周 娟， 江 輝， 李 鵬

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長沙 410082)

基于WCVaR風(fēng)險度量的發(fā)電商電量分配模型

周 娟， 江 輝， 李 鵬

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長沙 410082)

電力市場中，發(fā)電商需要合理分配發(fā)電量以追求總利潤最大、風(fēng)險最小。以最壞情況風(fēng)險價值(WCVaR)作為風(fēng)險度量因子，建立了發(fā)電商在保證一定的期望收益率下WCVaR風(fēng)險值最小的發(fā)電量分配模型，并對其在實時平衡市場、日前市場和中、遠(yuǎn)期合約市場的發(fā)電量分配比例及有效前沿進行了仿真測驗。結(jié)果表明，所提出的電量分配模型能較真實地反映發(fā)電商所面臨的市場風(fēng)險的本質(zhì)特性，表明了理論分析的正確性和模型的有效性，從而為發(fā)電商的投標(biāo)決策和風(fēng)險評估提供了新思路。

電力市場； 發(fā)電商； 最壞情況風(fēng)險價值； 發(fā)電量分配； 風(fēng)險評估

電力市場化改革為發(fā)電商提供了多種多樣的子市場。因此，發(fā)電商如何使自己的風(fēng)險最小，使利潤最大(或保證一定的利潤水平)，牽涉到發(fā)電商的競價策略問題[1，2]。

基于均值-方差理論，Markowitz(1952)指出投資者將從兩個方面決定其投資取向：①從有經(jīng)驗的觀察者或主觀經(jīng)驗中分析投資參數(shù)；②基于收益和風(fēng)險的平衡點選擇投資組合[3]。文獻[4～6]都是采用傳統(tǒng)的均值-方差模型來度量風(fēng)險，但隨著電力市場的不斷發(fā)展，其局限性日益暴露。近年來提出了計量收益損失程度的下方風(fēng)險測量方法，風(fēng)險價值VaR(value-at-risk)和條件風(fēng)險價值CVaR(conditional value-at-risk)[7，8]，理論上優(yōu)于均值方差計量方法。文獻[9]基于VaR方法研究電價的波動，并用CVaR估計電力公司的次日購電損失。文獻[10]基于CVaR研究發(fā)電商的資產(chǎn)分配問題，建立了三個風(fēng)險-利潤模型。文獻[11]以CVaR為風(fēng)險指標(biāo)，綜合考慮風(fēng)險和期望收益率，建立了新的發(fā)電商均值-CVaR投標(biāo)組合優(yōu)化模型。均值-方差理論和VaR風(fēng)險分析都是基于概率論基礎(chǔ)上的投資組合選擇模型，都是建立在隨機變量分布已知情況下。若不知或只知道變量的分布屬于某集合等情況，文獻[12]提出最壞情景分析，將WCVaR概念引入到投資組合理念中。文獻[13]放寬了隨機變量服從特定分布的假設(shè)條件，通過魯棒性分析得到投資策略，但其忽略了資產(chǎn)收益的動態(tài)變化過程。文獻[14]建立了基于WCVaR理論的新的3個最優(yōu)組合模型，并在隨機變量混合分布的條件下將模型進一步簡化，建立了3個相應(yīng)的發(fā)電資產(chǎn)組合分配模型。

WCVaR放寬了對分布的要求，可計算僅已知部分概率分布信息情況，更能反映市場風(fēng)險的本質(zhì)特性。本文建立了基于WCVaR理論的最優(yōu)組合模型，并將其應(yīng)用到發(fā)電商發(fā)電量分配的研究中，算例分析表明了理論的正確性和模型的有效性,對發(fā)電商的投標(biāo)決策和風(fēng)險評估具有一定的指導(dǎo)性。

1 CVaR和WCVaR簡介

1.1 條件風(fēng)險價值CVaR

設(shè)X為投資組合可行集，X∪Rn，令f(x，y)為損失函數(shù)。其中，x∈X為n維投資組合方案向量，y∈Rm為m維隨機變量，表示市場的隨機因素(如市場利潤率)。假設(shè)y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(y)，對于確定的y∈Rn，由y引起的損失f(x，y)是R上服從某一分布的隨機變量，其不超過臨界值α的分布函數(shù)為

