田 亮 孫付平 李楚陽

(1)解放軍61363部隊，西安 710054 2)解放軍信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，鄭州450000)

基于GPS測站坐標(biāo)殘差序列的ARMA建模方法研究*

田 亮1)孫付平2)李楚陽1)

(1)解放軍61363部隊，西安 710054 2)解放軍信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，鄭州450000)

以GPS測站坐標(biāo)殘差序列為實驗對象，采用ARMA模型兩種經(jīng)典建模方法(Box-Jenkins方法和Pandit-Wu方法)進(jìn)行了建模擬合的比較與分析。實驗比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)殘差數(shù)據(jù)比較豐富時兩種建模方法擬合效果理想，無明顯差異，當(dāng)實驗數(shù)據(jù)較少時，Pandit-Wu方法擬合效果更好一些，剩余殘差振幅較Box-Jenkins方法減少約，且分布更加平穩(wěn)。

GPS;坐標(biāo)殘差;ARMA模型;時間序列分析;ITRF2008

1 引言

隨著各種空間定位技術(shù)的迅速發(fā)展與成熟，國際地球參考框架的精度和穩(wěn)定性取得了很大提高［1］。但是為了更加精確地描述地球表面各種毫米量級地球動力學(xué)變化，國際大地測量學(xué)界又提出了地心坐標(biāo)精度接近或達(dá)到1 mm的新目標(biāo)。要達(dá)到如此高的精度目標(biāo)，勢必對各種空間技術(shù)的觀測精度以及數(shù)據(jù)處理方法和模型提出了更高的要求。在這樣的背景下國際地球參考框架ITRF2008于2010年成功推出。該地球參考框架無論精度還是穩(wěn)定性方面都大大優(yōu)于以往的ITRF系列［2］。但是通過分析ITRF2008測站坐標(biāo)剩余殘差序列，發(fā)現(xiàn)依然包含許多周期性的誤差規(guī)律沒有進(jìn)行模型改正。本文曾對這些尚未模型改正的誤差規(guī)律進(jìn)行了建模擬合研究［3］，發(fā)現(xiàn)ARMA建模擬合效果明顯優(yōu)于三角函數(shù)法以及小波分析等擬合方法。因此本文對ARMA模型的不同建模方法做了進(jìn)一步比較研究，對常用的Box-Jenkins方法和Pandit-Wu方法進(jìn)行實驗比較與分析。

2 計算方法

ARMA模型定義為［4，5］

其中{εt}～WN(0，σ2)，p、q≥0為整數(shù)，(p，q)為模型的階數(shù)，記為{Xt}～ARMA(p，q)。

值得注意的是ARMA模型建模時要求時間序列必須為平穩(wěn)序列，但在實際測量中，時間序列往往包含一些非平穩(wěn)的趨勢項和周期項。為此在使用模型擬合前要先提取趨勢項和周期部分或者采用差分方法對時間序列進(jìn)行預(yù)處理，使其滿足平穩(wěn)性的要求。基于差分后的時間序列所建立的模型又稱為ARIMA模型，記為{Xt}～ARIMA(p，d，q)。

2.1 Box-Jenkins方法建模

經(jīng)數(shù)據(jù)預(yù)處理后殘差序列采用Box-Jenkins方法建模擬合，主要建模步驟如下:

1)殘差序列平穩(wěn)性(ADF)檢驗。確定殘差序列是否平穩(wěn)，如果殘差序列為非平穩(wěn)序列，則進(jìn)行差分處理。

2)模型識別。判斷殘差時間序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的形式，如果模型自相關(guān)函數(shù)拖尾，偏自相關(guān)函數(shù)截尾，采用AR模型;如果模型自相關(guān)函數(shù)截尾，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾，采用MA模型;如果兩者皆拖尾，采用ARMA模型。

3)模型定階采用AIC最小信息準(zhǔn)則。

4)模型參數(shù)估計采用非線性最小二乘估計方法。

5)模型的適應(yīng)性檢驗，即檢驗剩余殘差是否為白噪聲序列。

2.2 Pandit-Wu方法建模

具體建模步驟如下:

