既有鐵路曲線整正計(jì)算中的計(jì)劃正矢計(jì)算方法的研究

劉永孝，劉學(xué)毅，李 斌，代 豐

(1.蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州 730070;2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031)

計(jì)劃正矢的計(jì)算實(shí)現(xiàn)程序化是鐵路曲線整正的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)［1-3］。在傳統(tǒng)的計(jì)劃正矢的計(jì)算中，一般采用的是人工判斷的方法，通過判斷測(cè)點(diǎn)所處曲線的位置采用不同的公式，計(jì)算出相應(yīng)的計(jì)劃正矢。如果要實(shí)現(xiàn)鐵路曲線整正計(jì)算的程序化，必須要解決計(jì)劃正矢的程序化，這就需要推導(dǎo)出曲線在不同測(cè)點(diǎn)處計(jì)劃正矢的公式，自動(dòng)判斷測(cè)點(diǎn)所處的位置及采用相應(yīng)的公式。

鐵路曲線整正計(jì)算中通常采用的方法是偏角法、坐標(biāo)法、繩正法，在傳統(tǒng)的曲線整正計(jì)算中，通常情況下只是采用其中的一種方法來進(jìn)行計(jì)算整正，很少將它們聯(lián)系起來考慮。一般在繩正法整正曲線時(shí)，需要考慮計(jì)劃正矢，而利用其他2種方法計(jì)算時(shí)，很少考慮曲線的計(jì)劃正矢，如果能夠推導(dǎo)出坐標(biāo)法和偏角法中計(jì)劃正矢的計(jì)算公式，這樣既可以拓展計(jì)劃正矢的計(jì)算方法，又可以在坐標(biāo)法和偏角法中通過分析其計(jì)劃正矢和撥后正矢來判斷曲線的圓順度，同時(shí)通過計(jì)劃正矢作為結(jié)合點(diǎn)，將3種方法融匯貫通。

將3種方法分別計(jì)算各自的計(jì)劃正矢并進(jìn)行比較分析，坐標(biāo)法計(jì)算的計(jì)劃正矢的結(jié)果是精確的，繩正法和偏角法計(jì)算的計(jì)劃正矢有一定的誤差，將它們和坐標(biāo)法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，可判斷出繩正法和偏角法誤差的大小及規(guī)律。進(jìn)而可分析出其引起的計(jì)劃漸伸線的誤差，并可分析出其撥距計(jì)算的一些誤差的原因及改進(jìn)的方法。同時(shí)利用這些公式，現(xiàn)場(chǎng)可靈活地計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃正矢。通過這些計(jì)算公式可計(jì)算出各種方法的撥后正矢。

1 計(jì)劃正矢計(jì)算的理論分析

1.1 繩正法計(jì)算各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃正矢

利用繩正法計(jì)算計(jì)劃正矢時(shí)，首先要知道曲線的樁點(diǎn)里程，然后找到計(jì)算點(diǎn)的位置，根據(jù)其處在曲線不同的位置采用相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算。為此，可把曲線分成5段(即前直線，前緩和曲線上，圓曲線，后緩和曲線上，后直線上)，當(dāng)計(jì)算點(diǎn)的前一測(cè)點(diǎn)和后一測(cè)點(diǎn)落在同一性質(zhì)的曲線上，如圖1中的1、4、7、10、13點(diǎn)，處在相應(yīng)的5段曲線上，分別采用式(1)，式(4)，式(7)、式(10)、式(13)的公式進(jìn)行計(jì)算。針對(duì)曲線4個(gè)樁點(diǎn)(ZH，HY，YH，HZ)附近的8個(gè)點(diǎn)，由于計(jì)算點(diǎn)的前一個(gè)測(cè)點(diǎn)和后一個(gè)測(cè)點(diǎn)落在不同性質(zhì)的曲線段上，如圖1 中的 2、3、5、6、8、9、11、12 點(diǎn)，計(jì)算時(shí)分別采用相對(duì)應(yīng)式(2)、式(3)、式(5)、式(6)、式(8)、式(9)、式(11)、式(12)的公式進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)公式即可計(jì)算出曲線任意布點(diǎn)的情況下整條曲線的計(jì)劃正矢，這樣即可實(shí)現(xiàn)計(jì)算計(jì)劃正矢的公式化。其測(cè)點(diǎn)布置如圖1所示，計(jì)算公式見式(1)～式(13)。