Ψ(x，α)=∫f(x，y)≤αp(y)dy

(1)

對于給定的置信水平β，VaR和CVaR的計算式分別為

VaRβ(x)=min{α∈R；Ψ(x，α)≥β}

(2)

CVaRβ(x)=E[f(x，y)|f(x，y)≥αβ(x)]=

(3)

由于式(3)中含有VaR函數(shù)VaRβ(x)項，而VaRβ(x)的解析表達式難以求出，引入一個相對簡單的函數(shù)Fβ(x，α)來計算CVaR，其公式為

(4)

式中，[f(x，y)-α]+為max{0，f(x，y)-α}。

通常情況下，概率密度函數(shù)p(y)的解析表達式難以得到，可以利用隨機變量y的歷史數(shù)據(jù)，或使用Monte-Carlo法模擬樣本數(shù)據(jù)來給出式(4)中積分的估計。設(shè)y1，y2，…，yq為y的q個樣本，則函數(shù)Fβ(x，α)的估計值為

(5)

在實際計算中，基于式(5)來確定資產(chǎn)的最優(yōu)組合系數(shù)向量X及相應(yīng)的VaR、CVaR值。

1.2 極壞條件風(fēng)險價值WCVaR

利用CVaR作為風(fēng)險度量因子最優(yōu)化投資組合時，必須準(zhǔn)確知道隨機變量y的密度函數(shù)p(y)。但很多時無法準(zhǔn)確知道p(y)，僅知道p(y)∈P(P是個確定的函數(shù)集合)。這時，CVaR方法不再適用，文獻[15]提出WCVaR理論，定義為

若已知y的密度函數(shù)p(y)∈P，WCVaR是指在給定置信度下，某一資產(chǎn)組合在最差收益情景下的CVaR價值，也就是CVaR的上確界，即

(6)

研究投資組合時，可通過調(diào)整投資組合x使CVaR達到最小，即在(x，α)∈X×R上對Fβ(x，α)進行最小化，即

(7)

則WCVaR又可表示為

(8)

2 基于WCVaR的投標(biāo)組合優(yōu)化模型

假設(shè)在風(fēng)險投資市場中，投資者有n個風(fēng)險資產(chǎn)。設(shè)隨機變量y=(y1，y2，…，yn)T≤Rn表示n個風(fēng)險資產(chǎn)，x=(x1，x2，…，xn)∈X為投資的決策變量，其中X表示決策空間。對于隨機變量y和分布空間P(某一集合)，利潤函數(shù)Rp(x)定義為損失函數(shù)取負(fù)數(shù)，即

Rp(x，y)=Ep[-f(x，y)]

(9)

對于給定的正數(shù)約束A1、A2和風(fēng)險厭惡系數(shù)Agt;0，可建立三個考慮風(fēng)險和利潤關(guān)系的WCVaR模型。

模型1期望收益最大，WCVaR風(fēng)險值受約束

(10)

模型2WCVaR風(fēng)險值最小，期望收益受約束

(11)

模型3期望收益和WCVaR風(fēng)險值的組合優(yōu)化模型

(12)

在一定條件下改變參數(shù)A1、A2和A時，上述三個優(yōu)化模型產(chǎn)生相同的有效前沿，即在一定條件下三個模型有相同的最優(yōu)解。因發(fā)電商報價不受限制，其收益只需考慮自身報價和發(fā)電成本，收益會保持一定水平，所以會更加注重風(fēng)險因素。本文采用優(yōu)化模型2來求解發(fā)電商的電能分配問題。

3 基于WCVaR的發(fā)電商電能分配模型

發(fā)電商將年度總發(fā)電量分配到各個子市場時，采取不同的投標(biāo)組合策略，將會獲得不同的收益，同時也將面臨不同的風(fēng)險。本文將發(fā)電商總發(fā)電量類比為總資產(chǎn)，并將其在各類子市場的收益看作投資回報。這樣，發(fā)電商的電能分配問題就轉(zhuǎn)化為金融學(xué)中的投資組合優(yōu)化問題。本文以總期望利潤作為約束條件，最小化風(fēng)險水平，建立基于WCVaR風(fēng)險度量指標(biāo)的電能分配模型。

定義投標(biāo)組合的收益函數(shù)R(x，y)為

R(x，y)=xTy

(13)

