時序數(shù)據(jù)故障點檢測方法分析比較及應用

賀力克

(湖南工業(yè)職業(yè)技術學院電氣工程系，中國 長沙 410208)

時序數(shù)據(jù)是一種服從某分布的隨機變量，在不同時刻有一個取值，并按照時間發(fā)生的順序排列而成的統(tǒng)計序列．隨機變量的分布主要用分布函數(shù)參數(shù)如均值、方差等來表示．當形成時序數(shù)據(jù)的一系列隨機變量，由于某種條件的變化而不再服從之前的分布，則稱該時間序列發(fā)生了故障(有文獻稱之為“變點”、“孤立點”等)．故障點的檢測在各個領域得到了廣泛的應用．在一個時序數(shù)據(jù)中，利用已有信息對下一秒是否異常點并給出合理的估計和警報的類型，是現(xiàn)代故障檢測和故障容錯領域的熱點研究問題[1]；采用這種方法也能有效的檢測圖像中隱藏的信息，檢測計算機網(wǎng)絡是否收到病毒或者黑客的攻擊．基于此類廣泛的應用，故障點的檢測算法已在統(tǒng)計學界得到了廣泛的研究．

目前對時序數(shù)據(jù)的分析方法主要包括兩種類型：數(shù)理統(tǒng)計方法和數(shù)據(jù)挖掘方法[2]．數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法是通過統(tǒng)計學中的模型假設、參數(shù)估計、模型檢驗等手段獲取描述時序數(shù)據(jù)的規(guī)律．數(shù)據(jù)挖掘方法則從時間序列局部特性出發(fā)，從大量的、不完備的、有噪聲的數(shù)據(jù)中， 提取隱含在其中的一些規(guī)律[3]．早在1995年Nikiforov就提出了異常點檢測模型用于檢測和避免時間序列中突發(fā)的變化[4]．目前學者們已經(jīng)開發(fā)了大量的孤立點檢測算法，可以分為三類：基于模型的技術[5]、基于臨近度的技術[6]和基于密度的技術．王建州等人[5]指出排除時序數(shù)據(jù)中故障點能使故障點對時序數(shù)據(jù)的影響變小，但是可能導致重要的隱藏信息的丟失．為了解決此類問題，提出了一種統(tǒng)計分析結合小波變換的方法．文獻[7]結合密度和臨近度的概念，提出了一種基于引力的孤立點檢測方法，通過考慮數(shù)據(jù)周圍的密度和數(shù)據(jù)對象間的距離等參數(shù)對孤立點定義的影響來挖掘數(shù)據(jù)集中隱含的孤立．此外，小波變換具有自動改變窗長的功能，可以很好地把信號在空間和頻率上局部化，這以特性使得小波變換對信號的變點分析也有一席之地[8]．

對國內外文獻調查分析發(fā)現(xiàn)，研究學者針對不同的時序數(shù)據(jù)，提出了很多時間序列變點的檢測方法，每種方法都是針對某一種情況有著較好的檢測效率，然而并沒有對常見的檢測算法進行行之有效的對比．本文旨在對幾種主要的時間序列的故障點檢測算法進行性能分析，為其他研究者在選取基于數(shù)理統(tǒng)計和分線性序列分析兩種基本檢測方法時提供一些參考．

1 時序數(shù)據(jù)基本模型

在變點檢測問題中，有一系列的觀測值(觀測樣本)，多數(shù)情況下，觀測值按其垂涎時間的先后排序．在某個位置時刻，樣本的分布或其他數(shù)字特征起了突然的變化，這個時刻就是變點．也有可能樣本分布依賴于某種空間參數(shù)，而變點則是空間中的位置或時間軸上的某一時刻．設x1，x2，…，xn是相互獨立的隨機變量，并且服從某種分布．通常xi可以表示成如下形式

(1)

假設在一個未知的時刻t時，ξ(i)的值為ξ(t)=ξ0；而到下一個時刻t+1時，ξ(i)的值為ξ(t+1)=ξ1．因此式(1)描述了帶有異常點時間系統(tǒng)的一般模型，ξ0表示了對于系統(tǒng)F而言正常的狀態(tài)，而ξ1表示一系列非正常狀態(tài)(故障、變點)．假設系統(tǒng)F的輸出值表示為x1，x2，…，xn，變點檢測即檢測和盡量地避免ξ(i)的非正常變化，例如從ξ0狀態(tài)變?yōu)棣?．