式中 xi——計(jì)算點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)號(hào);

fi——各計(jì)算點(diǎn)對(duì)應(yīng)的計(jì)劃正矢;

xZH，xHY，xYH，xHZ——分別代表直緩、緩圓、圓緩、緩直點(diǎn)的樁點(diǎn)號(hào)數(shù);

fy——圓曲線計(jì)劃正矢;fy=(mm);

fd——曲線正矢遞變率;fd=，m0為緩和曲線段數(shù)。

利用以上公式可計(jì)算出曲線上所有點(diǎn)的計(jì)劃正矢。

1.2 利用坐標(biāo)法計(jì)算各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃正矢

已知曲線主要樁點(diǎn)的里程，可根據(jù)各樁點(diǎn)的位置計(jì)算出各計(jì)算點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)，再根據(jù)各測(cè)點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)計(jì)算出各點(diǎn)的計(jì)劃正矢。

1.2.1 計(jì)算各測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)

A、B、C分別處在第一緩和曲線、圓曲線、第二緩和曲線上的點(diǎn)，坐標(biāo)系的建立如圖2所示，以ZH點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ZH點(diǎn)以前的直線段為x軸，垂直于x軸且指向圓心那側(cè)為y軸，此坐標(biāo)稱為第一坐標(biāo)系，計(jì)算前直線、第一緩和曲線和圓曲線上的測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可直接在此坐標(biāo)下進(jìn)行計(jì)算。其坐標(biāo)計(jì)算公式分別采用式(14)、式(15)、式(16)。計(jì)算第二緩和曲線和后直線上的測(cè)點(diǎn)時(shí)，以HZ點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，HZ點(diǎn)以后的直線為x'軸，垂直于x'且指向圓心那側(cè)為y'軸，先計(jì)算在此坐標(biāo)系下的它們坐標(biāo)公式，分別采用式(17)、式(19)。然后通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式把它們轉(zhuǎn)化在第一坐標(biāo)系下的公式，其轉(zhuǎn)化公式分別采用式(18)、式(19)。在第一坐標(biāo)系下，再利用公式［4-6］(式(21))計(jì)算出各計(jì)算點(diǎn)的計(jì)劃正矢。

圖2 計(jì)算各測(cè)點(diǎn)設(shè)計(jì)坐標(biāo)示意

式中 ki——計(jì)算點(diǎn)樁點(diǎn)里程

A，B，C——分是處于第一緩和曲線、圓曲線、第二緩和曲線上的點(diǎn);

ZH，HY，YH，HZ——直緩、緩圓、圓緩、緩直點(diǎn)的樁點(diǎn)里程;

xHZ，yHZ——HZ 點(diǎn)的坐標(biāo);xHZ=T(1+cos α)，yhz=T tanα，T為切線長;

m——曲線內(nèi)移距，m=l0

l0——緩和曲線長度;

α——曲線轉(zhuǎn)角。

1.2.2 計(jì)算各點(diǎn)的計(jì)劃正矢

用式(14)～式(17)計(jì)算出各點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)，已知扣點(diǎn)的計(jì)算坐標(biāo)可計(jì)算出各點(diǎn)的計(jì)劃正矢，其計(jì)算如圖3所示。

圖3 利用坐標(biāo)法計(jì)算計(jì)劃正矢示意

1.3 利用偏角法計(jì)算各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃正矢公式

已知曲線的主要樁點(diǎn)位置，根據(jù)各計(jì)算點(diǎn)所處的位置，利用公式(式(22)～式(26))［7］先計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃漸伸線長度，然后利用公式(式27)計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃正矢。

