宮 娟，陳宗煊

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

關(guān)于二階線性微分方程解的增長(zhǎng)性

宮 娟，陳宗煊*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

研究了二階微分方程f″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0和f″+(A1(z)P(ez)+D1(z))f′+(A0(z)Q(ez)+D0(z))f=0解的增長(zhǎng)性，其中P(ez)與Q(ez)是ez的非常數(shù)多項(xiàng)式，它們的常數(shù)項(xiàng)都為零，且次數(shù)不相等.證明了該方程的每個(gè)非零解有無(wú)窮級(jí).

微分方程; 整函數(shù); 增長(zhǎng)級(jí)

1 引言與結(jié)果

本文所涉及的亞純函數(shù)的值分布的基本理論和標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)見(jiàn)文獻(xiàn)[1]-[3]， 并用σ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長(zhǎng)級(jí).

考慮微分方程

f″+e-zf′+Q(z)f=0

(1)

解的增長(zhǎng)級(jí)問(wèn)題，其中Q(z)是有限級(jí)整函數(shù).

眾所周知，方程(1)的每個(gè)解都是整函數(shù)，而且如果f1和f2是方程(1)的任意2個(gè)線性無(wú)關(guān)解，那么至少有一個(gè)具有無(wú)窮級(jí)[4]，所以方程(1)的“大多數(shù)”解具有無(wú)窮級(jí).

一個(gè)很自然的問(wèn)題是：當(dāng)Q(z)滿足什么條件時(shí)，能保證方程(1)的每個(gè)解具有無(wú)窮級(jí)？

文獻(xiàn)[5]證明了

定理A 假設(shè)C(≠0)是復(fù)常數(shù)，如果方程

f″+e-zf′+Cf=0

(2)

具有有限級(jí)非零解，那么C=-k2,其中k是一個(gè)正整數(shù)，反過(guò)來(lái)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k,方程(2) (其中C=-k2)具有關(guān)于ez的k次多項(xiàng)式解f.

文獻(xiàn)[6]-[8]研究了Q(z)是特殊多項(xiàng)式的情況，文獻(xiàn)[9]對(duì)于Q(z)是一般多項(xiàng)式的情況證明了

定理B[9]假設(shè)Q(z)是非常數(shù)多項(xiàng)式，D是非零常數(shù)，那么方程

f″+De-zf′+Q(z)f=0

(3)

的所有非零解具有無(wú)窮級(jí).

對(duì)于Q(z)是超越整函數(shù)的情況,有

定理C[8]假設(shè)Q(z)是超越整函數(shù)且級(jí)σ(Q)≠1,那么方程(1)的每個(gè)非零解具有無(wú)窮級(jí).

定理C表明當(dāng)σ(Q)=1時(shí)，方程(1)可能有有限級(jí)解，繼續(xù)深入考慮這個(gè)問(wèn)題：當(dāng)σ(Q)=1時(shí)，滿足什么條件，將保證方程(1)的每個(gè)非零解有無(wú)窮級(jí)？對(duì)于更一般的問(wèn)題，有

定理D[10]假設(shè)Aj(z) (?0;j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1,a,b是復(fù)常數(shù)，滿足ab≠0和a=cb(c>1)，那么方程

f″+A1(z)eazf′+A0(z)ebzf=0

(4)

的所有非零解具有無(wú)窮級(jí).

定理E[10]假設(shè)Aj(z) (?0),Dj(z)(j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1,σ(Dj)<1,a,b是復(fù)常數(shù)，滿足ab≠0和arga≠argb或a=cb(0

f″+(A1eaz+D1)f′+(A0ebz+D0)f=0

(5)

的每個(gè)非零解具有無(wú)窮級(jí).

定理D和定理E大大推廣和完善了文獻(xiàn)[6]-[9]的結(jié)果.

定理1 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez，Q(ez)=bnenz+bn-1e(n-1)z+…+b1ez，其中aj(j=1,…,m),bk(k=1,…,n)是常數(shù)，且ambn≠0,m,n≥1,m>n,Aj(z) (?0;j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1.那么方程

f″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0

(6)

的所有非零解具有無(wú)窮級(jí).

定理2 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez，Q(ez)=bnenz+bn-1e(n-1)z+…+b1ez，其中aj(j=1,…,m),bk(k=1,…,n)是常數(shù)，且ambn≠0,m,n≥1,m

f″+(A1P(ez)+D1)f′+(A0Q(ez)+D0)f=0

(7)

的每個(gè)非零解具有無(wú)窮級(jí).

從定理1和定理2推導(dǎo)下面的推論：

本文通過(guò)對(duì)硅質(zhì)巖主量元素、微量元素和稀土元素的研究，分析該區(qū)硅質(zhì)巖的沉積環(huán)境及其與成礦作用的關(guān)系，對(duì)把握正確的找礦方向具有重要意義。

推論1 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez，Q(ez)=bnenz+bn-1e(n-1)z+…+b1ez，其中aj(j=1,…,m),bk(k=1,…,n)是常數(shù)，且ambn≠0(m,n≥1)，Aj(z) (?0;j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1.若m≠n, 則方程(6)的所有非零解有無(wú)窮級(jí).

