平面第二類曲線積分的一種簡便計(jì)算方法

李小梅

（浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州310023）

第二類曲線積分的計(jì)算在微積分學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn)，其中概念既多又抽象，計(jì)算既繁又難以判斷。如計(jì)算時(shí)須考慮積分曲線為開曲線或者是閉曲線時(shí)的狀態(tài)，與積分路徑有關(guān)或無關(guān)時(shí)的性態(tài)，被積函數(shù)的偏導(dǎo)是否在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)還是不連續(xù)的條件，曲線是否為正向還是反向時(shí)的確定等［1-3］，這些情況在計(jì)算第二類曲線積分都必須進(jìn)行分析。而這些分析恰恰是曲線積分中難以掌握的，特別在研究生入學(xué)考試的命題中，曲線積分的出題率很高，而難度系數(shù)卻又很大，直接導(dǎo)致了較低的解題正確率［4］。本文利用格林公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，推出了平面上第二類曲線積分計(jì)算的一種簡便方法，它無需更多的判斷就可直接進(jìn)行計(jì)算。

1 準(zhǔn)備知識與命題

設(shè)曲線L是平面上一條光滑的曲線弧，P（x，y）、Q（x，y）在曲線L上連續(xù)。則有：

引理1.1（格林公式） 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中L是D的取正向的邊界曲線。

引理1.2（曲線積分性質(zhì)） 設(shè)L是有向曲線弧，-L是與L方向相反的有向曲線弧，則

引理1.3 設(shè)L為平行X 軸的一條線段，A（x0，y1）為起點(diǎn)，B（x1，y1）為終點(diǎn)，則

同樣，若L為平行Y 軸的一條線段，A（x0，y0）為起點(diǎn)，B（x0，y1）為終點(diǎn)，則有：

證明：略。

根據(jù)以上引理，本研究推出以下結(jié)論：

定理1.1 設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域，函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

其中曲線l是起點(diǎn)為A（x0，y0），終點(diǎn)為B（x1，y1）（x0＜x1，y0＜y1））區(qū)域D 內(nèi)的一條開曲線。

定理1.2 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，若O（0，0）∈D，且函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D上除O（0，0）外具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

其中L是D的取正向的邊界曲線；l是以原點(diǎn)為圓心，半徑為r取逆時(shí)針方向的邊界曲線。

定理1.3 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且設(shè)L為封閉正向曲線，函數(shù)P（x，y）或Q（x，y）在曲線L中點(diǎn)B的鄰近無界（或稱其點(diǎn)為P（x，y）或Q（x，y）的一個(gè)奇點(diǎn)）。如果對曲線L上除點(diǎn)B外的任意點(diǎn)處函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D上均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)積分∮LP（x，y）d x＋Q（x，y）d y收斂時(shí)，有：

這次聽眾很少，人們不相信青山。村人天生容易失望，每個(gè)人容易失望。每個(gè)人覺得完了！只有老趙三，他不失望，他說：

圖1 開曲線構(gòu)成圖Fig.1 For mation diagram of open curve

2 定理分析與證明

定理1.1證明 設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域，函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。曲線l的起點(diǎn)為A（x0，y0），終點(diǎn)為B（x1，y1）（A，B為區(qū)域D 內(nèi)兩點(diǎn)且x0＜x1，y0＜y1），連接AC，CB構(gòu)成封閉曲線L＝l-＋AC＋CB（AC平行x軸，CB平行y軸；且L是D的取正向的邊界曲線，如圖1所示。

由引理1.1：

由引理1.2：

所以根據(jù)引理1.3有：

特別是當(dāng)x0＝x1，y0＜y1時(shí)：

圖2 原點(diǎn)在閉曲線內(nèi)Fig.2 Orignial point inside closed curve

證畢。

定理1.2證明 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑曲線L圍成，當(dāng)（0，0）∈D時(shí)，作位于D內(nèi)圓周l：x2＋y2＝r2，如圖2所示。

記D1由L和l所圍成，應(yīng)用格林公式，得

定理1.3證明 先給出定義：設(shè)L為一條光滑或分段光滑的封閉正向曲線，函數(shù)P（x，y）或Q（x，y）在曲線L中點(diǎn)B的鄰近無界（或稱其點(diǎn)為P（x，y）或Q（x，y）的一個(gè)奇點(diǎn)）。如果對曲線L上除點(diǎn)B 外的任意點(diǎn)處函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D上均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，取B（b1，b2）點(diǎn)鄰近點(diǎn)B′（b1＋ε，b2斂的；如果上述有一個(gè)極限不存在，則稱積分是發(fā)散的。因此，當(dāng)積分∮LP（x，y）d x＋Q（x，y）d y收斂時(shí)，顯然有

