李成仁 岳東杰 金保平

(河海大學(xué)測繪科學(xué)與工程系，南京 210098)

協(xié)方差函數(shù)的選擇對GPS高程擬合精度的影響*

李成仁 岳東杰 金保平

(河海大學(xué)測繪科學(xué)與工程系，南京 210098)

闡述最小二乘配置的原理，給出先驗(yàn)方差協(xié)方差估計(jì)方法，通過實(shí)例分析了采用最小二乘配置法的有效性，比較了不同協(xié)方差函數(shù)對擬合精度的影響及擬合點(diǎn)的分布對協(xié)方差函數(shù)、擬合結(jié)果的影響。

模型誤差;最小二乘配置;協(xié)方差函數(shù);GPS高程擬合;擬合精度

1 引言

在工程測量領(lǐng)域，最常用的高程異常擬合方法是數(shù)學(xué)曲面擬合法，然而常規(guī)方法只是擬合出與高程異常相近似的趨勢面來代替擬合區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面，并沒有顧及到似大地水準(zhǔn)面的物理性質(zhì)。實(shí)際上，由于地殼的不均衡和地形起伏的影響，似大地水準(zhǔn)面是一個(gè)非常復(fù)雜且不規(guī)則的曲面，任何擬合方法總與之有一定的差異。這種差異可以解釋為由于擬合模型的不準(zhǔn)確造成，因此不同點(diǎn)的高程異常擬合誤差實(shí)際上包含兩部分:測量誤差和選取的模型與實(shí)際似大地水準(zhǔn)面的差異。顯然，常規(guī)的最小二乘擬合將兩部分綜合作為測量誤差來處理是不嚴(yán)密的，擬合結(jié)果必然受到影響。因此在數(shù)據(jù)處理過程中必須顧及這種差異的影響，這正是最小二乘配置法(LSC)［1］的思想，該法將這種選取的模型與實(shí)際似大地水準(zhǔn)面的差異看作是隨機(jī)函數(shù)，即所謂的信號來對待，在估計(jì)非隨機(jī)的趨勢部分的同時(shí)，也估計(jì)這種模型差異的隨機(jī)部分，從理論上講可以取得較好的效果。然而在實(shí)際采用最小二乘配置法時(shí)，其成功的關(guān)鍵是合理確定信號的方差協(xié)方差陣。協(xié)方差函數(shù)的嚴(yán)密表達(dá)式難以準(zhǔn)確獲取，實(shí)際中通常根據(jù)觀測或?qū)嶒?yàn)(即估計(jì))得到的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)來近似表達(dá)，因此協(xié)方差函數(shù)的確定與選擇直接影響著估計(jì)值的精度?；诖?，本文重點(diǎn)研究協(xié)方差函數(shù)的選擇對GPS高程擬合結(jié)果的影響。

2 最小二乘配置的基本原理

最小二乘配置的函數(shù)模型一般表示為

其隨機(jī)模型是:X和X'的先驗(yàn)期望:E(X)= μX，E(X')=μX';X和X'的先驗(yàn)方差和協(xié)方差:var (X)=DX，var(X')=DX'，cov(X，X')=DXX';Δ的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Δ)=0，var(Δ)=DΔ;Δ關(guān)于X和X'的協(xié)方差:cov(Δ，X)=DΔX，cov(Δ，X')=DΔX'，實(shí)際應(yīng)用中噪聲Δ與X，X'是相互獨(dú)立的，即DΔX=0，DΔX'=0。

從而推得:

單位權(quán)中誤差

式中，ty為傾向參數(shù)Y的個(gè)數(shù)。

3 先驗(yàn)方差協(xié)方差的估計(jì)

信號的方差協(xié)方差陣的基本思想為:預(yù)先選擇一個(gè)符合協(xié)方差函數(shù)條件的、形式比較簡單的函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)，根據(jù)觀測值采用擬合的方法求得所選協(xié)方差函數(shù)中的待定參數(shù)，然后通過擬合得到的協(xié)方差函數(shù)確定信號的方差協(xié)方差陣。

