張國政 楊?；?/p>

（安徽機電職業(yè)技術學院，蕪湖 241000）

笛卡爾坐標系在數(shù)控機床中的應用

張國政 楊?；?/p>

（安徽機電職業(yè)技術學院，蕪湖 241000）

右手直角笛卡爾坐標系是數(shù)控機床的標準坐標系。以此坐標系來判別數(shù)控機床的空間幾何關系以及加工過程需建立的刀具半徑左、右補償，刀具的刀尖方位和數(shù)控加工中的順逆圓弧方式，并總結出相關實用規(guī)則。旨在說明笛卡爾坐標系的實際應用，指出數(shù)控加工人員的一些判別誤區(qū)。

笛卡爾坐標；數(shù)控機床；坐標軸判別；刀具位置

直角笛卡爾坐標系是17世紀法國數(shù)學家勒奈·笛卡爾提出的。這一坐標系在設計、繪制和數(shù)字控制等領域已有四百多年歷史，自上個世紀50年代美國第一臺三坐標數(shù)控銑床的誕生，發(fā)展至現(xiàn)代的多軸聯(lián)動高性能數(shù)控機床，一直以右手直角笛卡爾坐標系作為標準坐標系。文中通過笛卡爾坐標系可確定數(shù)控機床各坐標軸空間幾何關系及加工過程中的刀具位置關系。

1 數(shù)控機床的空間幾何關系

數(shù)控機床的空間幾何關系是機床固定點和工件浮動點之間距離的關系，一般采用右手坐標系確定，坐標軸的正負向由確定的視圖轉換來決定［1］，如圖 1所示。圖中的 X、Y、Z、A、B、C 分別表示機床運動過程中，假定刀具相對于靜止的被加工工件的坐標，并規(guī)定刀具遠離工件的方向為正方向(計為“規(guī)則 1”)。

圖1 右手直角笛卡爾坐標系

1.1 數(shù)控車床坐標軸判別

大多數(shù)數(shù)控車床具有X和Z兩個直角坐標軸，一般平床身是前置刀架，斜床身多為后置刀架，如圖2 所示。 圖中的｛M1｝、｛W1｝、｛T1｝和｛R1｝分別表示后置刀架數(shù)控車床的機床坐標系、工件坐標系、刀具坐標系和機床參考點坐標系， 同理 ｛M2｝、｛W2｝、｛T2｝和｛R2｝是表示前置刀架機床相應坐標系，其中機床坐標系原點是固定的，故該坐標系可作為全局坐標系，其他三個可作為動態(tài)坐標系，他們之間可利用坐標變換矩陣求解，理論上卡爾丹角矩陣是單位矩陣，即認為四個坐標系是絕對的相互平行且方向相同，為此，數(shù)控機床通常是以參考點坐標系來判別各軸位置與方向(計為“規(guī)則2”)。在數(shù)控車床中，通過試切對刀等方式來確定刀具坐標系與工件坐標系的位置關系(如重合關系)，即可為數(shù)控程序控制刀具相對于工件在工件坐標系中完成準確地加工提供保證。

圖2表示車床前置、后置刀架 (以四方刀架為例)的直角坐標軸，其中Z坐標軸是平行于機床主軸，即平行于工件回轉軸線的坐標軸。在數(shù)控機床中Z坐標軸是作為機床主坐標軸，是與機床上提供切削力的主軸軸線相平行或重合的軸(計為“規(guī)則3”)。Z坐標軸是數(shù)控機床首先要判別和確定的［2］。X坐標軸是平行于工件裝夾表面且與Z軸垂直。結合右手直角笛卡爾坐標系和“規(guī)則1”可判別數(shù)控車床坐標系，如圖2中后置刀架T1和前置刀架T2號刀具遠離工件的運動方向正是+X和+Z方向，并可判別相應的+Y。圖2中后置刀架是斜床身形式，若刀架傾斜角度為α，則圖2所示的后置刀架坐標系為刀架旋轉－α角后的圖形，與其相對應的其他三個坐標系同理。

