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      Lorenz系統(tǒng)中的普適序列探究

      2012-11-22 03:29:51裴啟明長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院湖北荊州434023
      關(guān)鍵詞:龐加萊穩(wěn)定流切點(diǎn)

      裴啟明,蔣 龍 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

      Lorenz系統(tǒng)中的普適序列探究

      裴啟明,蔣 龍 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

      在內(nèi)分岔參數(shù)空間下,當(dāng)x*=2.0,25.3≤z*≤35.0時(shí),Lorenz系統(tǒng)出現(xiàn)了龐加萊映象僅在第一象限或第三象限的局域混沌。對其進(jìn)行符號(hào)動(dòng)力學(xué)分析,發(fā)現(xiàn)該混沌吸引子的龐加萊映象能被分割成2部分,必須建立2個(gè)字的符號(hào)動(dòng)力學(xué),從而找到了通常只能存在于單峰映射中的普適序列。

      Lorenz方程;符號(hào)動(dòng)力學(xué);普適序列

      符號(hào)動(dòng)力學(xué)是一種拓?fù)渑c數(shù)值相結(jié)合的研究方法,其基本思想為粗?;枋鯷1-2]。它起源于19世紀(jì)末20世紀(jì)初J.Hadmard和M.Morse的工作,曾是證明拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究中各定理和遍歷理論的有力工具。利用符號(hào)動(dòng)力學(xué)對動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析可以獲取許多單純借助分析或數(shù)值方法不能得到的整體性的結(jié)論[3]。

      在內(nèi)分岔參數(shù)空間下,Lorenz系統(tǒng)的新形式為:

      (1)

      文獻(xiàn)[4]對該系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的研究,指出當(dāng)x*=2.0, 25.3≤z*≤35.0時(shí),系統(tǒng)處于局域混沌,該吸引子的龐加萊映象僅有第一象限或第三象限中的一支,如圖1中離散點(diǎn)所示。下面,筆者對其進(jìn)行了符號(hào)動(dòng)力學(xué)分析。

      1 不穩(wěn)定周期軌道序列

      圖2給出相應(yīng)的首歸映射。它是一個(gè)單峰映射,圖2中菱形給出映射的臨界點(diǎn)C。臨界點(diǎn)C對應(yīng)于x-y平面上吸引子與穩(wěn)定流型的切點(diǎn),它將相平面分割成2部分,分別用字母L、R表示,如圖1所示。C點(diǎn)左邊的L支單調(diào)上升,則L具有偶性;其右邊的R支單調(diào)下降,則R具有奇性??梢?,此時(shí)的符號(hào)序列描述需要2個(gè)字。圖1還給出了不穩(wěn)定流型與穩(wěn)定流型之間另外的2個(gè)主切點(diǎn)(菱形)和過切點(diǎn)的穩(wěn)定流型(虛線)。根據(jù)實(shí)數(shù)大小,此時(shí)的自然序?yàn)椋?/p>

      圖1 龐加萊截面上的混沌吸引子(離散點(diǎn)),穩(wěn)定流型(虛線)以及切點(diǎn)(菱形) 圖2 首歸映射

      LCR

      (2)

      于是得到排序規(guī)則:

      EL…EC…ER…OL…OC…OR…

      (3)

      式中,E(O)代表含有偶數(shù)(奇數(shù))個(gè)字母R的有限字符串,稱為偶(奇)字節(jié)。

      由C點(diǎn)決定的揉序列字為:

      H=RLLRLRRRRRLLRLR

      由H可給出允字條件:

      L(Σ)≤HR(Σ)≤H

      (4)

      式中,L(Σ)是序列Σ的L后繼序列集,即對序列Σ的符號(hào)逐個(gè)審查,一旦遇到字母L就收集其后續(xù)序列,得一個(gè)新序列;繼續(xù)對這個(gè)新序列進(jìn)行審查,遇到字母L后又收集其后續(xù)序列。反復(fù)進(jìn)行搜集,直到?jīng)]有新的序列出現(xiàn)為止。將每一次得到的新序列集合起來,即為L(Σ)。R(Σ)的定義類似。

