孫大為，劉佳瑞

(河南工業(yè)大學(xué)，河南 鄭州 450001)

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中思考與創(chuàng)新能力培養(yǎng)探討*

孫大為，劉佳瑞

(河南工業(yè)大學(xué)，河南 鄭州 450001)

大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，是人類長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)自然界的觀察與思考后總結(jié)提煉出的升華，本文探討了把這些內(nèi)容貫穿在本科生教學(xué)中，對(duì)學(xué)生思考與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)做了有益的嘗試.

大學(xué)數(shù)學(xué);創(chuàng)新能力;探討

大學(xué)數(shù)學(xué)包含了微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)物理方程、復(fù)變函數(shù)等，課程較多，內(nèi)容豐富，是各專業(yè)的最重要基礎(chǔ)課之一，是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的重要工具，大學(xué)生應(yīng)該高度重視并認(rèn)真努力學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué).但是很多學(xué)生反映大學(xué)數(shù)學(xué)很抽象，學(xué)起來(lái)比較吃力，往往通過(guò)死記硬背，暫時(shí)記住一些定理與例題，并沒(méi)有理解其思想與精髓，考試后全忘記得一干二凈，這與我們學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的目的相悖，希望通過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考與創(chuàng)新能力更是無(wú)從談起.這就需要我們仔細(xì)分析大學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、前瞻性來(lái)引導(dǎo)學(xué)生們獨(dú)立思考，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力，逐步具有提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

1 加強(qiáng)數(shù)學(xué)史教育，激發(fā)學(xué)生興趣

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生來(lái)源于人類長(zhǎng)期的生活實(shí)踐，其發(fā)展就是人類認(rèn)識(shí)世界改造世界的歷史.我國(guó)數(shù)學(xué)歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，早在漢代就有《算數(shù)書》、《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等數(shù)學(xué)著作，宋元時(shí)期達(dá)到了一個(gè)高潮出現(xiàn)了《數(shù)書九章》、《楊輝算法》等，涌現(xiàn)了劉徽、祖沖之、楊輝等一批著名的數(shù)學(xué)家，較早的提出了勾股定理、圓周率的計(jì)算、線性方程組的解法等一大批數(shù)學(xué)成果，清朝更是涌現(xiàn)了與英國(guó)牛頓、日本關(guān)孝和齊名的大數(shù)學(xué)家梅文鼎，為近代科學(xué)在中國(guó)的傳播和發(fā)展作出了開創(chuàng)性貢的獻(xiàn)李善蘭、華蘅芳等一批承前啟后、橫貫中西的數(shù)學(xué)家，他們的著作《平三角舉要》、《弧三角舉要》、《幾何補(bǔ)編》、《幾何通解》《數(shù)理精蘊(yùn)》等揭示了我國(guó)也會(huì)運(yùn)用自己獨(dú)特的數(shù)學(xué)思想創(chuàng)立中國(guó)式的“微積分”.近代我國(guó)又有在解析數(shù)論、典型群、自守函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論等廣泛數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的都作出卓越貢獻(xiàn)的華羅庚、在整體微分幾何上的卓越貢獻(xiàn)，影響了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展，被楊振寧譽(yù)為繼歐幾里德、高斯、黎曼、嘉當(dāng)之后又一里程碑式的人物陳省身、在哥德巴赫猜想方面取得迄今為止世界上最好結(jié)果的陳景潤(rùn)、中國(guó)現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)研究的開拓者馮康等等，說(shuō)明我國(guó)數(shù)學(xué)從古代到現(xiàn)代都取得了令人矚目的偉大成就，極大的增強(qiáng)了學(xué)生的自豪感.

在學(xué)習(xí)極限內(nèi)容時(shí)，高中已經(jīng)學(xué)過(guò)部分?jǐn)?shù)列求極限的方法，但對(duì)于“ε－δ”語(yǔ)言，仍相當(dāng)吃力，從歷史上《莊子·天下篇》中記載的:“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”、劉徽的割圓術(shù)、無(wú)理數(shù)的引入、以及芝諾的飛矢不動(dòng)悖論引發(fā)數(shù)學(xué)危機(jī)以及數(shù)學(xué)家柯西、魏爾斯特拉斯、波爾查諾、戴德金等如何做出種種努力來(lái)克服這次危機(jī)的介紹，展示了人們對(duì)于極限概念的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一段漫長(zhǎng)的過(guò)程，從最初時(shí)期樸素、直觀的極限觀演變成為近代嚴(yán)格的極限理論，為正確理解微積分打下了嚴(yán)格的基礎(chǔ).