圖2 數(shù)控車床坐標系

圖3 立式數(shù)控銑床(加工中心)坐標系

1.2 數(shù)控銑床坐標軸判別

通常數(shù)控銑床和加工中心機床是由X、Y、Z坐標軸組成，如圖 3 所示。圖中｛M｝、｛R｝、｛T｝、｛W｝、｛F｝和｛Li｝分別表示機床坐標系、參考點坐標系、刀具坐標系、工件坐標系、夾具坐標系和第i定位件坐標系。這些坐標系也滿足絕對的相互平行且方向相同的原則，即同一機床中根據(jù)機床坐標系或參考點坐標系所確定的右手笛卡爾坐標系，其他坐標系都滿足與之相互平行且方向相同的原則 (計為 “規(guī)則4”)。 根據(jù)“規(guī)則 1、2、3”首先確定+Z。 以平行于工作臺最長的尺寸為X坐標軸，平行于工作臺最短的尺寸為Y坐標軸(計為“規(guī)則5”)。對于立式數(shù)控銑床，面對刀具主軸向立柱看時，X坐標軸正向指向右［2］(計為“規(guī)則6”)，最后結合圖1可判別+Y。立式數(shù)控銑床如果在空間上繞Z軸旋轉180°后，再繞X軸旋轉 90°即為一臺臥式數(shù)控銑床(計為“規(guī)則 7”)。

圖4 附加軸與第一軸系的關系

1.3 數(shù)控機床附加軸坐標系

任何類型數(shù)控機床都可以設置一根或多根附加軸，來滿足不同功能需求。通常增加旋轉的附加軸A、B、C比較多，如車削中心在刀架上安裝動力頭，即附加了C軸功能；如立式數(shù)控銑床的工作臺上安裝回轉工作臺或沿軸方向安裝伺服電機控制的分度頭(類似于萬能分度頭裝置)，則機床附加了C軸或B軸功能。當然機床也可以附加平行于X、Y、Z的坐標軸系，如圖4所示，其中第一行的X、Y、Z坐標軸系稱為第一軸系(主坐標系)；第二行為旋轉軸系；第三、四行為第二和第三軸系，以此類推，目前SIEMENS840D可控制軸數(shù)達30根以上；圖4中每列表示該坐標軸都與相應的第一軸有關系［1］，如A繞X的旋轉軸，U、P是平行于X的軸等。

圖5 數(shù)控機床坐標系變換

1.4 數(shù)控機床空間幾何關系

研究和分析數(shù)控機床空間幾何關系對機床精度具有十分重要的作用。分析數(shù)控機床運動副之間的誤差，都需建立一系列的坐標系，故每個運動副都需建立一個坐標系，在保證實際測量簡便性和精確性的基礎上，通常在機床的固定部件上建立一個全局坐標系，以確立機床運動副之間的相互關系，但每一個坐標系的建立必須滿足“規(guī)則1”。為了簡單闡述空間幾何關系，本節(jié)以坐標變換矩陣加以說明，如圖5所示。假定機床原坐標系So(Xo，Yo，Zo)和新坐標系Sp(Xp，Yp，Zp)，空間任意點 M 在 So和 Sp坐標系中的位置矢量及其關系分別為：

式（3）中Mop表示從So到Sp的坐標變換矩陣。

其中Mop的前三行、列表示的是原坐標系So(Xo，Yo，Zo)到新坐標系 Sp(Xp，Yp，Zp)的方向余弦，Mop的最后一列表示 So(Xo，Yo，Zo)的新坐標。

根據(jù)式（1）—（4），由于數(shù)控機床坐標系統(tǒng)很多，可以利用式（3）原理，僅需遵守矩陣代數(shù)的乘法規(guī)則，即可得以下方程：