組合收益的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為

E[R(x，y)]=xTμ

(14)

σ[R(x，y)]=xTσ

(15)

發(fā)電商投標(biāo)組合損失函數(shù)f(x，y)為

f(x，y)=-R(x，y)=-xTy

(16)

將式(11)代入式(4)，得Fβ(x，α)的形式為

(17)

取利潤率y的樣本值y1，y2，…，yq，則式(12)的估計式為

(18)

設(shè)虛擬變量zk(k=1，2，…，q)，令zk=[-xTyk-α]+，則zk≥0且zk≥-xTyk-α。

綜合式(8)、式(10)和式(14)，于是最小化WCVaR的發(fā)電商投標(biāo)組合優(yōu)化模型就轉(zhuǎn)化為由線性函數(shù)和線性約束構(gòu)成的線性規(guī)劃問題。

(19)

(20)

xTy≥e

(21)

(22)

zk≥0

(23)

Zk≥-xTyk-α

(24)

式中，e為收益下線，0≤e≤1。

其中，式(16)的含義為發(fā)電商的電量分配約束。與文獻[14]模型2不同的是，本文中介入了為組合收益的均值約束，式(17)為其表達式，這樣就保證了期望收益滿足的條件下實現(xiàn)WCVaR風(fēng)險值最小，是對本文模型2的具體分析。WCVaR為最壞情況下的CVaR值，式(18)為其線性表達式，求解出來的θ值即為WCVaR風(fēng)險值，這樣就將雙層優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單層優(yōu)化問題。

4 算例分析

電力市場中，實時平衡市場、日前市場及中、遠(yuǎn)期合約市場具有不同的價格波動特性。中、遠(yuǎn)期合約市場電價波動小，風(fēng)險相對小；日前市場、實時市場電價波動大，風(fēng)險也相對較大，但收益相對偏高。本文模擬美國PJM市場數(shù)據(jù)，通過蒙特卡羅方法獲得關(guān)于每個市場的500個樣本，對其求均值和方差，表1給出了各市場電價的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。

表1 各市場電價分布數(shù)據(jù)

假設(shè)發(fā)電商各個市場成本統(tǒng)一按照c=30$/(MW·h)進行計算。市場收益率yi=(pi-c)/c，則μgi=(μpi-c)/c，σyi=σpi/c，由此可計算收益率yi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。

表2 各市場的收益率分布數(shù)據(jù)

表3 發(fā)電商發(fā)電量分配及WCVaR值

為得到組合收益率E(r(x))隨WCVaR值變化曲線，改變約束中的期望收益率下限e，重復(fù)上述計算；同時，根據(jù)E(r(x))=xTu計算E(r(x))，可得到如圖1所示的不同置信水平下的收益-WCVaR曲線，即金融學(xué)中的有效前沿曲線。

圖1 收益-WCVaR的有效前沿

由表3計算結(jié)果和圖1可看出。

(1)相同置信水平下，若發(fā)電商想獲得高的期望收益率，必將增加其在高收益的日前市場的發(fā)電量投入，不過，在收益提高的同時也將獲得更高的WCVaR風(fēng)險水平。這也真實體現(xiàn)了日前市場的物理特性。但是，期望收益率也有個范圍，故發(fā)電商在制定發(fā)電量分配策略時期望收益率不能過高或過低。

(2)兩條有效前沿曲線都是單調(diào)遞增的，說明在有效前沿曲線上，增加期望收益率將導(dǎo)致WCVaR風(fēng)險值增加，反之亦然，這也符合市場行為。

(3)當(dāng)置信水平增大時，有效前沿曲線右移，相同的期望收益率下，發(fā)電商在日前市場的電量分配比例減少，得到的最優(yōu)點對應(yīng)的WCVaR風(fēng)險值增大。置信水平反映了發(fā)電商風(fēng)險承受能力。說明發(fā)電商風(fēng)險厭惡度大，發(fā)電商趨于保守。

為了更清楚地說明基于WCVaR風(fēng)險度量投標(biāo)優(yōu)化組合相對于基于CVaR風(fēng)險度量投標(biāo)組合的優(yōu)勢性，同樣利用表1和表2中的數(shù)據(jù)，與文獻[11]中基于CVaR風(fēng)險度量方法進行對比， 取為0.20，利用線性規(guī)劃的LINDO程序再分別進行計算，結(jié)果如表4所示。