2 引理和注

注1 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez,其中am,…,a1是常數(shù)，m≥1是整數(shù)，am≠0,由上面P(ez)的定義，能得到

|P(ez)|=|am|emrcos θ(1+o(1))

其中M(>0)是某常數(shù).

引理1[10]假設(shè)P(z)=(α+iβ)zn+… (α,β是實(shí)數(shù)，|α|+|β|≠0) 是多項(xiàng)式且次數(shù)n≥1,A(z)(? 0)是整函數(shù)且σ(A)0, 存在集合H1?[0,2),其線測(cè)度為零，滿足對(duì)任意θ[0,2)(H1∪H2), 存在R>0, 使得對(duì)|z|=r>R, 有

(i)如果δ(P,θ)>0, 那么

exp{(1-ε)δ(P,θ)rn}<|g(reiθ)|<

exp{(1+ε)δ(P,θ)rn},

(8)

(ii)如果δ(P,θ)<0, 那么

exp{(1+ε)δ(P,θ)rn}<|g(reiθ)|<

exp{(1-ε)δ(P,θ)rn},

(9)

由引理1和注1容易得到下面的引理2.

(i)如果cosθ>0,那么

exp{(1-ε)mrcosθ}(1+o(1))≤|g(reiθ)|≤

exp{(1+ε)mrcosθ}(1+o(1)),

(10)

(ii)如果cosθ<0,那么

|g(reiθ)|≤Rexp{rcosθ+rσ(A)+ε},

(11)

引理3[11]設(shè)f(z) 是整函數(shù)，|f(k)(z)|在某射線argz=θ上是無(wú)界的，那么存在一無(wú)窮點(diǎn)列zn=rneiθ(n=1,2,…), 其中rn→∞,滿足f(k)(zn)→∞和

(12)

引理4[12]假設(shè)f是超越亞純函數(shù)且σ(f)=σ<∞,H={(k1,j1), (k2,j2),…, (kq,jq)}是一個(gè)不同整數(shù)對(duì)的有限集，且滿足ki>ji≥0 (i= 1,2,…,q), 假設(shè)ε>0是一任意給定常數(shù)，那么存在一線測(cè)度為零的集合E?[0,2), 滿足：若ψ[0,2)E, 則存在常數(shù)R0=R0(ψ)>1, 滿足對(duì)所有滿足argz=ψ和|z|≥R0的z，對(duì)所有(k,j)H，有

(13)

引理5[13]假設(shè)f(z)是一整函數(shù)且σ(f)=σ<∞,假設(shè)存在子集E?[0,2)具有線測(cè)度零，滿足對(duì)任意射線argz=θ0[0,2)E,

|f(reiθ0)|≤Mrk,

其中M=M(θ0)>0是一常數(shù)，k(>0)是一與θ0無(wú)關(guān)的常數(shù)，則f(z)是一多項(xiàng)式且degf≤k.

3 定理1 的證明

假設(shè)f(z)(?0)是式(6)的超越解且σ(f)=σ<∞.由引理4和注2可知，對(duì)任給ε>0,滿足

(14)

(15)

(i)如果cosθ<0,那么

|A1(reiθ)P(ereiθ)|≤Nexp{rcosθ+rσ1+ε},

|A0(reiθ)Q(ereiθ)|≤Nexp{rcosθ+rσ0+ε};

(16)

(ii) 如果cosθ>0,那么

|A1(reiθ)P(ereiθ)|≥exp{(1-ε)mrcosθ}(1+o(1)),

|A0(reiθ)Q(ereiθ)|≤exp{(1+ε)nrcosθ}(1+o(1));

(17)

其中N>0是常數(shù)，σ1=σ(A1),σ0=σ(A0).

情形1 cosθ<0.由式(6)，得到

(18)

如果|f″(reiθ)|在射線argz=θ上是無(wú)界的，那么由引理3,存在一無(wú)窮點(diǎn)列{zt=rteiθ},其中rt→∞滿足f″(zt)→∞和

(19)

將式(16)和(19)代入式(18)，得到: 當(dāng)t→∞時(shí)，

這是一個(gè)矛盾.所以

|f″(reiθ)|≤M1

(20)

在argz=θ上成立，其中M1>0是常數(shù).取積分路線Γ={s: args=θ,0≤|s|≤|z|}, 由式(20)和

得到

|f′(z)|≤M2|z|,

(21)

其中M2>0是常數(shù).類似地，由式(21)得到在射線argz=θ上，|f(z)|≤M|z|2(M>0是常數(shù)).

