馬文靜

(中鐵工程設(shè)計咨詢集團有限公司，北京 100055)

1 概述

列車行車對鐵路曲線的圓順性有著較高的要求，特別是行車速度較快時，不圓順的鐵路曲線將造成行車質(zhì)量下滑，降低乘坐舒適性，增加輪軌磨耗等一系列問題，嚴重的還會影響到行車安全。因此，鐵路曲線的圓順性管理從來都是鐵路運營管理的一項重要內(nèi)容。曲線正矢是評價曲線是否圓順的量化指標，在實際工作場合被廣泛應(yīng)用，針對不同的曲線半徑有著非常細致的具體規(guī)定［1］。傳統(tǒng)的鐵路曲線正矢管理常以漸伸線原理為計算基礎(chǔ)，以10m或20m弦長測量為實施手段，具有計算比較簡單，易于手工計算的優(yōu)點［2－3］。然而，隨著鐵路軌道測量方法的進步，偏角法、矢距法等傳統(tǒng)曲線測量方法讓位于軌道坐標測量法，因此需要一種基于軌道坐標、穩(wěn)定可靠且能計算任意弦長的曲線正矢計算方法，實現(xiàn)軌道測量的內(nèi)外業(yè)一體化。

2 曲線正矢計算的嚴密模型

鐵路線路的線形由直線、緩和曲線、圓曲線三種要素構(gòu)成，當計算正矢的弦線的兩端都處于同一種線形時，則分析起來較為簡單:直線上的正矢為零;圓曲線上的正矢為一常數(shù)，且正矢值是圓曲線半徑及弦長的函數(shù);緩和曲線上的正矢為漸變量，其值跟弦線在緩和曲線上所處的位置有關(guān)，且也存在以漸伸線原理為基礎(chǔ)的簡單公式用于計算。但是當弦線兩端跨越不同的線形時，情況則較為復(fù)雜。為了將上述所有情況進行統(tǒng)一考慮，有必要建立適應(yīng)各種情況的曲線正矢計算的嚴密數(shù)學(xué)模型。

圖1 曲線正矢示意

在給定弦長S的情況下，求曲線上P點的正矢，則其幾何關(guān)系如圖1所示。

弦線的兩端點P1及P2在曲線上，弦線的中點P0與P的連線垂直于弦線，且P1與P2之間的距離為S，則P－P0的長度即為要求的正矢。假設(shè)已知P點的坐標及里程分別為(XP，YP)及 LP，P0、P1、P2三點的坐標分別為(X0，Y0)、(X1，Y1)及(X2，Y2)，則有如下數(shù)學(xué)關(guān)系

式(1)中，f1及f2分別表示P1及P2所處曲線的函數(shù)關(guān)系，當P1及P2處于同一段曲線時，f1與f2相同，當P1及P2處于不同曲線時，f1與f2不同，由此建立起適用于所有情況的正矢計算模型。需要引起注意的是，式(1)是基于大地坐標系建立的方程組，而緩和曲線通常是基于獨立坐標系并以參數(shù)方程［4］的形式給出，因此還需要針對緩和曲線建立獨立坐標系到大地坐標間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

式(2)為緩和曲線的參數(shù)方程形式，(x，y)表示獨立坐標系下緩和曲線上某點的坐標，設(shè)(X，Y)是該點在大地坐標系下的坐標，則兩者之間可建立如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系［5］

式(3)中ΔX、ΔY為平移參數(shù)，也即為緩和曲線起點在大地坐標系中的坐標，ε為旋轉(zhuǎn)角，可根據(jù)已知的線路設(shè)計平曲線參數(shù)求得，由于緩和曲線獨立坐標系與大地坐標系的尺度相同，因此轉(zhuǎn)換關(guān)系中不存在尺度因子。

在建立曲線正矢的數(shù)學(xué)模型后，剩下的工作即為解算由式(1)～(3)組成的方程組。仔細觀測上述方程組可知，未知數(shù)實際上只有四個，分別是P1及P2的大地坐標。式(1)本質(zhì)上為包含四個未知數(shù)的高次多元非線性方程組，可采用全微分線性化降次并組成線形方程組的方法求解［6］，其解算步驟如下:

