葉麗霞
(浙江外國語學院科學技術學院,浙江杭州310012)
在同調(diào)代數(shù)中,范疇的始對象、終對象和零對象是非常重要的概念.
定義1[1]11設C為范疇.若I∈obC滿足
定義2[1]11設C為范疇.若I∈obC滿足
則稱I為C的一個終對象.若Z同時是C中的始對象與終對象,則稱Z為C的一個零對象.
定義 3[2]172設有向圖 D= < V,E >=m.令為頂點vi鄰接到頂點vj的邊的條數(shù),稱()n×n為D的鄰接矩陣.
定義4[2]206一棵非平凡的有向樹,如果有一個頂點的入度為0,其余頂點的頂點的入度均為1,則稱此有向樹為根樹.在根樹中,入度為0的頂點稱為樹根;入度為1,出度為0的頂點稱為樹葉.
定義 5[2]157設 D= < V,E > 為 n 階有向圖,若,即圖中每個頂點的度都是0,則稱D為n階零圖.特別地,1階零圖也稱為平凡圖.
定義6[2]162設D= <V,E>為n階有向簡單圖,
則稱D為n階圈圖.
可以看出,范疇的定義比較抽象,而且范疇的始對象或終對象不一定存在.在文獻[1]的例5中,作者用圖來表示范疇,這樣就可以相對直觀地判斷出范疇的特殊對象.本文利用圖論知識建立了判斷范疇的始對象、終對象和零對象的兩個等價定理,并得到了偏序范疇等特殊范疇的相關推論.
設C為范疇,其中對象集是obC={a1,a2,…,an}.現(xiàn)規(guī)定obC為圖的頂點集,當不同對象ai到aj存在態(tài)射時,則在兩頂點之間連上一條有向邊,但忽略各對象到自身的恒等態(tài)射,于是范疇C可表示為一個沒有環(huán)和重邊的n階有向簡單圖.
定理1 設C為范疇,其中obC={a1,a2,…,an}.設圖G為范疇C對應的n階圖,則有
(1)若在圖G中,頂點ai到其余n-1個頂點都只有一條長度小于n的有向通路,則ai是范疇的一個始對象;
(2)若在圖G中,其余n-1個頂點到頂點ai都只有一條長度小于n的有向通路,則ai是范疇的一個終對象;
(3)若頂點ai同時滿足以上兩個條件,則ai是范疇的一個零對象.
證明 若在范疇C對應的圖G中,頂點ai到其余n-1個頂點都只有一條長度小于n的有向通路,則在范疇C中,對象ai到其余n-1個對象都只有一個態(tài)射,而ai到自身存在恒等態(tài)射,于是ai到每個對象都只有一個態(tài)射,根據(jù)定義1,ai是范疇C的一個始對象;同理,若在圖G中,其余n-1個頂點到頂點ai都只有一條有向通路,則在范疇C中每個對象到ai都只有一個態(tài)射,根據(jù)定義2,ai是C的一個終對象.第三種情形顯然成立.
由于任何一個有向圖都有唯一的鄰接矩陣,故定理1有以下一個等價定理:
定理2 設C為范疇,其中obC={a1,a2,…,an}.設圖G為范疇C對應的n階圖,A為圖G的鄰接矩陣,令矩陣 B=A+A2+ … +An-1,則有
(1)若在矩陣B的第i行中,bii=0,該行其余元素都是1,則頂點ai是范疇C的一個始對象;
(2)若在矩陣B的第i列中,bii=0,該列其余元素都是1,則頂點ai是范疇C的一個終對象;
(3)若在矩陣B的第i行和第i列中,bii=0,第i行和第i列的其余元素都是1,則頂點ai是C的一個零對象.
當范疇對應的圖是一些特殊圖時,可得到相應的推論.
任意偏序集合C=(obC,≤)可看作一個范疇,其中obC的元素為對象,對象ai到aj存在一個態(tài)射當且僅當ai≤aj.把偏序關系的關系圖刪去所有環(huán),就得到偏序范疇對應的圖,于是有以下結(jié)論:
推論1 設C是一個偏序范疇,于是范疇存在始對象當且僅當obC存在一個最小元;范疇存在終對象當且僅當obC存在一個最大元.特別地,若范疇只有一個對象,則此對象是零對象.
證明 若ai是偏序集C=(obC,≤)的最小元,則ai≤aj對所有aj∈obC都成立.于是在范疇C對應的圖中,頂點ai到其余n-1個頂點都只有一條長度小于n的有向通路,由定理1,ai是C的一個始對象.同理可證最大元就是終對象.若范疇只有一個對象,則此對象既是最小元也是最大元,從而它是零對象.
實際上,由于偏序范疇對應的圖和哈斯圖一一對應,因此在推論1的實際應用中,也可以根據(jù)哈斯圖來判斷特殊對象.在哈斯圖中,若最下端的頂點只有一個,那么它就是始對象;若最上端的頂點只有一個,那么它就是終對象.在全序關系的哈斯圖中,最下端的頂點就是始對象,最上端的頂點就是終對象.
例 集合obC={1,2,3,6}上的整除關系是一個偏序關系,偏序范疇C對應的圖和哈斯圖分別如圖1中(1)、(2)所示,顯然最小元1和最大元6分別是偏序范疇的始對象和終對象.
圖1 偏序范疇對應的圖和哈斯圖
推論2 若范疇對應的圖是一棵根樹,則根樹的樹根為范疇的始對象,當且僅當根樹只有一片樹葉時,該樹葉是范疇的終對象.另外,當根樹是一棵平凡樹時,它的唯一頂點是范疇的零對象.
證明 由定義4易知樹根到其余頂點都只有一條長度小于n的有向通路,由定理1,樹根為范疇的始對象.若根樹只有一片樹葉,那么其余頂點到該樹葉都只有一條長度小于n的有向通路,于是該樹葉是范疇的終對象.當根樹是一棵平凡樹時,它的唯一頂點顯然是零對象.
推論3 若范疇對應的圖是一個n階零圖,則當n>1時,范疇不存在始對象和終對象;當n=1時,該唯一頂點是零對象.
證明 由定義5易知零圖中的每個頂點都是孤立點,則每個頂點到其它頂點都沒有通路,于是只有當n=1時,該唯一頂點是零對象.
推論4 設范疇C對應的圖是一個n階圈圖,其中obC={a1,a2,…,an},且邊集E={<a1,a2>,<a2,a3>,…,<an-1,an>,<an,a1>},則頂點 a1是零對象.
證明 由定義6,圈圖的邊集 E={<a1,a2>,<a2,a3>,…,<an-1,an>,<an,a1>},則頂點 a1到每個頂點都有一條長度小于n的有向通路,根據(jù)定理1,頂點a1是零對象.
[1]佟文廷.同調(diào)代數(shù)引論[M].北京:高等教育出版社,1998.
[2]屈婉玲,耿素云,張立昂.離散數(shù)學[M].2版.北京:清華大學出版社,2008.