情形2 cosθ>0.由式(6)，得到

(22)

如果|f′(reiθ)|在射線argz=θ上是無(wú)界的，那么由引理3,存在一無(wú)窮點(diǎn)列{zt=rteiθ},其中rt→∞滿足f′(zt)→∞和

(23)

將式(15)、(17)、(23)代入式(22)，得到: 當(dāng)rt→∞時(shí)，

exp{(1-ε)mrtcosθ}(1+o(1))≤

nrtcosθ}(1+o(1)),

(24)

由式(14)、(24)，得到

(25)

由于cosθ>0，可知當(dāng)rt→∞,式(25)是一個(gè)矛盾.所以在射線argz=θ上

|f′(reiθ)|≤M

(26)

成立.使用如同上面相同的理由，得到在射線argz=θ上|f(z)|≤M|z|2成立.

exp{(1-ε)mrcosθ}rk-1(1+o(1))≤

|A1(reiθ)P(ereiθ)f′(reiθ)|≤

|f″(reiθ)|+|A0(reiθ)Q(ereiθ)f(reiθ)|≤

r2kexp{(1+ε)nrcosθ}(1+o(1)),

由Q(ez)?0,可知f不可能為非零常數(shù).所以式(6)的每個(gè)非零解具有無(wú)窮級(jí).

4 定理2 的證明

使用類似定理1的證明方法，可以證明式(7)不可能有非零多項(xiàng)式解.

下面假設(shè)f(z)(?0)是式(7)的超越解且σ(f)=σ<∞.由引理4，對(duì)任給ε(0<2ε<1-σ(D1)),存在集合E1?[0,2)有線測(cè)度零，如果θ[0,2)E1，那么存在常數(shù)R0=R0(θ)>1,使得對(duì)所有滿足argz=θ和|z|=r≥R0的z，

(27)

|A0(reiθ)Q(ereiθ)+D0(reiθ)|≥

exp{(1-ε)nrcosθ}(1+o(1)),

(28)

|A1(reiθ)P(ereiθ)+D1(reiθ)|≤

exp{(1+ε)mrcosθ}(1+o(1)).

(29)

由式(7)、(27)、(28)、(29)得到

exp{(1-ε)nrcosθ}(1+o(1))≤|A0Q(ez)+D0|≤

2r2(σ-1+ε)exp{(1+ε)mrcosθ}(1+o(1)).

(30)

exp{(m+n)εrcosθ}≤4r2(σ-1+ε).

這是一個(gè)矛盾，定理2證畢.

[1] HAYMAN W. Meromorphic functions[M].Oxford: Cl-arendon Press, 1964.

[2] 楊樂(lè). 值分布論及其新研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1982.

[3] LAINE I. Nevanlinna theory and complex differential equations[M]. Berlin: W de Gruyter, 1993.

[4] HILLE E. Ordinary differential equations in the complex domain[M].New York: Wiley,1976.

[5] FREI M. Uber die subnormalen losungen der differentialgleichungw″+e-zw′+(konst.)w=0[J]. Comment Math Helv, 1962, 36: 1-8.

[6] OZAWA M. On a solution ofw″+e-zw′+(az+b)w=0[J]. Kodai Manth, 1980, 3: 295-309.

[7] AMEMIYA I, OZAWA M. Non-existence of finite order solutions ofw″+e-zw′+Q(z)w=0[J]. Hokkaido Math, 1981, 10: 1-17.

[8] GUNDERSEN G. On the question of whetherf″+e-zf′+B(z)f=0 can admit a solutionf?0 of finite order[J]. Proc RSE, 1986, 102A:9-17.

[9] LANGLEY J K. On complex oscillation and a problem of Ozawa[J]. Kodai Math, 1986, 9:430-439.

[10] 陳宗煊. 微分方程f″+e-zf′+Q(z)f=0解的增長(zhǎng)性[J]. 中國(guó)科學(xué):A 輯, 2001, 31(9): 775-784.

[11] GUNDERSEN G. Finite order solutions of second order linear differential equations[J]. Trans Amer Math Soc, 1988, 305: 415-429.

[12] GUNDERSEN G. Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function, plus similar estimates[J]. London Math Soc, 1988, 37 (2): 88-104.

[13] CHEN Zongxuan. On the growth of solutions of a class of higher order differential equations[J]. Chin Ann of Math, 2003,24B(4): 501-508.

Keywords： differential equation; entire function; order of growth

OntheGrowthofSolutionsofSecondOrderLinearDifferentialEquations

GONG Juan, CHEN Zongxuan*

(School of Mathematics，South China Normal University，Guangzhou 510631,China)

The growth of solutions of the differential equationsf″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0 andf″+(A1P(ez)+D1(z))f′+(A0Q(ez)+D0(z))f=0 is investigated, whereP(ez)andQ(ez)are nonconstant polynomials without constant term, and degPis not equal to degQ. It is showed that the order of growth of each nonzero solution of the above equations is infinite.

2010-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871076)

*通訊作者，chzx@vip.sina.com

1000-5463(2012)01-0029-04

O175.29

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】