(1)計(jì)算各點(diǎn)的漸伸線長度計(jì)算公式［8］，

式中 Es——計(jì)算漸伸線長度;

l——計(jì)算點(diǎn)至ZH點(diǎn)的距離;

L——計(jì)算點(diǎn)至ZY點(diǎn)的距離;

l'——計(jì)算點(diǎn)至YH點(diǎn)的距離;

X——計(jì)算點(diǎn)至QZ點(diǎn)的距離。

(2)各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃正矢為

(3)各測(cè)點(diǎn)的計(jì)劃漸伸線長為

2 計(jì)劃正矢及設(shè)計(jì)漸伸線誤差理論分析

2.1 計(jì)劃正矢誤差分析

曲線上每隔10 m布置1個(gè)測(cè)點(diǎn)，同一曲線上采用同一布置測(cè)點(diǎn)的方法，分別利用上述3種方法的公式分別計(jì)算各曲線的計(jì)劃正矢，運(yùn)用現(xiàn)場(chǎng)大量曲線作為研究對(duì)象，通過編程計(jì)算，分析其計(jì)算結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，利用偏角法和繩正法計(jì)算出的計(jì)劃正矢是完全相同的，它們都是基于漸伸線原理計(jì)算的［9-12］。但是從計(jì)算難易程度來說，用偏角法計(jì)算計(jì)劃正矢的方法要簡(jiǎn)單一些，故可通過偏角法來計(jì)算漸伸線的長度，通過計(jì)算出的漸伸線長度再計(jì)算出曲線計(jì)劃正矢。這可為現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算計(jì)劃正矢提供一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的方法。

通過對(duì)現(xiàn)場(chǎng)大量的曲線進(jìn)行編程計(jì)算，把繩正法的計(jì)算結(jié)果和坐標(biāo)法的計(jì)算作對(duì)比分析，將一些有代表特征的數(shù)據(jù)分析羅列于圖4。從圖4中可以看出繩正法的計(jì)劃正矢誤差都比較小，且隨著曲線半徑的減少，誤差有所增加，當(dāng)半徑較小，轉(zhuǎn)角較大時(shí)，其誤差有所增加，但誤差最大也不超過0.06 mm，并且誤差最大點(diǎn)出現(xiàn)點(diǎn)HY、YH點(diǎn)附近，這是由于在HY、YH點(diǎn)是前后兩種不同的線形的過渡段。由于實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)曲線計(jì)劃正矢的設(shè)置、檢查、曲線整正來說一般取到其整數(shù)位即可，故其誤差對(duì)曲線計(jì)劃正矢的設(shè)置沒什么影響。對(duì)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用來說，利用坐標(biāo)法和偏角法來計(jì)算計(jì)劃正矢的方法較繩正法更為簡(jiǎn)單。

圖4 繩正法計(jì)劃正矢誤差分析

2.2 設(shè)計(jì)漸伸線誤差分析

從式(29)可以看出，撥距等于既有漸伸線長度減去計(jì)劃漸伸線之差，而既有漸伸線長度在計(jì)算時(shí)不會(huì)產(chǎn)生誤差，撥距的誤差只會(huì)產(chǎn)生在計(jì)劃漸伸線的計(jì)算中。利用坐標(biāo)法計(jì)算出的計(jì)劃正矢可計(jì)算出其計(jì)劃漸伸線的長度，其值應(yīng)該是精確的，將通過繩正法計(jì)算出的設(shè)計(jì)漸伸線長度同其作比較，可分析出其誤差的大小及產(chǎn)生規(guī)律。

