Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的一種偏勢方法

王萬軍

(1.甘肅聯(lián)合大學(xué)電子信息工程學(xué)院,中國 蘭州 730000;2.蘭州大學(xué)信息工程學(xué)院,中國 蘭州 730030)

自從Gau與Buehrer于1993年提出新理論Vague集[1]以來,Vague集在處理不確定及模糊信息方面發(fā)揮了很大的作用．但與Zadeh提出的Fuzzy集[2]相比較有很大的優(yōu)點．Fuzzy集是通過單一的(0,1)區(qū)間隸屬函數(shù)的值來表示模糊性的,而Vague集是通過一個真隸屬函數(shù)tA(x)支持度與一個假隸屬函數(shù)fA(x)反對度在[0,1]上建立的一個子區(qū)間[tA(x),1-fA(x)]來表達模糊性的．Fuzzy集不能表達信息的支持與反對證據(jù)信息,但Fuzzy集處理信息的模糊外延相對較大,處理起來比較簡單容易．雖然Vague集能表達信息的支持度與反對度，但它的外延相對較小,處理起來相對復(fù)雜一些．因此如何將Fuzzy值與Vague值之間相互轉(zhuǎn)化成為討論和研究的熱點．目前李凡、范平、王鴻緒、徐鳳生及黃志偉等[3-9]人進行了較多研究,但這些研究方法也存在一些不足與缺陷．對此,本文根據(jù)集對分析理論[10]SPA(sets pair analysis,簡寫SPA)中偏聯(lián)系數(shù)[11]理論,提出了一種新的Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的偏勢轉(zhuǎn)化方法．最后通過具體實例驗證分析了該方法的可行性、合理性和有效性．并指出用集對分析聯(lián)系數(shù)中的勢對Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值是一種行之有效的方法．

1 相關(guān)概念

1.1 Fuzzy值

定義1[1]設(shè)A是Vague集，μA是給定論域U上的任意一映射,對任意的x∈U都對應(yīng)一個μA(x)∈[0,1],則稱μA(x)為Fuzzy集上的隸屬函數(shù),稱μA(x)的值為μ對于A的隸屬度值,也稱此值為Fuzzy值．

1.2 Vague值

定義2[12]設(shè)x∈U,稱閉區(qū)間[tA(x),1-fA(x)]為Vague集A在點x的Vague值，其中tA(x)是對象空間論域U上的一個Vague集A的真隸屬函數(shù),tA(x)表示支持x∈A的證據(jù)隸屬度下界；fA(x)是一個Vague集A的假隸屬函數(shù),fA(x)表示反對x∈A的證據(jù)隸屬度下界，且滿足條件0≤tA(x)+fA(x)≤1．

定義3在Vague集A中,稱πA(x)=1-tA(x)-fA(x)為x對于Vague集A的未確知度,又稱為猶豫度或躊躇度．

在Vague集中:當tA(x)+fA(x)=1時,πA(x)=0,這時Vague集退化成Fuzzy集；當tA(x)=1,fA(x)=0,πA(x)=0,這時Vague集退化成經(jīng)典的Cantor集．

因此,Fuzzy集是Vague集的一種特例．Cantor集是Fuzzy集的一種特例．即:Vague集是Fuzzy集與Cantor集的一般處理形式．

2 聯(lián)系數(shù)及勢

2.1 聯(lián)系數(shù)

聯(lián)系數(shù)[10]是趙克勤在1989年包頭會議上提出的一種解決確定不確定問題的系統(tǒng)分析方法.它是通過對事物的同、異與反建立事物之間的聯(lián)系及規(guī)律及聯(lián)系數(shù)表達式u(w)=a+bi+cj來處理不確定性問題，其中規(guī)定a,b,c∈[0,1],a+b+c=1,j=-1．a(chǎn)稱為同一度,b稱為差異度,c稱為對立度．i,j為差異度和對立度的系數(shù)．

定義4在Vague集A論域上有x=[tx,1-fx],y=[ty,1-fy] 2個Vague值,πx=1-tx-fx和πy=1-ty-fy,則x,y的Vague值的聯(lián)系數(shù)定義[13-14]為:

u(x)=tx+πxi+fxj,u(y)=ty+πyi+fyj.