根據(jù)上述離散時間系統(tǒng)的一般模型，本文討論的在某未知時刻t+1時發(fā)生的故障ξ1簡化表示為

2 幾種孤立點檢測方法分析

2.1 基于引力的孤立點檢測算法

這種孤立點檢測算法主要借鑒了牛頓萬有引力的思想，考慮將數(shù)序數(shù)據(jù)看作是n個質量均勻的點，不均勻地分布在數(shù)據(jù)空間中，每個數(shù)據(jù)對象的影響可以用一個引力函數(shù)來表示[7]．依據(jù)時序數(shù)據(jù)點對臨近時刻數(shù)據(jù)的引力函數(shù)的大小來作為判斷孤立點的標準．具體的引力函數(shù)如下式所示

其中d(xi,xj)表示數(shù)據(jù)對象xi與xj的距離；ln[ln(ni+1)]表示數(shù)據(jù)點i的質量；ni表示數(shù)據(jù)xi在距離d內的鄰居數(shù)．這里用ln[ln(ni+1)]表示第i個數(shù)據(jù)點的質量，是為了避免密度較大的數(shù)據(jù)點相乘使得引力急劇增大而出現(xiàn)“黑洞”現(xiàn)象，算法過程參見文獻[7]，這里不再贅述．

但是從此類算法的本質來看，處理序列時間數(shù)據(jù)具有一定的局限性．通常來說時序數(shù)據(jù)是連續(xù)性的一維數(shù)據(jù)，定義相鄰數(shù)據(jù)點的方法也比較單一，不能放在一個多維向量中來考慮，必須采取有效的分段才能處理分段時序數(shù)據(jù)[9]，而且此類處理方法通常用于圖像等維數(shù)較多的數(shù)據(jù)處理[10]．針對此類問題，學者們專門研究了時序數(shù)據(jù)變點的檢測算法．

2.2 基于均值變點的檢測算法

文獻[11]研究了一般情況下均值變點檢測模型，如式(1)所描述的一般系統(tǒng)模型．取一個位置或時刻i，考察i附近的局部內樣本均值或樣本和的變化，即指定一個適當?shù)淖匀粩?shù)d，把i左右的各d個觀測值(一般稱d為步長或窗口長度)求和并相減，得

yi=(xi+…+xi+d-1)-(xi-d+…+xi-1).

(2)

其中i=d+1,d+2,…,n-d+1，若i非變點并且與變點位置t+1的距離不小于d，則上式右邊兩項有相似的均值且yi趨近于0；反之若當前檢測點i等于t+1或離t+1很近，則式(2)左右兩項的均值不同，yi趨遠于0．

該變點檢測算法對步長d的選擇具有較大的依賴性，若d選取過小，對觀測值的變化會過于敏感；反之若d選取過大，會使隨機誤差的影響削弱，對誤差的呈現(xiàn)不敏感．文獻[11]對d的取值給出了一個估計方法，本文中不再做討論．但是在對d的估計過程中，須已知所有觀測值樣本的總數(shù)n，然而這對于在線變點檢測是一個瓶頸．

2.3 基于均值方差變點估計的孤立點檢測

文獻[12]研究了獨立序列中均值與方差變點的估計問題，作者考慮了序列的均值和方差是否有變點的情況．

設序列{xt|t=1,…,T} 滿足E(xn)=μ(t)， Var(xn)=σ(t) ．若μ(t)，σ(t)取值分別為μ1、μ2和σ1、σ2，且有

其中

其中

上述變點估計問題只是針對一個序列中存在單一變點的情況，對于多變點的情況作者并沒有考慮，然而時序數(shù)據(jù)中變點的多發(fā)性是必然的，因此這也是該檢測算法的一個缺陷．

