法，在實際資料解釋時的優(yōu)勢。實際資料為西部某勘探工區(qū)，在工區(qū)內(nèi)過A井的三個縱測線疊前部份角度疊加地震剖面如圖2所示，黑色曲線為電阻率曲線。據(jù)測井解釋結(jié)果，該區(qū)儲層類型可分為Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類，其中Ⅰ類和Ⅱ類儲層為主要產(chǎn)層。

結(jié)合地震解釋層位和測井資料，提取彈性波阻抗反演所需的各角度子波（如下頁圖3所示）。按振幅的高、低，從上到下依次為大角度子波、中角度子波和小角度子波，三個不同角度地震子波極性相近，振幅隨角度的增大依次增大。利用該組子波分別采用常規(guī)方法和作者在本文提出的反演方法進行彈性波阻抗反演，得到的各角度彈性阻抗如下頁圖4所示。其中圖4（a）、圖4（b）、圖4（c）依次為常規(guī)方法得到的小、中、大角度彈性阻抗，圖4（d）、圖4（e）、圖4（f）依次為作者所提出的方法得到的小、中、大彈性阻抗。通過對比分析可知，根據(jù)作者在本文中提出的方法得到的彈性阻抗合理可靠，如圖4中圈定區(qū)域所示，該有利儲層在地震剖面上響應(yīng)一般，而作者在本文提出的方法得到的彈性阻抗剖面上有較好的顯示。

圖2 過井A的縱測線疊前部份角度疊加地震剖面，井曲線為電阻率曲線Fig.2 Partial angle stack seismic section through well A，the curve is resistivity curve

結(jié)合測井解釋結(jié)果，對井曲線統(tǒng)計分析可知，本工區(qū)第一拉梅參數(shù)（Lambda）、第二拉梅參數(shù)（Mu）能較好地指示儲層類型，Ⅰ類儲層處均顯示低值，如下頁圖5所示。利用疊前彈性阻抗體，基于Gary近似直接提取得到過井A的拉梅參數(shù)和密度剖面如下頁圖6所示，圖6中圈定區(qū)域為A井的兩個主力產(chǎn)氣層，至上而下依次為氣層一和氣層二。圖7（見后面）是過氣層一、氣層二的沿層切片。

由圖6、圖7可以看出，拉梅參數(shù)（Lambda和Mu）在有利儲層處均顯示低值，且第二拉梅參數(shù)（Mu）的敏感性更高，和井上的巖石物理交會分析吻合，密度在有利儲層也呈低值顯示。

5 認識與討論

作者在本文發(fā)展了一種基于柯西先驗分布的的彈性阻抗貝葉斯反演方法，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)了可直接檢測油氣的巖石模量直接提取，形成一套巖石模量疊前反演預(yù)測技術(shù)。經(jīng)對實際資料的應(yīng)用表明，基于柯西先驗的彈性阻抗反演方法合理可靠，具有較高的分辨能力，且提取的彈性參數(shù)能夠較好地吻合實際鉆遇結(jié)果。

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