2 深刻理解數(shù)學(xué)概念與內(nèi)涵，打好堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

我們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分的時(shí)候，比如我們學(xué)習(xí)積分理論時(shí)，就要思考積分是怎么來(lái)的，為什么要去學(xué)習(xí)積分.我們可以從測(cè)量的角度來(lái)理解，比如我們要計(jì)算一塊土地的面積，如果是正方形、長(zhǎng)方形我們很容易計(jì)算，梯形的我們也能計(jì)算，但是稍微復(fù)雜一些的怎么辦呢?比如我們國(guó)家的面積是960萬(wàn)平方公里，這個(gè)數(shù)字是如何測(cè)出來(lái)的?現(xiàn)在的房屋面積，如果陽(yáng)臺(tái)是不規(guī)則的，怎么樣計(jì)算陽(yáng)臺(tái)面積?要計(jì)算一個(gè)邊界不規(guī)則的多邊形的面積，我們的先輩最初就是把他們分成最簡(jiǎn)單的能計(jì)算的小塊再求和來(lái)計(jì)算其面積，這樣算出來(lái)面積“差不多”是不規(guī)則多變形的面積，所以我們有了先分割再求和的這種自然而然的想法，那么我們順利成章的引入了積分的定義.但是，是不是每個(gè)圖形(曲線)都能這樣分割再求和而得到一個(gè)具體數(shù)呢，稍微思考一下覺得應(yīng)該不是怎樣的，比如我們計(jì)算海岸線的長(zhǎng)度，如果那么分割越細(xì)，此和將趨向于無(wú)窮，發(fā)生這種有悖于常識(shí)的情況是因?yàn)槲覀兒０毒€一般來(lái)說(shuō)是處處不可導(dǎo)的，所以我們一般考慮光滑的函數(shù)在有界區(qū)域上的積分，理解了這些基本概念與想法，在學(xué)習(xí)積分定義時(shí)就會(huì)比較輕松.

3 通過(guò)問(wèn)題啟發(fā)獨(dú)立思考能力

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò):“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.好的數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著巨大的推動(dòng)作用，一個(gè)很有意義的問(wèn)題的解決，在其中投入的巨大努力，以及從中獲得的真知灼見，可能打開一扇新學(xué)科的大門，甚至開辟科學(xué)的新紀(jì)元.

從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來(lái)看，也恰恰印證了這一點(diǎn).20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了一次著名演講，還提出了涉及數(shù)理邏輯、幾何、數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)渲?3個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題都是當(dāng)時(shí)各個(gè)分支懸而未決的數(shù)學(xué)難題，20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展相當(dāng)一部分就是在不斷的為解決這些難題而不斷探索，對(duì)其他學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展也起到了極大的推動(dòng)作用.由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出“費(fèi)馬定理”:“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的.”但經(jīng)過(guò)三百多年的努力，這個(gè)數(shù)論難題才由狄利克雷和勒讓德、聯(lián)邦德國(guó)數(shù)學(xué)家伐爾廷斯和普林斯頓大學(xué)英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯最終證明.證明利用了包括橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數(shù)等種種高深數(shù)學(xué)理論，費(fèi)馬問(wèn)題的解決也極大地促進(jìn)了橢圓曲線以及現(xiàn)代密碼理論的發(fā)展.1904年法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊提出了如下一個(gè)被后人稱為’龐加萊猜想”的世紀(jì)難題“任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚.”這本是一個(gè)拓?fù)鋯?wèn)題，美國(guó)數(shù)學(xué)家史提芬·斯梅爾證明了五維以上的龐加萊猜想，但對(duì)于低維的卻遲遲未能解決，但最終的解決卻由俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼運(yùn)用了理查德·漢密爾頓引入的“RICI流”這一幾何分析方法，這一方面促進(jìn)了幾何分析學(xué)發(fā)展，另一方面對(duì)低維拓?fù)涞陌l(fā)展也起到了革命性的作用.

問(wèn)題意識(shí)是思維的動(dòng)力，恰當(dāng)?shù)靥岢鰡?wèn)題，能引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，不斷探索.在學(xué)完導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時(shí)，作者提出了如下問(wèn)題問(wèn)為什么學(xué)了高階導(dǎo)數(shù)而沒(méi)有講高階微分?學(xué)習(xí)了求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，為什么沒(méi)有一點(diǎn)五階導(dǎo)數(shù)，可以自然地引起同學(xué)們的思考，可以思考微分與導(dǎo)數(shù)的定義與差別，為以后學(xué)習(xí)微分形式、分析幾何奠定了基礎(chǔ).利用數(shù)學(xué)歸納法求解部分行列式或者進(jìn)行不等式的證明時(shí)，可以引入如下問(wèn)題:上述傳統(tǒng)的歸納法都是針對(duì)離散對(duì)象的，對(duì)連續(xù)情形有沒(méi)有類似的歸納法?通過(guò)這些問(wèn)題的設(shè)置，激發(fā)起學(xué)生的求知欲望和好奇，逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考不斷發(fā)現(xiàn)不斷探索的能力.