1)ADF檢驗。確定殘差序列是否平穩(wěn)，如果檢驗殘差序列為非平穩(wěn)序列，將進(jìn)行差分處理。

2)從n=1開始，逐漸增加模型階數(shù)，擬合ARMA(2n，2n-1)模型，依次為ARMA(2，1)、ARMA (4，3)、ARMA(6，5)…即以兩階為單位逐漸增加模型階數(shù)，直到F檢驗表明當(dāng)再增加模型階數(shù)時，剩余殘差平方和不再顯著減小為止。如果系統(tǒng)的確是階數(shù)為奇數(shù)的模型，那么擬合的較高階數(shù)為偶數(shù)的模型第2n個自回歸系數(shù)的絕對值必然接近于零。那么我們可以刪除這樣的小參數(shù)得到較低奇數(shù)階的模型。

3)模型適應(yīng)性檢驗。

4)求最優(yōu)模型。采用F檢驗判斷模型是否包含小參數(shù)，若有參數(shù)可以刪除，擬合較低階的模型，從而得到最優(yōu)模型。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

選取的實驗數(shù)據(jù)為ITRF2008解的衍生產(chǎn)品GPS測站坐標(biāo)殘差序列［6-8］，絕大部分GPS坐標(biāo)殘差序列包含了1997—2009年約12年的殘差數(shù)據(jù)，采樣間隔為7天，部分殘差序列存在間斷點或粗差。因此首先對選取的殘差序列進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，對于含有間斷點的殘差序列進(jìn)行插值擬合，存在粗差的情況，設(shè)定閾值(通過殘差文件中給出的formal error來判斷)進(jìn)行剔除。

3.2 實驗結(jié)果比較與分析

由于全球GPS測站坐標(biāo)殘差序列數(shù)據(jù)量非常大，受篇幅限制本文僅選取部分測站作為實驗對象，HOFN測站(64°N，164°W)數(shù)據(jù)累積豐富且觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量較高，沒有明顯的外部因素突發(fā)性影響，因此以HOFN測站坐標(biāo)殘差序列為實驗對象非常理想。

首先利用Box-Jenkins方法對HOFN測站坐標(biāo)殘差序列進(jìn)行建模擬合，定階準(zhǔn)則采用AIC信息準(zhǔn)則，階數(shù)選取如表1所示，實際建模效果如圖1～3所示。

表1 ARMA模型(Box-Jenkins方法)階數(shù)選取Tab.1 Selection of the order number with ARMA model (Box-Jenkins)

利用Pandit-Wu方法建模階數(shù)選取如表2所示，實際建模效果如圖4～6所示。

通過觀察擬合圖和剩余殘差圖可以發(fā)現(xiàn)，兩種建模方法的擬合效果都比較理想，沒有顯著差異。細(xì)微來看Pandit-Wu方法擬合后剩余殘差振幅比Box-Jenkins方法稍小，但是效果不明顯。為了進(jìn)一步區(qū)分比較兩種方法，對上述實驗進(jìn)行改動，實驗數(shù)據(jù)截取一半即選取HOFN測站殘差序列5年的殘差數(shù)據(jù)(1997—2001年的時間序列)作為實驗對象，采用上述兩種方法進(jìn)行建模擬合比較。擬合效果如圖7～9所示。

表2 ARMA模型(Pandit-Wu方法)階數(shù)選取Tab.2 Selection of the order number of ARMA model (Pandit-Wu)

圖1 垂向擬合結(jié)果Fig.1 Vertical fitting results with Box-Jenkins method

圖2 東向擬合結(jié)果Fig.2 Eastward fitting results with Box-Jenkins method

圖3 北向擬合結(jié)果Fig.3 Northward fitting results with Box-Jenkins method

圖4 垂向擬合結(jié)果Fig.4 Vertical fitting results with Pandit-Wu method

圖5 東向擬合結(jié)果Fig.5 Eastward fitting results with Pandit-Wu method

圖6 北向擬合結(jié)果Fig.6 Northward fitting results with Pandit-Wu method

圖7 垂向擬合剩余殘差比較Fig.7 Comparison between the residuals after vertical fitting with the two methods

圖8 北向擬合剩余殘差比較Fig.8 Comparison between residuals after northward fitting with the two methods