      表1 x*=2.0,z*=25.3時(shí)周期至6的不穩(wěn)定允許字及其首字母的位置坐標(biāo)(x,y)

      根據(jù)排序規(guī)則(2)、(3)和允字條件(4),可以給出x*=2.0,z*=25.3時(shí)周期直至6的不穩(wěn)定周期字,如表1所示??梢?,周期至6的不穩(wěn)定序列少了RRLL,RLLL,LLRL,RLLRR,RLLLR,RLLLL,RLLRRR,RLLRRL,RLLLRR,RLLLRL,RLLLLR,RLLLLL等12個(gè),這是被允字條件(4) 禁止的結(jié)果。例如Σ=(RRLL)∞,其R的后繼序列之一R(Σ)=RLLRRLLR…>H,這與條件R(Σ)≤H相違背。

      2 穩(wěn)定周期軌道序列——普適序列

      圖3 x*=2.0,z*=25.4366時(shí),龐加萊截面上暫態(tài)軌道的首歸映射,臨界點(diǎn)(空心圓)以及穩(wěn)定周期序列7P=RLRRRRC(菱形)

      以上給出的是參數(shù)一定時(shí)的不穩(wěn)定周期軌道序列。利用符號(hào)動(dòng)力學(xué),也能給出不同參數(shù)下的穩(wěn)定周期軌道序列字。當(dāng)參數(shù)范圍內(nèi)存在周期窗口時(shí),區(qū)間上僅有少量的軌道點(diǎn),不能給出相應(yīng)的首歸映射,因此不能明確地標(biāo)注軌道點(diǎn)的符號(hào)。然而,由文獻(xiàn)[3]可知至少有2種方法來解決這個(gè)難題:

      1)可以在周期窗口附近的混沌區(qū)域選取參數(shù),得到混沌吸引子并將周期點(diǎn)添加到該混沌吸引子上。大多數(shù)情況下,可以通過從混沌吸引子上計(jì)算的揉序列對來產(chǎn)生與不穩(wěn)定周期軌道共存的穩(wěn)定周期軌道。

      2)可以采用一系列初值,并盡可能地保留系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定周期之前的暫態(tài)點(diǎn)。通過這些暫態(tài)點(diǎn),就可以像前面一樣建立首歸映射。如果暫態(tài)較多時(shí),用該方法計(jì)算穩(wěn)定周期軌道序列更方便。如x*=2.0,z*=25.4366時(shí),龐加萊截面上暫態(tài)軌道的首歸映射如圖3中離散點(diǎn)所示,它與圖2的形狀一樣。其中空心圓為臨界點(diǎn),菱形為周期軌道點(diǎn),數(shù)字表示迭代次序。可見,此時(shí)系統(tǒng)處于7P(P表示周期)態(tài),相應(yīng)的序列記為7P=RLRRRRC。

      結(jié)合以上2種方法,可以給出x*=2.0,25.27

      表2 x*=2.0,25.27

      表3 x*=0.5-0.0000001z*,21.5

      [1]Hao B L.Applied Symbolic Dynamics[J].Chinese Journal of Physics,1998,36(6):753-757.

      [2]郝柏林,鄭偉謀.二維映射的實(shí)用符號(hào)動(dòng)力學(xué)[J].非線性動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào),1995,2(1):1-11.

      [3]Hao B L, Liu J X, Zheng W M.Symbolic Dynamics Analysis of the Lorenz Equations[J].Phys Rev E,1998,57:5378-5415.

      [4]裴啟明,蔣龍.Lorenz系統(tǒng)在內(nèi)分岔參數(shù)空間中的新現(xiàn)象探討[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,8(7):1-4.

      [5]Hao B L, Zheng W M.Applied Symbolic Dynamics and Chaos[M].Singapore: World Scientific, 1998.

      10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.09.001

      O415.5

      A

      1673-1409(2012)09-N001-03

      2012-04-25

      湖北省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(D20101303)。

      裴啟明(1977-),女,2001年大學(xué)畢業(yè),碩士,講師,現(xiàn)主要從事非線性科學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

      [編輯] 洪云飛

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