關(guān)于協(xié)方差函數(shù)，國內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行了一系列研究［2-5］。目前常用的協(xié)方差函數(shù)有［6］:

1)高斯(Gauss)函數(shù)

2)希爾伏寧(Hirvonen)函數(shù)

3)似高斯(Gauss)函數(shù)

上面各式中C(0)表示距離為零時(shí)信號間的協(xié)方差，其實(shí)質(zhì)就是信號的方差，即為協(xié)方差矩陣中的對角線元素，k為待定參數(shù)，d為兩點(diǎn)間的距離。其中C的先驗(yàn)值的計(jì)算采用

式中:nd為相距為d的對點(diǎn)數(shù);i、j為對點(diǎn)的點(diǎn)號，C是任意兩個(gè)相距為d的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的先驗(yàn)協(xié)方差;［］表示求和;si為異常位的信號值。一般來講，嚴(yán)格等于所選距離d的對點(diǎn)幾乎沒有。這里可以把d選為整千米數(shù)，即d=1，2，3，…，把距離d滿足其0.5千米范圍內(nèi)的所有對點(diǎn)均認(rèn)為滿足點(diǎn)距為d的對點(diǎn)，這樣，所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)都參與了初始協(xié)方差的計(jì)算，并且沒有任何一對點(diǎn)被重復(fù)計(jì)算。在實(shí)際確定協(xié)方差函數(shù)時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離d的大小應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x定，當(dāng)數(shù)據(jù)變化較平緩時(shí)，距離d可以大一些，如果數(shù)據(jù)變化較快，應(yīng)當(dāng)縮小間距。

由于高斯函數(shù)和希爾伏寧函數(shù)以距離的平方為變量，其函數(shù)值隨距離的增大而迅速減小;根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式［7］

可見這兩個(gè)函數(shù)所表現(xiàn)出的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相關(guān)性隨距離的增大而迅速減弱，而似高斯函數(shù)以距離為變量，函數(shù)值的變化相對就比較緩和。因此當(dāng)經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)與實(shí)際的逼近場比較符合時(shí)，它就能較好地反映各數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相關(guān)性。

4 算例分析

為了分析協(xié)方差函數(shù)的選擇對最小二乘配置的影響，選取某地航測GPS控制網(wǎng)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行GPS高程擬合計(jì)算［8］。共收集該測區(qū)內(nèi)112個(gè)GPS、水準(zhǔn)重合點(diǎn)，GPS采用E級施測，水準(zhǔn)采用四等水準(zhǔn)測量施測。根據(jù)GPS大地高、四等水準(zhǔn)計(jì)算出的高程異常繪制該區(qū)域的高程異常等值線圖如圖1所示。從圖1可以看出，該區(qū)域高程異常分布比較平緩，故采用平面擬合模型。

圖1 高程異常等值線Fig.1 Isolines of height anomaly

4.1 不同協(xié)方差函數(shù)對擬合結(jié)果的影響

為了能夠檢核擬合的效果，選取均勻分布的87個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余25個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)進(jìn)行整體擬合。

首先采用普通最小二乘(LS)進(jìn)行高程擬合，對得到的殘差按0.01 m間隔統(tǒng)計(jì)各間隔出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，對應(yīng)的直方圖見圖2。

圖2 擬合點(diǎn)殘差分布Fig.2 Distribution of fitting points errors

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，普通最小二乘的擬合殘差不符合正態(tài)分布，說明擬合殘差中不僅包含各種偶然誤差，還包含由于擬合模型不準(zhǔn)確造成的模型誤差。

使用普通最小二乘擬合剔除趨勢項(xiàng)后，再根據(jù)式(11)計(jì)算不同間隔d的協(xié)方差C(d)。選取式(8)、(9)、(10)3種不同的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)擬合，求得的待定系數(shù)見表1。