4 加強(qiáng)動(dòng)手能力

數(shù)學(xué)本身是一門邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性都很強(qiáng)的科學(xué)，它要求我們每一步都必須嚴(yán)格而準(zhǔn)確，有了興趣和愿意思考是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步，我們?nèi)孕枘_踏實(shí)地踏踏實(shí)實(shí)的推理和演算，逐步培養(yǎng)我們邏輯思維能力.我們從斜率與速度了解了導(dǎo)數(shù)、從線性方程組了解到行列式及矩陣運(yùn)算以后，只記住一些性質(zhì)定理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要想熟練掌握相關(guān)內(nèi)容就需要在下面認(rèn)真仔細(xì)地練習(xí)，避免眼高手低.特別是多元函數(shù)求偏導(dǎo)很容易忽略某些項(xiàng)而導(dǎo)致最終計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤，行列式的計(jì)算以及求逆矩陣等內(nèi)容更是在計(jì)算中一不小心就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這就要求我們既要會(huì)算，更要認(rèn)認(rèn)真真仔仔細(xì)細(xì)地計(jì)算.偉大的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)給出如下公式:假如每點(diǎn)，每一方向上曲率都等于α，那么這個(gè)常曲率流形的線元可表示為:

這就是黎曼在就職演說(shuō)中的唯一公式，發(fā)展了高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)思想，在幾何學(xué)歷史上有具有重大的意義.但是其構(gòu)造確實(shí)需要大量的耐心細(xì)致地演算.

5 正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想學(xué)會(huì)分析問(wèn)題解決實(shí)際問(wèn)題能力

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課大多是偏重理論講授，幾乎以定義、定理、證明、例題來(lái)行文，我們不但要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，更要會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)解決我們碰到的實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)最核心的思想就是從紛繁復(fù)雜的世界中提煉出最有用的信息，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的化成曾經(jīng)解決過(guò)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.比如我們學(xué)習(xí)高階微分方程時(shí)，通常是降階，把它化成低階的能計(jì)算的類型來(lái)處理，計(jì)算行列式的時(shí)候，如果完全按照定義，那么對(duì)稍微高階(比如20階)的行列式計(jì)算都不太現(xiàn)實(shí)，我們都是通過(guò)行變換或者列變換把它化成低階行列式進(jìn)行計(jì)算.

宏觀的天體運(yùn)行、火箭發(fā)射以及微觀的分子間運(yùn)動(dòng)、與我們實(shí)際生活聯(lián)系緊密的道路交通優(yōu)化問(wèn)題、證券投資收益問(wèn)題、人口演化、企業(yè)管理問(wèn)題等問(wèn)題都有數(shù)學(xué)相應(yīng)的理論作為支撐.自諾貝爾設(shè)立經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)以來(lái)，越來(lái)越多的經(jīng)濟(jì)學(xué)家以數(shù)學(xué)作為主要的工具，并且涌現(xiàn)了納什一批數(shù)學(xué)家為代表的諾貝爾獎(jiǎng)獲得者，這恰恰說(shuō)明我們?nèi)绻芮‘?dāng)?shù)卣_地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，將極大的提高解決實(shí)際問(wèn)題能力.

6 措施

(1)加強(qiáng)師資隊(duì)伍建設(shè).注重提高數(shù)學(xué)教師群體科研水平，通過(guò)科研水平來(lái)提高教師自身的素質(zhì).著名科學(xué)家、教育家錢偉長(zhǎng)曾指出“教師進(jìn)行教學(xué)工作是天職，但做好教學(xué)工作，必須進(jìn)行科研.因?yàn)榭茖W(xué)進(jìn)步很快，只有進(jìn)行科學(xué)研究的人，參加科學(xué)創(chuàng)新的人，才有條件理解創(chuàng)新精神，從而在教學(xué)工作中培養(yǎng)出有創(chuàng)新精神的人.”鼓勵(lì)學(xué)術(shù)交流，經(jīng)常性的參加名師精品課程培訓(xùn)，相互討論，交流心得，不斷吸取先進(jìn)的教學(xué)科研方法，從而帶動(dòng)整體水平的提升.

(2)加強(qiáng)優(yōu)質(zhì)教材的建設(shè).結(jié)合不同層次學(xué)校的實(shí)際需要，編著或者選用那些契合度高，難度適宜，學(xué)生理解更容易，應(yīng)用性更強(qiáng)的教材，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生接受數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué).

(3)加強(qiáng)考核方式建設(shè).針對(duì)不同類型、不同專業(yè)的學(xué)生，采取靈活的考核方式.改變定義、定理、習(xí)題這種傳統(tǒng)的枯燥的教學(xué)考核模式，采取分層教學(xué)、單獨(dú)考核、學(xué)生講課、學(xué)生出題等方式，解決學(xué)生接受能力差，考核太單一的弊病.

［1］馮振舉.數(shù)學(xué)史在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，8(6).

［2］徐永春，趙喜清，韓振芳.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探索與實(shí)踐［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(3).

［3］王有文，李瑞軍.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法作用的強(qiáng)化［J］.天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，30(2).

［4］邱學(xué)紹.微積分及其應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

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