注：對于積分曲線為封閉曲線時(shí)，定理1.2、1.3分別討論了封閉曲線L包含原點(diǎn)和經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）且函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）僅在O（0，0）處不連續(xù)（此時(shí)曲線積分就是文獻(xiàn)［5］中所定義的無界函數(shù)廣義第二類曲線積分）時(shí)的兩種情況。至于函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在封閉曲線所圍的閉域D上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則按格林公式做。

3 舉 例

上面定理是分平面第二類曲線積分為開曲線還是閉曲線兩種類型進(jìn)行討論的。因此，在應(yīng)用上面定理時(shí)，首先考察曲線是開曲線還是閉曲線，再分別應(yīng)用上述定理即可（以下例題均假設(shè)滿足定理?xiàng)l件，題中不再說明）。

分析：按照平常方法計(jì)算有1）參數(shù)法［1］，但較難；2）判斷與路徑無關(guān)，需考慮添加輔助線［6］。由于此曲線為開曲線，且起點(diǎn)O（0，0），終點(diǎn)B（1，1），其中x0＝0＜x1＝1；y0＝0＜y1＝1，滿足定理1.1的條件，直接用定理即可。

分析：此積分路徑雖然是兩段曲線相加的，但仍為開曲線。只要找到起點(diǎn)O（0，0），終點(diǎn)B（0，2），且起點(diǎn)的x，y坐標(biāo)分別≤終點(diǎn)的x，y坐標(biāo)，可用定理1.1。

于是，據(jù)定理1.1有：

分析：此曲線為開曲線。但此積分路徑起點(diǎn)A（a，0），終點(diǎn)O（0，0），起點(diǎn)的x，y坐標(biāo)分別 ≥ 終點(diǎn)的x，y坐標(biāo)，不能直接應(yīng)用定理1.1，可先計(jì)算

圖3 積分路徑圖Fig.3 Diagram of integral route

解：因?yàn)?/p>

由定理1.1公式：

例5：設(shè)在上半平面D＝｛（x，y）｜y＞0｝內(nèi)，函數(shù)f（x，y）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意t＞0的都有f（tx，ty）＝t-2f（x，y）。證明：對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L，都有（x，y）dx-xf（x，y）dy＝0。

證明：由于函數(shù)f（x，y）在上半平面D＝｛（x，y）｜y＞0｝內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

由f（tx，ty）＝t-2f（x，y）兩邊對t求導(dǎo)可得：

解：1）當(dāng)x2＋y2≠0時(shí)，利用格林公式有

2）當(dāng)（0，0）∈D 時(shí)：利用定理1.2得：

例7：計(jì)算上題。其中積分路徑為：L1：y＝x2，L2：y＝1，L3：x＝0所圍的閉曲線L。

分析：此為閉曲線，且積分路徑經(jīng)過原點(diǎn)，按定理1.3做。

解：取曲線L為正向曲線，

4 結(jié) 語

綜上所述，利用上述定理計(jì)算平面第二類曲線積分時(shí)，無需更多的考察曲線是否與路徑無關(guān)，是否取正向、反向，是否需要添加輔助線。也無需更多地考慮積分曲線方程是否復(fù)雜，以免代入后產(chǎn)生的計(jì)算繁瑣。采用此定理時(shí)，只需先觀察曲線是開曲線還是閉曲線，然后按照定理的條件、結(jié)論計(jì)算即可。但由于此定理主要是由格林公式推導(dǎo)而來的，故牽涉到將平面第二類曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域上的二重積分的計(jì)算，如果二重積分易計(jì)算，則此方法就更顯示出其優(yōu)越性。

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007：191-213.

［2］ 吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（理工類）：下冊［M］.北京：中國人民大學(xué)出版社，2007：104-118.

［3］ 李潤菁.探討曲線積分問題的求解方法［J］.寧德師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010（4）：410-413.

［4］ 梁存利.高數(shù)考研中有關(guān)曲線積分問題的求解方法［J］.科技資訊，2009（36）：156-157.

［5］ 王淑蘭，王洪林.積分路徑上含有孤立奇點(diǎn)的第二類曲線積分［J］.河北工程技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002（1）：44-48.

［6］ 馮烽.平面第二型曲線積分的解題思路與計(jì)算技巧［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2010（2）：34-36.