根據(jù)擬合得到的協(xié)方差函數(shù)，計(jì)算擬合點(diǎn)信號協(xié)方差陣 DX，擬合點(diǎn)與檢核點(diǎn)的方差協(xié)方差陣DX'X。利用最小二乘配置理論重新計(jì)算傾向參數(shù)和信號的估值S和S'。根據(jù)擬合方程計(jì)算擬合點(diǎn)的高程異常，并與理論的高程異常比較，得到的擬合點(diǎn)和檢核點(diǎn)的擬合殘差見圖3和圖4。

表1 各經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的待定系數(shù)Tab.1 Undetermined coefficients of experient covariance function

其中信號方差C(0)=28.364×10-5m2。

圖3 擬合點(diǎn)擬合殘差Fig.3 Fitting errors of fitting points

圖4 檢核點(diǎn)擬合殘差Fig.4 Fitting errors of check points

同樣地，對得到的殘差按0.01 m間隔統(tǒng)計(jì)各間隔出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，對應(yīng)的直方圖見圖2。

內(nèi)符合精度根據(jù)式(7)計(jì)算，外符合精度根據(jù)檢核點(diǎn)的擬合殘差按

計(jì)算。式中v為擬合殘差，n為檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。表2列出了幾種不同平差方法的內(nèi)、外符合精度。

表2 內(nèi)、外符合精度比較表(單位：m)Tab.2 Comparison of inner and outer accuracies(unit：m)

從計(jì)算結(jié)果可以看出:

1)即使該測區(qū)地勢較為平坦，但運(yùn)用普通的平面擬合模型仍會含有較大模型誤差。由圖2可以看出，運(yùn)用最小二乘配置法處理后，模型誤差得到有效控制，擬合精度大幅提高。

2)以高斯(Gauss)函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)，內(nèi)符合精度較低，這主要是因?yàn)楦咚购瘮?shù)以距離的平方為變量，反映在圖像上，曲線變化較陡，不符合該地區(qū)高程異常的變形特點(diǎn)。

3)以希爾伏寧(Hirvonen)函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)時(shí)，雖然外部符合精度較高，但對個(gè)別點(diǎn)，推估值與己知值之差有時(shí)會出現(xiàn)較大的波動(dòng)，不太穩(wěn)定;但以似高斯函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)，其外部符合精度較高，較差也十分穩(wěn)定。

4)一般地，以似高斯函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)，不管是內(nèi)符合精度還是外符合精度，都可以得到較滿意的結(jié)果。

4.2 擬合點(diǎn)的分布對協(xié)方差函數(shù)及擬合結(jié)果的影響

為了分析擬合點(diǎn)的分布對協(xié)方差函數(shù)擬合的影響，作者根據(jù)點(diǎn)的分布分幾種情況選取其中50個(gè)非均勻分布的點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，以似高斯函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行擬合試算，并與采用87個(gè)均勻分布點(diǎn)的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果相似。表3列出了其中一種情況的擬合結(jié)果。

表3 協(xié)方差函數(shù)的待定系數(shù)及高程擬合精度(單位：m)Tab.3 Undetermined coefficients of covariance function and the fitting accuracy(unit：m)

可見，擬合點(diǎn)的分布對協(xié)方差函數(shù)的擬合有一定的影響，從而也影響最小二乘配置的擬合精度。從本算例來看，盡管協(xié)方差函數(shù)有所差別，但對最終結(jié)果的影響并不是很大，這說明協(xié)方差函數(shù)的擬合對擬合點(diǎn)分布的均勻性要求不是那么敏感，因此在實(shí)際選取協(xié)方差函數(shù)擬合點(diǎn)時(shí)，可以稍放寬要求。