表4 發(fā)電商發(fā)電量分配及CVaR值

從兩種風(fēng)險度量方法的計算結(jié)果的對比中可看出：在同樣置信水平和期望收益率的約束下，基于WCVaR風(fēng)險度量方法時，發(fā)電商在日前市場投入的發(fā)電量比例明顯增大，而實時平衡市場和中、遠(yuǎn)期合約市場的比例相對減少，WCVaR風(fēng)險值也明顯大于CVaR風(fēng)險值。即基于WCVaR風(fēng)險度量投標(biāo)組合時發(fā)電商會加大日前市場在整個市場中所占的份額來適應(yīng)市場的變化，追求高利潤的同時也遭受著更大的風(fēng)險損失。這也印證了WCVaR為最壞情況下的CVaR值，能更好地反映不同的市場變化條件，作出相應(yīng)的分配決策。

5 結(jié)語

基于最壞情況風(fēng)險價值(WCVaR)理論，建立了WCVaR風(fēng)險最小化的均值-WCVaR模型。將隨機優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性規(guī)劃問題，計算方便。結(jié)果表明：①發(fā)電商的利潤會隨著其所愿意承擔(dān)的風(fēng)險的增大而提高。置信水平 能反映發(fā)電商的風(fēng)險承受能力。提高置信水平，發(fā)電商趨于厭惡風(fēng)險，其將增加在中、遠(yuǎn)期合約市場的發(fā)電量分配比例；反之，則將增加在日前市場的發(fā)電量分配比例，符合發(fā)電商的實際商業(yè)行為。②基于WCVaR的組合優(yōu)化模型結(jié)果反映了市場波動情況對發(fā)電商投標(biāo)組合決策的調(diào)整，他們可以采取不同的市場分配比例來保證預(yù)期的期望收益率和風(fēng)險水平。③給出了具體的發(fā)電商電量的分配比例，并與CVaR模型進行了對比。數(shù)值結(jié)果表明基于WCVaR風(fēng)險度量的發(fā)電商資產(chǎn)組合模型比CVaR模型結(jié)果更優(yōu)，能更真實地反映發(fā)電商所面臨的市場本質(zhì)特性，可為發(fā)電商在不同市場的電量分配進行風(fēng)險評估。

[1] 國家電力監(jiān)管委員會.輸電監(jiān)管[M].北京：中國電力出版，2004.

[2] 王訪,周曉陽,周晨(Wang Fang, Zhou Xiaoyang, Zhou Chen).發(fā)電公司投資組合決策流程 (Portfolio decision-making flow for generation company)[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(Proceedings of the CSU-EPSA)，2008，20(1)：33-37,45.

[3] 馬莉，文福拴，倪以信，等(Ma Li, Wen Fushuan, Ni Yixin,etal).考慮風(fēng)險約束的發(fā)電公司報價策略研究(Risk-constrained optimal bidding strategies for generation companies in electricity market environment)[J].電力系統(tǒng)自動化(Automation of Electric Power Systems)，2003，27(23)：6-11.

[4] Rodriguez C P, Anders G J. Bidding strategy design for different types of electric power market participants[J]. IEEE Trans on Power Systems, 2004,19(2) :964-971.

[5] 康重慶，白利超，夏清，等(Kang Chongqing, Bai Lichao, Xia Qing,etal).電力市場中發(fā)電商的風(fēng)險決策(Risk decision-making of generations in electricity market)[J].中國電機工程學(xué)報(Proceedings of the CSEE)，2004，24(8)：1-6.

[6] 郭金，江偉，譚忠富(Guo Jin, Jiang Wei, Tan Zhongfu).風(fēng)險條件下供電公司最優(yōu)購電問題研究(Research on optimized power purchasing of power suppliers under risk condition)[J].電網(wǎng)技術(shù)(Power System Technology)，2004，28(11)：18-22.

[7] Philippe J. Value at Risk[M].New York: The Mc Graw-Hill Companies Inc,1997.

[8] Rockafellar R T, Uryasev S. Optimization of conditional value-at-risk[J]. Journal of Risk, 2000,2(3):21-41.