式（5）表示從 S1到 S2，從 S2到 S3，…，從 S(n-1)到 Sn的逐次坐標變換。

式（1）—（5）即表示了數(shù)控機床的空間幾何坐標關系。

2 數(shù)控加工過程中的刀具位置判別

2.1 刀具半徑的左、右補償判別

在數(shù)控加工過程中經(jīng)常使用刀具補償功能，分別采用G41和G42進行左右補償，下面以笛卡爾坐標系進行判別。刀具在所加工輪廓的笛卡爾坐標系的某個平面內，沿第三個坐標軸負方向(即從第三個坐標軸的正向向負向觀察)，并順著刀具進給運動方向觀察，當?shù)毒咛幵谇邢鬏喞覀葧r，稱刀具半徑(車床中稱刀具刀尖半徑補償)右補償，當處在切削輪廓的左側時則為左補償(計為“規(guī)則8”)。如圖2所示，車削R1和 R2輪廓時，采用｛W1｝工件坐標系時，根據(jù)“規(guī)則8”，編程人員是正對著工件觀看，T1刀具刀尖半徑采用右補償；若采用｛W2｝工件坐標系時，根據(jù)“規(guī)則8”，編程人員是反對著工件觀看(即從紙面背面觀察)，T2刀具刀尖半徑也是右補償，而非左補償。在數(shù)控銑床中建立刀具半徑補償時，如圖6（a）和圖 6（b）所示，在 G17 和 G18 平面內，由于第三個坐標軸正方向(即+Z和+Y)不同，加工相同輪廓時，刀具的半徑左右補償是不一樣的，在實際應用中默認的是圖 6（a）。

圖6 數(shù)控銑床的左右刀具半徑補償

2.2 刀具刀尖方位的判別

數(shù)控車床中刀具補償G41/G42是不帶參數(shù)的，其補償號由T代碼指定，其刀具刀尖半徑補償號和刀具偏置補償號對應。在刀具補償寄存器中(圖7)分別輸入刀尖半徑補償值和刀尖的方位號在同一番號中R列和T列，R列和T列需同時輸入相應數(shù)值，否則程序調用G41/G42無效。圖8所示的是后置刀架的刀具方位，共有10個方位號(即0—9號)，A點表示刀具刀位點，+X和 +Z是機床直角坐標軸正方向。那么圖8中0—9號刀位如何判別？根據(jù)“規(guī)則4”，將+X和 +Z的機床直角坐標軸系平移到各個刀具標有“+”的圓心處構成各個刀具坐標系，結合“規(guī)則8”所述的“沿第三個坐標軸負方向”觀察，結合直角坐標系中象限的規(guī)定。圖9表示了刀具刀尖方位A點及其所在象限位置來確定該刀具刀位號0—9，從而得出圖8所示的10個方位。為此，圖2中T1刀具在｛T1｝坐標系中，刀具刀尖方位號為“3”；圖 2中 T2刀具在｛T2｝坐標系中，刀具刀尖方位號也為“3”。

2.3 數(shù)控加工的順逆圓弧判別

圓弧是數(shù)控加工中常見的加工對象，數(shù)控程序G02/G03分別表示順圓弧和逆圓弧插補，同理利用笛卡爾坐標系中“規(guī)則8”所述的“沿第三個坐標軸負方向觀察”，當圓弧所在平面內是順時針方向則為順圓弧，否則為逆圓弧。圖2中加工R1和R2圓弧的順逆，在+X1和+Z1構成的｛W1｝工件坐標系中，R1為逆圓弧采用G03指令加工，R2為順圓弧采用G02指令加工；同理在+X2和+Z2構成的 ｛W2｝工件坐標系中，R1也為逆圓弧采用G03指令加工，R2也為順圓弧采用G02指令加工。運用“規(guī)則8”，可分別判斷數(shù)控銑床(或加工中心)在G17和G18指定平面內的G02/G03，如圖10所示。

圖7 數(shù)控車床刀補寄存器界面

圖8 后置刀架數(shù)控車床刀尖方位號

圖9 后置刀架數(shù)控車床刀尖方位象限點

圖10 數(shù)控銑床的圓弧插補方向

3 應用與誤區(qū)

3.1 數(shù)控機床空間幾何誤差模型的理論應用與誤區(qū)