5 結(jié)論

由于常規(guī)最小二乘擬合法不嚴(yán)密地將模型誤差歸入觀測誤差進(jìn)行處理，致使擬合后的殘差仍含有較大模型誤差。通過采用最小二乘配置法，將模型誤差作為具有先驗(yàn)性質(zhì)的信號處理，可以有效控制模型誤差對結(jié)果的影響［9］。協(xié)方差函數(shù)的確定直接影響最小二乘配置的結(jié)果。針對GPS高程擬合問題，通過比較分析不同協(xié)方差函數(shù)的計(jì)算結(jié)果得出:不同協(xié)方差函數(shù)對最小二乘配置法解算結(jié)果影響較大，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況選擇合適的協(xié)方差函數(shù)。在地勢較為平坦地區(qū)，以似高斯函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)時(shí)，不管是內(nèi)符合精度還是外符合精度，都可以得到較滿意的結(jié)果。

1 沙月進(jìn).最小二乘配置法在GPS高程擬合中的應(yīng)用［J］.測繪信息與工程，2000，(3):3-5.(Sha Yuejin.Application of the least square collocation in GPS height fitting［J］.Journal of Geomatics，2000，(3):3-5)

2 Moritz H.Least-squares collocation［J］.Reviews of Geophysies and Space Physics，1975，16:421-430.

3 Tseherning.Covariance expressions for second and lower order derivatives of the anomalous potential［R］.Dep of Geod Sci.，Ohio state University Columbus，1976.

4 周江文，王躍進(jìn).抗差擬合推估［A］.抗差估計(jì)論文集［C］.北京:測繪出版社，1992，69-75.(Zhou Jiangwen and Wang Yuejin.Robust fitting estimation［A］.Proceedings of Robust Estimation［C］.Beijing:Surveying and Mapping Press，1992，69-75)

5 楊元喜，等.四維整體大地測量的解算及其協(xié)方差函數(shù)的確定［J］.軍測科技，1990，(4):3-7.(Yang Yuanxi，et al.Procedure of four dimensional integrated geodesy and determination method of covariance function［J］.Technology of Military Surveying and Mapping，1990，(4):3-7)

6 張勤，張菊清，岳東杰.近代測量數(shù)據(jù)處理與應(yīng)用［M］.北京:測繪出版社，2011.(Zhang Qin，Zhang Juqing and Yue Dongjie.Modern measured data processing and application［M］.Beijing:Surveying and Mapping Press，2011)

7 劉念.擬合推估的質(zhì)量理論［D］.解放軍信息工程大學(xué)，2003.(Liu Nian.Quality theory of collocation［D］.The PLA Information Engineering University，2003)

8 李文林.GPS技術(shù)在航空攝影地面控制測量中應(yīng)用研究［D］.河海大學(xué)，2008.(Li Wenlin.Application of GPS techniques in ground control survey of aerial photogrammetry［D］.Hohai University，2008)

9 姚道榮，等.最小二乘配置與普通Kriging法的比較［J］.大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，(3):77-82.(Yao Daorong，et al.Comparison between least squares collocation and ordinary Kriging［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2008，(3):77-82)

STUDY ON EFFECT OF CHOICE OF COVARIANCE FUNCTION ON GPS HEIGHT FITTING ACCURACY

Li Chengren，Yue Dongjie and Jin Baoping
(Department of Surveying and Mapping Science and Engineering，Hohai University，Nanjing 210098)

The key of least square collocation method is to determine the covariance function of experience reasonably.On the basis of necessity of least square collocation in GPS height fitting，the principle of least square collocation is expounded，a priori variance-covariance estimation method is given，the effectiveness of least square collocation is analyzed by an example，the different covariance functions affecting fitting accuracy and the distribution of fitting points affecting covariance function and fitting accuracy are compared.Finally，the applicable conditions of some commonly used covariance function is summarized，and some instructional views in applications are given.

model errors;least square collocation;covariance function;GPS height fitting;fitting accuracy

1671-5942(2012)02-0082-04

2011-10-11

國家自然科學(xué)基金(51079053)

李成仁，男，1989年生，碩士研究生，研究方向:大地測量與測量工程專業(yè)，測繪數(shù)據(jù)處理.E-mail:lichengren1989@126.com

P207

A