①以P點的里程LP為中心，結(jié)合線路設(shè)計曲線，分別判斷LP－S/2及LP+S/2里程處于的曲線線形，從而確定f1及f2的表達形式;同時計算LP－S/2及LP+S/2里程處的線路大地坐標，作為弦線端點P1及P2的近似坐標。

②以P1及P2的大地坐標為未知參數(shù)，對式(1)進行全微分線性化并組成誤差方程組。在緩和曲線段當顧及到式(2)及式(3)的情況下，方程組將變得較為復(fù)雜，使得人工進行線性化工作非常困難，此時可采用matlab符號計算完成本步驟。

③以步驟1求得的P1及P2的坐標為近似值，帶入步驟2求得的誤差方程組，解線性方程組。由于存在四個相互獨立的條件，因此剛好可以解除四個未知數(shù)。將求得的結(jié)果作為輸入值再次帶入誤差方程組進行計算，直到兩次結(jié)果之差滿足事先給定的閾值，則結(jié)束迭代計算過程。

通過上述步驟解出P1及P2的坐標后，即可采用簡單的的線段分中公式求得P0的坐標，進而采用距離公式求得P－P0的長度，也即正矢值。

3 曲線正矢計算新方法

上述曲線正矢計算的嚴密模型雖然能夠用于求解任意弦長的正矢值，然而其計算過程太過復(fù)雜繁瑣，在某些情況甚至?xí)l(fā)生迭代計算不收斂的情形，嚴重影響計算機自動化解算正矢的穩(wěn)定性與可靠性，因此有必要發(fā)展一種數(shù)值計算穩(wěn)定且計算精度滿足要求的新方法。分析正矢計算嚴密模型的解算步驟可知，在迭代計算過程中需要用到弦線兩端點的近似坐標作為初值，也即在迭代計算之前，已經(jīng)獲得了一條近似的弦線。考慮到給定的弦長通常遠小于設(shè)計曲線半徑，因此可以通過逐步逼近弦長的方式來解算弦線的兩端點坐標，具體步驟如下:

①以P點的里程LP為中心，結(jié)合線路設(shè)計曲線，分別計算LP－S/2及LP+S/2里程處的端點P'1及P'2的線路大地坐標，作為弦線端點P1及P2的近似坐標。根據(jù)里程求坐標，需要區(qū)分里程點處于直線、緩和曲線、圓曲線三種情況，其中直線及圓曲線兩種情況可直接在大地坐標系下依據(jù)相應(yīng)的直線方程及圓方程求解，緩和曲線的情況需要借助式(2)及式(3)，先求得獨立坐標系下的坐標，再通過坐標轉(zhuǎn)換來完成。

②計算P'1及P'2兩點間的距離S'，計算S'與給定弦長S的差值，并對第一步中用于計算近似端點坐標的里程進行修正，修正按照下式進行

根據(jù)式(4)中的L'1及L'2，重新計算弦線近似端點P'1及P'2的大地坐標，然后再次計算近似弦長及其與給定弦長S的差值，如果差值大于某一給定的閾值，則重復(fù)上述的里程修正及坐標計算過程，直到計算弦長與給定弦長的差值小于閾值，則結(jié)束迭代過程。

③由已知弦線的兩端點坐標，計算該弦線的中點坐標，然后應(yīng)用距離公式計算中點坐標與P點的距離，該距離即為正矢值。

由上述計算步驟可見，正矢計算新方法完全基于坐標建模，不涉及漸伸線等復(fù)雜概念，以弦線長度作為逼近準則，能夠?qū)崿F(xiàn)任意弦長的正矢值計算，沒有復(fù)雜的計算過程，數(shù)值計算穩(wěn)定可靠，在應(yīng)用計算機進行正矢的自動化計算過程中具有顯著優(yōu)勢。

4 算例分析

為驗證本文提出的正矢計算新方法，選取某客運專線右線的一段設(shè)計平曲線數(shù)據(jù)進行分析。該段數(shù)據(jù)共包含四條曲線，曲線總長約8 315m，曲線半徑各不相同，其中左偏曲線兩條，右偏曲線兩條，具體情況如表1所示。