2.2 勢

定義5在Vague值x=[tx,1-fx]中,其聯(lián)系數(shù)u(x)=tx+πxi+fxj的勢記為shi(x)=tx/fx．

定義6在聯(lián)系數(shù)中,對shi(x)=tx/fx=1的勢稱為均勢；shi(x)=tx/fx>1的勢稱為同勢；shi(x)=tx/fx<1的勢稱為反勢．

定義7Vague值聯(lián)系數(shù)u(x)=tx+πxi+fxj中,記Δshi(x)=tx/(tx+fx)=1/(1+shi(x))為偏勢．

在聯(lián)系數(shù)u(x)=tx+πxi+fxj中,由于tx,fx,πx的值不同,勢可以反映出聯(lián)系數(shù)中同、異及反的聯(lián)系趨勢變化,可以分同勢、均勢和反勢．即從可行性方面而言,同勢在可行性中為可行方案；均勢在可行性中為一般方案；反勢在可行性中為不可行方案．這樣通過勢值把要解決的問題進行了一個簡單的“聚類”．各勢之間的具體含義見表1所示．

表1 tx,fx,πx與各勢之間的含義及關(guān)系

從表1可以清楚地看到:勢及偏勢從另外一個角度反映了Vague值中的tx,fx,πx之間的發(fā)展趨勢變化,偏勢越小,說明πx趨向fx的程度越慢,Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值的隸屬程度就越大．相反偏勢越大,πx趨向fx的程度越快,Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值的隸屬程度就越小．當偏勢為0.5時,πx趨向fx的程度等同,Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值的隸屬程度等同,其隸屬度為0.5．

3 Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的本質(zhì)及合理性準則分析

Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的本質(zhì)實際上是將Vague值中的未確知度πA(x)按照支持度tA(x)與反對度fA(x)的關(guān)系，將πA(x)按一定比例分配給支持度tA(x)與反對度fA(x)．即將πA(x)中趨向支持度的分量與Vague值中的支持度tA(x)相加得到一個新的支持度,轉(zhuǎn)化為Fuzzy值的隸屬度值．為了保證轉(zhuǎn)化結(jié)果的合理與有效,要滿足如下事實準則:

(1)在Vague值x=[tx,1-fx]中,當tA(x)=fA(x)時,勢為均勢．未確知度πA(x)分配給支持度tA(x)與反對度fA(x)的比例是均等的．這時轉(zhuǎn)化后的Fuzzy集的隸屬度值μA(x)=0.5．

(2)在Vague值x=[tx,1-fx]中,當tA(x)>fA(x)時,勢為同勢．未確知度πA(x)分配給支持度tA(x)的程度比反對度fA(x)的程度大．這時轉(zhuǎn)化后的Fuzzy集的隸屬度值μA(x)>tA(x)+πA(x)/2．

(3)在Vague值x=[tx,1-fx]中,當tA(x)

(4)在Vague值x=[0,1]中,πA(x)=1，勢為全均勢．則轉(zhuǎn)化后的Fuzzy集的隸屬度值μA(x)=0.5．

(5)在Vague值x=[1,0]中,tA(x)=1，勢為全同勢．則轉(zhuǎn)化后的Fuzzy集的隸屬度值μA(x)=1．

(6)在Vague值x=[0,0]中,fA(x)=1，勢為全反勢．則轉(zhuǎn)化后的Fuzzy集的隸屬度值μA(x)=0．

(7)轉(zhuǎn)化后的μA(x)隨tx成單調(diào)增函數(shù),隨fx成單調(diào)減函數(shù)．

4 Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值現(xiàn)有方法的不足及分析

4.1 均值法[3]

設(shè)Vague值x=[tx,1-fx],Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值μ采用

(1)

這種轉(zhuǎn)化方法簡單地將未確知度πA(x)平均分配給支持度tA(x),很容易出現(xiàn)信息丟失．在反勢或全反勢的情況下,即偏勢值為0或大于0.5時,這種轉(zhuǎn)化是不可行的．轉(zhuǎn)化結(jié)果是不合理的或錯誤的.這種轉(zhuǎn)化不能刻畫棄權(quán)者的趨向程度．在同勢或全同勢的情況下,這種轉(zhuǎn)化是可行的．在均勢或全均勢的情況下,這種轉(zhuǎn)化不能保證合理性或正確性．

4.2 比例法[3]

設(shè)Vague值x=[tx,1-fx],Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值μ采用

(2)