[9] Liu Ya′an, Guan Xiaohong. Purchase allocation and demand bidding in electric power markets[J]. IEEE Trans on Power Systems, 2003,18(1):106-112.

[10]Su J. Analytical Assessment of Generation Asset in Restructured Electricity Industry[D]. Hong Kong: College of Electrical and Information Engineering of University of Hong Kong, 2006.

[11]王壬，尚金成，馮 旸，等(Wang Ren, Shang Jincheng, Feng Yang,etal) .基于CVaR風(fēng)險計量指標(biāo)的發(fā)電商投標(biāo)組合策略及模型(Combined bidding strategy and model for power suppliers based on CVaR risk measurement techniques) [J].電力系統(tǒng)自動化(Automation of Electric Power Systems)，2005，29(14) ：5-9.

[12]Lobo M S, Boyd S. The worst-case risk of a portfolio [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2000,26(3):1159-1193.

[13]El Ghaoui Laurent, Oks Marksim, Oustry Francois . Worst-case value-at-risk and robust portfolio optimization: A conic programming approach[J]. Operation Reasearch, 2003,51(4):543-556,673.

[14]周任軍，胡軍，羅瀟，等(Zhou Renjun, Hu Jun, Luo Xiao,etal). 發(fā)電資產(chǎn)最優(yōu)組合分配的WCVaR風(fēng)險度量方法(Generation asset optimal portfolio allocation based on Worst-case CVaR) [J]. 長沙理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版(Journal of Changsha University of Science and Technology：Natural Science)，2009，6(1) ：36-42.

[15]Zhu S S, Fukushima M.Worst-case conditional value-at-risk with application to robust portfolio management[R].Kyoto University: Department of Applied Mathematics and Physics, 2006.

[16]高建偉，邊念怡(Gao Jianwei, Bian Nianyi).基于WCVaR風(fēng)險控制的投資組合(Portfolio selection based on the risk control of WCVaR)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐(System Engineering-Theory amp; Practice)，2009，29(5) ：69-75.

[17]劉艷春，高闖(Liu Yanchun, Gao Chuang). 風(fēng)險資產(chǎn)組合的均值-WCVaR模糊投資組合優(yōu)化模型(Mean-WCVaR fuzzy portfolio optimization model of risk property combination)[J].中國管理科學(xué)(Chinese Journal of Management Science)，2006，14(6) ：16-21.

[18]袁智強，侯志儉，宋依群，等(Yuan Zhiqiang, Hou Zhijian, Song Yiqun,etal).發(fā)電商不同策略的供應(yīng)函數(shù)均衡分析(Analysis of supply function equilibrium with different bidding strategy of suppliers)[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(Proceedings of the CSU-EPSA)，2004，16(5)：32-35,55.

周 娟(1986-)，女，碩士研究生，研究方向為電力市場風(fēng)險管理。Email:zhoujuan0616@163.com

江 輝(1964-)，女，博士，教授，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化運行、電力經(jīng)濟以及計算機應(yīng)用。Email:huijiang1092@hotmail.com

李 鵬(1985-)，男，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)配電網(wǎng)重構(gòu)。Email:3938595 @qq.com

OptimizationPortfolioAllocationforGenerationCompaniesBasedonWorst-caseConditionalValue-at-risk

ZHOU Juan， JIANG Hui， LI Peng

(College of Electrical amp; Information Engineering, Hunan University,Changsha 410082, China)

To obtain the maximal profit and the minimum risk, it is the duty of generation companies to allocate energy reasonably in power market. Taking the WCVaR as risk management index, an optimal energy allocation model was built for generation companies. Plentiful cases were simulated to test the efficient frontier of models and the energy asset allocation ratio for generation companies among real time equilibrium market, day ahead market, middle-term and long-term contract market. The simulation result shows that the proposed model can exactly reflect the essential characteristics of the market risks which the generation companies must face, the theoretical analysis is correct and the new models are valid. Thereby, the proposed model can be applied to purchasing strategies and risk evaluation of generation companies.

power market； generation companies； worst-case conditional value-at-risk(WCVaR)； optimization portfolio allocation； risk assessment

TM73； F123.9

A

1003-8930(2012)01-0156-05

2010-06-02；

2010-07-02