套代數(shù)上的高階全可導(dǎo)點

甄南南，朱 軍，楊文雷

(杭州電子科技大學數(shù)學研究所，浙江杭州310018)

0 引言

導(dǎo)子在理論和應(yīng)用中都是一類非常重要的映射。許多學者都對導(dǎo)子的局部特征做過研究。文獻1證明了一階情況下套代數(shù)上全可導(dǎo)點的特征，即G≠0。文獻2證明了套代數(shù)上在0點可導(dǎo)且滿足φ(I)=0的映射是導(dǎo)子。文獻3證明了若N是Banach空間上的一個完備套，那么每一個值域在N中的冪等元都是AlgN中的全可導(dǎo)點。文獻4證明了CSL代數(shù)上在0點可導(dǎo)且滿足φ(I)=0的映射是導(dǎo)子。本文將文獻1的結(jié)論推導(dǎo)到高階的形式，即G∈AlgQ是高階全可導(dǎo)點當且僅當G≠0。

1 套代數(shù)上高階全可導(dǎo)點

定理1 設(shè)Q是Hilbert空間H上的非平凡完備套，則G∈AlgQ是高階全可導(dǎo)點當且僅當G≠0。

證明 設(shè)dn是從AlgQ到其自身的在G≠0點高階可導(dǎo)的線性映射。d0為恒等映射。令N∈Q且{0}?N?H，必有H=N⊕N⊥。0，其中 D∈AlgQN，E∈B(N⊥，N)，F(xiàn)∈AlgQN⊥。λ 默認為是大于0的實數(shù)。為了書寫方便，把所有的恒等算子都記為I。?X∈AlgQN，?Y∈B(N⊥，N)，?Z∈AlgQN⊥，設(shè) dn(，其中 Aij，Bij，Cij分別是AlgQN，B(N⊥，N)，AlgQN⊥上的線性映射。設(shè) S=，?X，U∈AlgQN，?Y，V∈B(N⊥，N)，?Z，W∈AlgQN⊥滿足 XU=D，XV+YW=E，ZW=F，則有 ST=G。由假設(shè)知 dn(G)=di(S)dj(T)通過計算可得:

在式1中取X=λ-1XY=λEZ=λFU=λUV=0W=λ-1I，XU=D。兩邊同乘以λ2并令λ→0;同除以λ2并令λ→∞，由數(shù)學歸納法可得Cn1(I)=0和Bn1(E)+Cn1(F)=0。易得An1(D)=Aj1(U)，XU=D。

在式3中取 X=λ-1X，Y=λE，Z=λF，U=λU，V=0，W=λ-1I，XU=D。兩邊同乘以 λ2并令 λ→0，利用數(shù)學歸納法可得An3(X)=0，?X∈AlgQN。此時式2為:

在式1中取 X=λ-1X，Y=λEW-1，Z=λZ，U=λU，V=0，W=λ-1W，其中 XU=D，ZW=F，且 W可逆。兩邊同乘以λ2并令λ→0，由數(shù)學歸納法可得Cn1(W)=0，W可逆。由文獻1知?W∈AlgQN⊥都有Cn1(W)=0。

在式1 中取 X=λ-1I，Y=λ(E-V)，Z=λF，U=λD，V=λV，W=λ-1I。令 λ→0，由數(shù)學歸納法可得Bn1(V)=0。在式3 中取 X=λI，Y=Y，Z=-λ-1F，U=λ-1D，V=Y+λ-1E，W=-λI，兩邊同除 λ并令λ→∞，得=0。由數(shù)學歸納法即可得Bn3(Y)=0。

在式3中取 X=I，Y=0，Z=Z，U=D，V=E，W=W，其中 ZW=F，易證 Cn3(·)在 F 點高階可導(dǎo)。此時式2為:

在式2中取 X=I，Y=E-V，Z=F，U=D，V=V，W=I，由數(shù)學歸納法可以得到 An1(I)V=VCn3(I)。由前面證明易知Cn3(F)=Ci3(F)Cj3(I)，An1(D)=i+∑j=nAi1(I)Aj1(D)，An2(D)+Bn2(E)+Cn2(F)={ Ai1(I)Aj2(D)+Bi2(E)Cj3(I)+Ci2(F)Cj3(I)}。假設(shè) Cm3(I)=0，Am1(I)=0，0〈m 〈n，即可由數(shù)學歸納法得到 FCn3(I)=0，An1(I)D=0，ECn3(I)=0。由文獻1知 A11(I)=0，C13(I)=0，聯(lián)合An1(I)V=V Cn3(I)及G≠0的條件即可利用數(shù)學歸納法由文獻1中證明得An1(I)=0，Cn3(I)=0，n〉0。此時式4為An2(D)=Ai1(X)Aj2(U)，XU=D。

在式 2 中取 X= λ-1X，Y= λE，Z= λF，U= λU，V=0，W= λ-1I，XU=D。易得{Ai1(X)Cj2(I)+Ai2(X)Cj3(I)}=0。原式化簡為An2(X)=-Ai1(X)Cj2(I)。

在式2 中取 X=I，Y=0，Z=λFW-1，U=D，V=E，W=λ-1W，W可逆。易得 Cn2(W)=-Cj3(W)。令W=I代入上式可得Cn2(W)=Ci2(I)Cj3(W)。

在式2 中取 X=X，Y=λEW-1，Z=λFW-1，U=X-1D，V=0，W=λ-1W，X，W可逆。兩邊同乘以 λ，并令 λ→0，則{ Ai1(X)Cj2(W)+Ai2(X)Cj3(W)}=0，其中X，W可逆。由文獻1可知?X∈AlgQN，?W∈AlgQN⊥結(jié)論成立。此時式5化簡為Cn2(F)=Ci2(Z)Cj3(W)，ZW=F。

在式2中取 X=I，Y=Y，Z=FW-1，U=D，V=E-YW，W=W，其中 W可逆，可得 Bn2(YW)=Bi2(Y)Cj3(W)，W可逆。由文獻1知?W∈AlgQN⊥結(jié)論成立。則?W1，W2∈algQN⊥，Bn2(YW1W2)=Bi2(Y)Cj3(W1W2)=Bi2(YW1)Cj3(W2)=Bi2(Y1)Cm3(W1)Ck3(W2)。比較得。在式2中取 X=X，，Y=E-XV，Z=F，U=X-1D，V=V，W=I，類比可得 Bn2(XV)=Ai1(X)Bj2(V)，An1(·)是導(dǎo)子。

所以dn(·)是導(dǎo)子。

2 結(jié)束語

本文在文獻1的基礎(chǔ)上利用數(shù)學歸納法討論了套代數(shù)上高階全可導(dǎo)點的特征，并給予證明。

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