把繩正法、偏角法、坐標(biāo)法計(jì)算的計(jì)劃正矢利用公式(式28)可計(jì)算出它們計(jì)劃漸伸線的長度，繩正法計(jì)算值和偏角法的計(jì)劃漸伸線值理論上應(yīng)該是相同的，通過對(duì)大量的曲線編程分析，也驗(yàn)證了這一結(jié)論。把繩正法計(jì)劃漸伸線的長度同坐標(biāo)法設(shè)計(jì)漸伸線長度進(jìn)行對(duì)比，可分析出繩正法的計(jì)劃漸伸線長度的誤差及規(guī)律。通過對(duì)現(xiàn)場(chǎng)大量的曲線進(jìn)行編程分析，選出與圖4對(duì)應(yīng)的幾條曲線，它的分析結(jié)果如圖5所示。從圖5可知，其計(jì)劃漸伸線的誤差都是正的，隨著測(cè)點(diǎn)的增加，其誤差也越來越大。這說明利用繩正法計(jì)算出的漸伸線長度比坐標(biāo)法計(jì)算出的大。在半徑較大，曲線較短時(shí)，其誤差較小，半徑越小，曲線越長時(shí)，其誤差越大，半徑300 m，曲線長1200 m時(shí)其誤差可達(dá)到200 mm，從圖4可知，其計(jì)劃正矢的誤差很小，最大也不會(huì)超過0.06 mm。從中可知，即使較小的計(jì)劃正矢誤差也引起較大漸伸線誤差，這是由漸伸線的計(jì)算特性決定的。如果將其誤差理解為修正值的話，可以認(rèn)為，只要滿足一定的曲線規(guī)律，即使較小的計(jì)劃正矢的修正值，也能修正較大的撥量。傳統(tǒng)方法在調(diào)整撥量大小時(shí)，通過調(diào)整計(jì)劃正矢使其撥量滿足曲線整正的原則，并且使其撥量較小，在傳統(tǒng)方法中，往往采用1 mm作為其修正值，通過以上分析可知，修正值取較小的值，如0.06 mm，也能得到較大的撥距修正值200 mm，從而能使撥距值變小。在高速鐵路有砟軌道地段，它對(duì)曲線的圓順度要求較高，如果計(jì)劃正矢的修正值過大的話，對(duì)曲線的圓順度的影響較大。通過上述分析可知，在采用修正計(jì)劃正矢時(shí)不用取1 mm，可以取如0.1、0.2 mm等，計(jì)劃正矢修正值取為0.1、0.2 mm時(shí)，它對(duì)曲線圓順度幾乎沒有什么影響，在高速鐵路有砟軌道地段采用此修正值既能取得較為滿意的曲線整正結(jié)果，又能滿足高速鐵路對(duì)曲線圓順度的要求。

3 結(jié)論

(1)偏角法和繩正法計(jì)算計(jì)劃正矢的方法都是利用漸伸線原理計(jì)算的，它們的計(jì)算結(jié)果是完全相同。但利用偏角法計(jì)算計(jì)劃正矢的公式簡(jiǎn)單，故在計(jì)算計(jì)劃正矢時(shí)，可利用偏角法代替繩正法進(jìn)行計(jì)劃正矢的計(jì)算，這為現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算計(jì)劃正矢提供了一種新的方法。

圖5 繩正法設(shè)計(jì)漸伸線誤差分析

(2)坐標(biāo)法計(jì)算出的計(jì)劃正矢的結(jié)果是精確的，用偏角法和繩正法計(jì)算的計(jì)劃正矢的結(jié)果和它相比，可得出它們的誤差。通過分析可知:隨著線路曲線半徑的減小，誤差也隨著增大，雖然在半徑較小時(shí)有一定的誤差，但這些誤差對(duì)曲線整正計(jì)算來說是可以忽略不計(jì)的。

(3)將繩正法和坐標(biāo)法計(jì)算出的計(jì)劃漸伸線長度進(jìn)行比較分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)半徑較小，長度較長時(shí)，即使較小的計(jì)劃正矢誤差也能引起較大漸伸線長度誤差。

(4)如果計(jì)劃正矢的修正位置選擇合適，即使較小的計(jì)劃正矢的修正值也能修正較大的撥距。故在高速鐵路有砟軌道地段，為了保證曲線圓順度的要求，計(jì)劃正矢的修正值可以取小一些，如修正值建議可采用0.1 mm或0.2 mm。

(5)利用這3種計(jì)算計(jì)劃正矢的公式，可以為曲線整正計(jì)算中計(jì)劃正矢的編程提供相應(yīng)的理論依據(jù)。

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