建立數(shù)控機床空間幾何誤差模型必須依賴于右手直角笛卡爾坐標系及其空間坐標變換關系，其建模方法有幾何建模法、誤差矩陣法、二次關系模型法、機構學建模法及多體系統(tǒng)理論建模法等。目前運用多體系統(tǒng)理論進行誤差建模比較流行。文獻［3］采用多體系統(tǒng)理論完成了五軸數(shù)控機床的綜合誤差建模，但文獻［3］對UCP710機床結構所建立的坐標系不是笛卡爾坐標系，所建立的誤差模型可能與實際機床各個坐標軸的誤差不符，這會使實際機床坐標軸的精度檢測和補償產(chǎn)生錯誤。為此，無論采用何種建模方法和技術，一定要以笛卡爾坐標系為準則去建立機床機構上各個坐標系，這是研究人員應當注意的問題。

3.2 刀具位置判別與誤區(qū)

（1）很多教科書及文獻中對刀具半徑左右補償問題的描述缺少了 “刀具在所加工輪廓的笛卡爾坐標系的某個平面內，沿第三個坐標軸負方向(即從第三個坐標軸的正向向負向觀察)”這段話，使得“規(guī)則8”不完整，致使一些數(shù)控人員對并非G17平面(即數(shù)控機床上默認的XY平面)時，也按照缺少前段語句描述的“規(guī)則8”去判斷，這是實際應用的誤區(qū)。

（2）在判別順逆圓弧時，由于G17平面判斷較多，數(shù)控人員同樣對“規(guī)則8”所述的“沿第三個坐標軸負方向觀察”忽略，這是實際應用中常見誤區(qū)。在數(shù)控車床中，一些實踐人員甚至教師在講解順逆圓弧時，總結出以后置刀架來判別工件輪廓的圓弧方向，通過笛卡爾坐標系判斷圖2可知，這種經(jīng)驗的確十分有效，但作為一名真正數(shù)控加工人員一定要知其所以然，否則在復雜的車銑復合加工中心上判別刀具位置就困難了。

（3）文中介紹了后置刀架數(shù)控車床刀尖方位的判別方法，可見刀尖方位不是死記硬背，而是根據(jù)笛卡爾坐標系進行判別，具有規(guī)律性，這是很多數(shù)控人員容易忽視的問題。

4 結 論

數(shù)控機床是以右手直角笛卡爾坐標系為其標準坐標系，根據(jù)機床結構、運動機構及其加工運動過程的空間關系，可以建立更多個笛卡爾坐標系。文中總結了8個主要規(guī)則，并舉例分析了笛卡爾坐標系在機床空間幾何關系和刀具位置判別等方面的應用及常見誤區(qū)，為數(shù)控工程人員、科研及教學人員提供指導。

[1]Peter Smid.數(shù)控編程手冊[M].羅學科,譯.北京:化學工業(yè)出版社，2006.

[2]顧曄,樓章華.數(shù)控加工編程與操作[M].北京:人民郵電出版社，2009.

[3]王秀山,楊建國,閆嘉鈺.基于多體系統(tǒng)理論的五軸機床綜合誤差建模技術[J].上海交通大學學報，2008，42(5):761-764,769.

Research on Application of NC Machine Tools of Descartes Coordinate System

ZHANG GuozhengYANG Haihui
(Anhui Technical College of Mechanical&Electrical Engineering，Wuhu 241000)

One's right hand and angle descartes coordinate system is the standard coordinate system of NC machine tools.It can judge the relationship of geometrical space of machine tools,and also judges the compensation of tool's radius,nose of tool and the way of clockwise-arc or counterclockwise-arc during machining process.The practical rules are summarized that for showing the practical application of descarres coodinate system,and some errors of NC machining engineer are proposed.

descartes coordinate system；NC machine tools；coodinate axis judging；tool position

TG659

A

1673-1980（2012）01-0121-05

2011-10-24

安徽高等學校省級自然科學研究項目（KJ2011B037）

張國政(1980-)，男，博士，講師，研究方向為數(shù)控加工技術及應用、CAFD技術、齒輪數(shù)控加工技術。