通過3個方向的剩余殘差圖比較可以發(fā)現(xiàn)，兩種建模方法在實驗數(shù)據(jù)減少一半的情況下擬合結(jié)果出現(xiàn)了較大差別:Pandit-Wu方法擬合后垂向剩余殘差振幅在 6 mm左右，Box-Jenkins方法達(dá)到了10mm;Pandit-Wu方法擬合后殘差分布仍然無明顯周期性振動規(guī)律，而Box-Jenkins方法擬合剩余殘差明顯存在一定的周期性振動規(guī)律。東向和北向剩余殘差經(jīng)Pandit-Wu方法擬合后振幅在2mm左右，Box-Jenkins方法達(dá)到了3 mm。由此可見Pandit-Wu方法的擬合效果優(yōu)于Box-Jenkins方法。

圖9 東向擬合剩余殘差比較Fig.9 Comparison between residuals after eastward fitting with the two methods

之所以Pandit-Wu方法擬合效果更加理想，從原理上分析主要是因為Box-Jenkins建模方法是以時間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計特性為依據(jù)，但是在建模之前我們并不知道時間序列的理論自相關(guān)函數(shù)，而是用樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)來近似，因此不可避免地會產(chǎn)生誤差。尤其是當(dāng)采樣數(shù)據(jù)較少時，樣本無法完全代表總體殘差分布，誤差將不可避免。而Pandit-Wu方法無需了解殘差序列特性，只需要逐漸增加模型階數(shù)，直到剩余殘差平方和不再顯著減小為止?？梢娫跓o法預(yù)知樣本內(nèi)部信息的前提下，Pandit-Wu方法更加方便可靠。

5 結(jié)束語

通過對GPS測站坐標(biāo)殘差序列采用ARMA兩種經(jīng)典建模方法進(jìn)行建模比較發(fā)現(xiàn)，Pandit-Wu方法的建模效果無論是在數(shù)據(jù)豐富還是缺乏時都能保持得很好，采用該法對剩余殘差序列進(jìn)行建模擬合對于進(jìn)一步提高測站地心坐標(biāo)精度，提高國際地球參考框架的精度和穩(wěn)定性有重要意義。

1 陳俊勇.大地坐標(biāo)框架理論和實踐的進(jìn)展［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2007，(1):1-6.(Chen Junyong.Progress in theory and practice for geodetic reference coordinate frame［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007，(1):1-6)

2 黃立人.地殼運動的參考框架［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2002，(3):102-108.(Huang Liren.The reference frame of earth deformation［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2002，(3):102-108)

3 田亮，等.GPS測站坐標(biāo)非線性變化研究方法的比較與分析［J］.測繪工程，2011，20(2):27-29.(Tian Liang，et al.Comparative analysis of studying on GPS station non-linear variation［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2011，20(2):27-29)

4 王振龍，胡永宏.應(yīng)用時間序列分析［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.(Wang Zhenlong and Hu Yonghong.The application of time series analysis［M］.Beijing:Science Press， 2007)

5 陳杰.MATLAB寶典［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2006.(Chen Jie.MATLAB canon［M］.Beijing:Electronics Industry Press，2006)

6 http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2008/ITRF2008.php，2010.

7 http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2008/doc/ ITRF2008_GPS.SSC.txt，2010.

8 Dennis D and McCarthy D D(eds.).IERS Conventions (2003)，IERS Technical Note No.32，2003.

STUDY ON ARMA MODEL BASED ON GPS STATION COORDINATE RESIDUAL SERIES

Tian Liang1)，Sun Fuping2)and Li Chuyang1)

(1)61363 Troops of PLA，Xi’an 710054 2)PLA Information Engineering University，Zhengzhou 450000)

As to GPS station coordinate residuals，we used two classical ARMA modeling methods(Box-Jenkins method and Pandit-Wu method)to fit the GPS station coordinate residuals，and made comparative study.According to the experiment，we found out that the two methods have a little difference while there is abundant data.If the data is poor，with the Pandit-Wu method the results will be better.The amplitude of residuals reduces aboutand the distribution is more uniform.

GPS;coordinate residuals;ARMA model;time series analysis;ITRF2008

1671-5942(2012)02-0124-04

2011-11-30

國家自然科學(xué)基金(41074011)

田亮，1987年生，工學(xué)碩士，助理工程師，主要研究方向為空間大地測量.E-mail:tl200431610237@126.com

P207

A