這種轉(zhuǎn)化方法看似合理,其實它將未確知度πA(x)全部分配給反對度fA(x),這不符合實際情況．在異反勢或同異勢的情況下,轉(zhuǎn)化是不可行的．而且這種轉(zhuǎn)化不能分辨tx=0或fx=0的情況．當tx=0時,不論fx的值是多少,μ(x)=0；當fx=0時,不論tx的值是多少,μ(x)=1；顯然這種情況是錯誤的、不合理的,因此這樣得到的結(jié)論不能保證其轉(zhuǎn)化的合理性和有效性．

4.3 參數(shù)法[15]

設(shè)Vague值x=[tx,1-fx],Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值μ采用如下參數(shù)的轉(zhuǎn)化方法:

μ(x)=1-fx-απx，α∈[0,1],

(3)

μ(x)=tx+α(1-tx-βfx),α,β∈[0,1],

(4)

μ(x)=1-fx+β(1-αtx-fx),α,β∈[0,1].

(5)

這種轉(zhuǎn)化比較合理,能滿足轉(zhuǎn)化的準則要求,但由于參數(shù)的不確定性不好控制和難以把握,從而不同的轉(zhuǎn)化者往往得到的隸屬度值有一定的差別而難以進行比較,并且?guī)砗芏嗖淮_定性因素．

4.4 分段法[16]

設(shè)Vague值x=[tx,1-fx],Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值μ采用如下方法:

(6)

該轉(zhuǎn)化方法看似很合理,但最大的缺陷是不一定能保證隸屬度μ在區(qū)間[0,1]上,顯然這違背了Fuzzy集的含義．比如Vague值x=[0,0.9],取tx=0,fx=0.1,πx=0.9代入式(6)中得到μ(x)=8.1．這顯然是錯誤的、無效的和不合理的結(jié)果．

5 Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的偏勢方法及可行性分析

5.1 Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的偏勢方法

在分析了Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的本質(zhì)、轉(zhuǎn)化準則及偏勢的含義后,容易構(gòu)造關(guān)于Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的方法:對于任意V∈U上的一個論域Vague集的全體,對任意一個x的隸屬度區(qū)間,x對于V的隸屬度可以記為:

μA(x)=tx+πxΔshi(x).

(7)

當tA(x)=fA(x)時,Δshi(x)=0.5；當tA(x)>fA(x)時,Δshi(x)∈(0.5,1)；當tA(x)

容易驗證式(7)滿足事實準則1到準則7的要求,這保證該轉(zhuǎn)化方法結(jié)果的合理性與有效性．

5.2 Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的偏勢方法的可行性分析

在Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的過程中,為了保證轉(zhuǎn)化結(jié)果的合理性、有效性和可行性,除滿足準則1到準則7外,還要考慮可行性．

定義8[7]對于Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的某些方法,若至少滿足如下條件之一:

(1) 對任意α∈[0,1],若A(u)∈[0,α],u∈U,A∈V(U),有uA′(u)=0；

(2) 對任意α∈[0,1],若A(u)∈[α,1],u∈U,A∈V(U),有uA′(u)=1．

則稱為不可分辯性.否則稱為可分辨性．

雖然容易驗證式(7)的轉(zhuǎn)化方法中當tx,fx,πx={0,1}時具有不可分辨性,除此之外具有可分辨性．但當tx,fx,πx={0,1}時,從表2易得fuzzy集的隸屬度是確定的．

表2 tx,fx,πx={0,1}與各勢含義及Fuzzy隸屬度值之間的關(guān)系

據(jù)此可知式(7)的轉(zhuǎn)化方法雖然不具有可分辨性．但具有可行性．可行性是Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值結(jié)果有效的前提及保證．

綜上所述可知:本文提出的Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的偏勢方法是合理的、有效的和可行的．

6 實例分析比較

為了驗證本文轉(zhuǎn)化方法的有效性、合理性和可行性,我們采用文獻[7]的例子．計算結(jié)果如表3所示．

表3 本文轉(zhuǎn)化方法與其他轉(zhuǎn)化方法比較

由表3可知，本文提出的轉(zhuǎn)化方法是行之有效的．

7 結(jié)語

本文通過對Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的理論分析與比較研究,指出了現(xiàn)有的一些轉(zhuǎn)化方法的不合理性、不可分辨性及不可行性等,并利用集對分析聯(lián)系數(shù)中的偏勢方法提出了一種Vague值轉(zhuǎn)化Fuzzy值的偏勢方法．該方法符合人們的實際判斷準則和直覺要求,計算簡單方便．

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