3 GPS采集數(shù)據(jù)的模擬試驗與實例分析

本節(jié)用實際采集的GPS數(shù)據(jù)作為模擬研究和分析的源數(shù)據(jù)，用于對比文章中提到的3種基于時序類型的變點檢測方法，而采用文獻[8]中提到的小波檢測結果作為真實結果．GPS接收機可以采集到導航坐標系中東向、北向和天向3個方向的速度，然而GPS接收機在運動過程中可能會收到系統(tǒng)誤差、機器誤差、噪聲的影響而對采集到的數(shù)據(jù)產(chǎn)生數(shù)據(jù)變點，準確估計變點發(fā)生的位置或時間對數(shù)據(jù)下一步的使用有著重要的意義．本文在測試算法性能過程中采用了一組GPS接收數(shù)據(jù)來評價幾種檢測方法的性能，限于篇幅原因，僅選取兩個方向進行分析，原始數(shù)據(jù)圖見圖1(a)，(b)．

(a) GPS接收機采集到的東向速度原始數(shù)據(jù) (b) GPS接收機采集到的北向速度原始數(shù)據(jù)圖1 GPS接收機采集到的東、北向速度原始數(shù)據(jù)

測試數(shù)據(jù)的樣本容量為6 906，即T=6 906，采樣頻率為10 Hz．從圖1中看出數(shù)據(jù)是部分平穩(wěn)的，發(fā)生了較多的跳變，需要采用變點檢測算法對其進行變點檢測，確定變點的位置．

(a) 東向速度“引力”檢測結果 (b) 北向速度“引力”檢測結果圖2 基于引力的孤立點檢測結果

圖2(a)，(b)所示為基于引力的孤立點檢測算法對GPS東北向速度采樣數(shù)據(jù)的修正結果，檢測結果見表1．可以看出在前半段修正后的結果比采樣結果有較大的偏差，后半段較?。?中也可以看出檢測變點數(shù)目比其他兩種方式都小，可見該檢測算法發(fā)生了誤檢和漏檢．這與該算法的理論基礎有關，定義該“虛擬引力”的概念有些牽強．不能很好地解釋數(shù)據(jù)中發(fā)生變點的內在原因[13]．

圖3和圖4為另外兩種基于統(tǒng)計模型的變點檢測方法．圖中有3條線，分別代表誤差、誤差估計上閾值、誤差估計下閾值．超過估計閾值的時刻則檢測為變點，在區(qū)間內的則表示正常數(shù)據(jù)時刻．在處理這兩個類似檢測算法時，作者對GPS采樣數(shù)據(jù)進行了一階差分操作，接著對查分序列進行變點檢測．從表1中可以看出“均值變點檢測算法”和“均值方差變點檢測算法”的檢測效率和結果不相上下．相比較而言，圖3中所示的均值變點檢測方法算法較為簡單，因此計算代價比較小，而圖4中的均值方差變點檢測方法需要檢測觀測數(shù)據(jù)序列的兩種統(tǒng)計量的變化，因此計算消耗的代價較大，而性能沒有得到太大的提高．

(a)東向速度均值變點點檢測結果 (b)北向速度均值變點點檢測結果圖3 均值變點檢測結果

(a)東向速度均值方差變點點檢測結果 (b)北向速度均值方差變點點檢測結果圖4 均值方差變點檢測結果

由以上的模擬研究和實例分析來看，本文精確地比較了幾種變點檢測算法的性能，每種檢測算法均能較好地判斷變點的個數(shù)并準確地估計變點發(fā)生的時刻，采用變點檢測算法之前需要確定的較重要的參數(shù)為步長，該參數(shù)較大地影響了變點檢測算法的效果．此外，基于“引力”的孤立點檢測算法由于其理論性不強的緣故，檢測效率和其他兩種算法略有差別．而其他兩種檢測算法在檢測性能上不相上下，只是算法代價有差別．

表1 3種檢測算法檢測率的比較

4 結束語

本文比較了3種不同的序列故障點檢測算法，分別是：基于“引力”的孤立點檢測算法，基于“均值變點”的檢測算法和基于“均值方差變點估計”的檢測算法．分別對這3種算法進行了分析比較，并從試驗的角度對3種算法進行了性能評價．試驗以GPS接收機實測的東北天3個方向的速度數(shù)據(jù)為基礎，最后給出了檢測結果和性能結果．試驗表明：基于“引力”的孤立點檢測算法效果不如其他兩種算法，而基于“均值變點”的檢測算法在計算代價上又優(yōu)于基于“均值方差變點估計”的檢測算法．本文的工作能為選取變點檢測算法時提供有價值的參考．

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