表1 試驗段曲線情況統(tǒng)計 m

基于上述數(shù)據(jù)，以300m為弦長，以2.5m為里程，以1 mm為弦長逼近閾值，采用新方法從每條曲線的起點開始逐點計算正矢值。經(jīng)計算得到的弦線長度與給定弦長的差值及θ角(見圖1)與π/2的差值的分布情況如圖2所示。

圖2 新方法所得之弦長差值及角度差值的分布如

其中Δθ按下式計算:

圖2中數(shù)據(jù)按照表1給定的順序排列。由“逼近弦長與給定弦長的差值”可知，在圓曲線段，弦長的逼近效果非常好，且曲線半徑越大，逼近效果越好(如第四條圓曲線所示之1000～1 500點之間)，在400點位置附近有一個凸起，這是由于第二條曲線的圓曲線部分太短且不足300m，導(dǎo)致弦線至少有一段總是處于緩和曲線上，從而對逼近效果造成了影響;另一方面，在三次迭代以內(nèi)，即使是緩和曲線段的弦線也能將長度差值控制在給定閾值1 mm以內(nèi)，即圖中所示的尖峰部分。同時，由“弦長逼近方法的角度差值”可知，緩和曲線段的θ角與π/2存在差異，且曲線半徑越小，差異越大(如第一條曲線所示之50點及250點附近，角度差值達到最大約0.33°);在波谷所示之圓曲線段，θ角則與π/2非常接近，但是從總體上看，Δθ的值并不大，這表明弦線與正式的垂直關(guān)系良好。

同時，按照正式計算的嚴密模型，解算相同里程點處的正矢，得到的正矢值及兩種方法所得正矢值的差值的分布情況如圖3所示。

圖3 300m弦正矢及兩種方法正矢差值分布

由圖3之“300m弦曲線正矢”可知，隨著半徑的增大，每條曲線的正矢最大值逐步減小，且對每一條曲線而言，正矢值從緩和曲線起點開始逐步增加，在圓曲線段達到最大值且保持為一個常數(shù)，然后經(jīng)由緩和曲線段逐步減小，因此從圖中可明顯看出四條曲線的正矢值的分布情況;“兩種算法所得正矢值之差”則表明了嚴密方法與新方法所求得的正矢值的差異，從分布看這種差異非常小，最大值也僅為0.5 mm左右，而相對于約8m的正矢值，相對誤差完全可以忽略不計，且這種差異還會隨著曲線半徑的增大而急劇減小。

經(jīng)上述分析可見，在不同的曲線半徑特別是小曲線半徑的情況下，采用新方法計算得到的300m弦長正矢值，與采用嚴密方法得到的正矢值間不存在顯著差異，從應(yīng)用的角度看可以視為等同;且弦長逼近的精度良好，正矢與弦線的垂直關(guān)系也良好，表明由新方法得到的弦線位置也是正確的。另一方面，文中僅就300m弦長的情況進行了數(shù)值分析，對于弦長小于300m的情況，兩種方法間的數(shù)值差異將會更小，因此不再贅述。

5 結(jié)束語

在分析了計算曲線正矢的嚴密模型的基礎(chǔ)上，提出了一種基于弦長逼近的曲線正矢計算新方法，并通過數(shù)值分析表明，兩種方法的數(shù)值計算結(jié)果從應(yīng)用的角度看不存在顯著差異，可以認為是一致的。另一方面，新方法模型簡單，計算簡便，數(shù)值計算的穩(wěn)定性及可靠性均較嚴密模型顯著提高，非常適合計算機自動化處理。在鐵路建設(shè)及運營管理中，軌道的平順性管理是非常重要的一環(huán)，而曲線的任意弦長正矢計算則是平順性管理的首要任務(wù)與基礎(chǔ)。

［1］鐵運［2006］146號 鐵路線路修理規(guī)則［S］．北京:中國鐵道出版社，2006

［2］鐵道部第二勘察設(shè)計院．鐵路測量手冊［M］．北京:中國鐵道出版社，1998

［3］廉永勝．曲線正矢、負矢的計算［J］．通化師院學(xué)報(自然科學(xué))，1997(4):32－36

［4］王兆祥．鐵道工程測量［M］．北京:中國鐵道出版社，1998

［5］張正祿．工程測量學(xué)［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2005

［6］朱方生，李大美，李素貞．計算方法［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2003