馬文靜
(中鐵工程設(shè)計咨詢集團有限公司,北京 100055)
列車行車對鐵路曲線的圓順性有著較高的要求,特別是行車速度較快時,不圓順的鐵路曲線將造成行車質(zhì)量下滑,降低乘坐舒適性,增加輪軌磨耗等一系列問題,嚴重的還會影響到行車安全。因此,鐵路曲線的圓順性管理從來都是鐵路運營管理的一項重要內(nèi)容。曲線正矢是評價曲線是否圓順的量化指標,在實際工作場合被廣泛應(yīng)用,針對不同的曲線半徑有著非常細致的具體規(guī)定[1]。傳統(tǒng)的鐵路曲線正矢管理常以漸伸線原理為計算基礎(chǔ),以10m或20m弦長測量為實施手段,具有計算比較簡單,易于手工計算的優(yōu)點[2-3]。然而,隨著鐵路軌道測量方法的進步,偏角法、矢距法等傳統(tǒng)曲線測量方法讓位于軌道坐標測量法,因此需要一種基于軌道坐標、穩(wěn)定可靠且能計算任意弦長的曲線正矢計算方法,實現(xiàn)軌道測量的內(nèi)外業(yè)一體化。
鐵路線路的線形由直線、緩和曲線、圓曲線三種要素構(gòu)成,當計算正矢的弦線的兩端都處于同一種線形時,則分析起來較為簡單:直線上的正矢為零;圓曲線上的正矢為一常數(shù),且正矢值是圓曲線半徑及弦長的函數(shù);緩和曲線上的正矢為漸變量,其值跟弦線在緩和曲線上所處的位置有關(guān),且也存在以漸伸線原理為基礎(chǔ)的簡單公式用于計算。但是當弦線兩端跨越不同的線形時,情況則較為復(fù)雜。為了將上述所有情況進行統(tǒng)一考慮,有必要建立適應(yīng)各種情況的曲線正矢計算的嚴密數(shù)學(xué)模型。
圖1 曲線正矢示意
在給定弦長S的情況下,求曲線上P點的正矢,則其幾何關(guān)系如圖1所示。
弦線的兩端點P1及P2在曲線上,弦線的中點P0與P的連線垂直于弦線,且P1與P2之間的距離為S,則P-P0的長度即為要求的正矢。假設(shè)已知P點的坐標及里程分別為(XP,YP)及 LP,P0、P1、P2三點的坐標分別為(X0,Y0)、(X1,Y1)及(X2,Y2),則有如下數(shù)學(xué)關(guān)系
式(1)中,f1及f2分別表示P1及P2所處曲線的函數(shù)關(guān)系,當P1及P2處于同一段曲線時,f1與f2相同,當P1及P2處于不同曲線時,f1與f2不同,由此建立起適用于所有情況的正矢計算模型。需要引起注意的是,式(1)是基于大地坐標系建立的方程組,而緩和曲線通常是基于獨立坐標系并以參數(shù)方程[4]的形式給出,因此還需要針對緩和曲線建立獨立坐標系到大地坐標間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
式(2)為緩和曲線的參數(shù)方程形式,(x,y)表示獨立坐標系下緩和曲線上某點的坐標,設(shè)(X,Y)是該點在大地坐標系下的坐標,則兩者之間可建立如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系[5]
式(3)中ΔX、ΔY為平移參數(shù),也即為緩和曲線起點在大地坐標系中的坐標,ε為旋轉(zhuǎn)角,可根據(jù)已知的線路設(shè)計平曲線參數(shù)求得,由于緩和曲線獨立坐標系與大地坐標系的尺度相同,因此轉(zhuǎn)換關(guān)系中不存在尺度因子。
在建立曲線正矢的數(shù)學(xué)模型后,剩下的工作即為解算由式(1)~(3)組成的方程組。仔細觀測上述方程組可知,未知數(shù)實際上只有四個,分別是P1及P2的大地坐標。式(1)本質(zhì)上為包含四個未知數(shù)的高次多元非線性方程組,可采用全微分線性化降次并組成線形方程組的方法求解[6],其解算步驟如下:
①以P點的里程LP為中心,結(jié)合線路設(shè)計曲線,分別判斷LP-S/2及LP+S/2里程處于的曲線線形,從而確定f1及f2的表達形式;同時計算LP-S/2及LP+S/2里程處的線路大地坐標,作為弦線端點P1及P2的近似坐標。
②以P1及P2的大地坐標為未知參數(shù),對式(1)進行全微分線性化并組成誤差方程組。在緩和曲線段當顧及到式(2)及式(3)的情況下,方程組將變得較為復(fù)雜,使得人工進行線性化工作非常困難,此時可采用matlab符號計算完成本步驟。
③以步驟1求得的P1及P2的坐標為近似值,帶入步驟2求得的誤差方程組,解線性方程組。由于存在四個相互獨立的條件,因此剛好可以解除四個未知數(shù)。將求得的結(jié)果作為輸入值再次帶入誤差方程組進行計算,直到兩次結(jié)果之差滿足事先給定的閾值,則結(jié)束迭代計算過程。
通過上述步驟解出P1及P2的坐標后,即可采用簡單的的線段分中公式求得P0的坐標,進而采用距離公式求得P-P0的長度,也即正矢值。
上述曲線正矢計算的嚴密模型雖然能夠用于求解任意弦長的正矢值,然而其計算過程太過復(fù)雜繁瑣,在某些情況甚至?xí)l(fā)生迭代計算不收斂的情形,嚴重影響計算機自動化解算正矢的穩(wěn)定性與可靠性,因此有必要發(fā)展一種數(shù)值計算穩(wěn)定且計算精度滿足要求的新方法。分析正矢計算嚴密模型的解算步驟可知,在迭代計算過程中需要用到弦線兩端點的近似坐標作為初值,也即在迭代計算之前,已經(jīng)獲得了一條近似的弦線。考慮到給定的弦長通常遠小于設(shè)計曲線半徑,因此可以通過逐步逼近弦長的方式來解算弦線的兩端點坐標,具體步驟如下:
①以P點的里程LP為中心,結(jié)合線路設(shè)計曲線,分別計算LP-S/2及LP+S/2里程處的端點P'1及P'2的線路大地坐標,作為弦線端點P1及P2的近似坐標。根據(jù)里程求坐標,需要區(qū)分里程點處于直線、緩和曲線、圓曲線三種情況,其中直線及圓曲線兩種情況可直接在大地坐標系下依據(jù)相應(yīng)的直線方程及圓方程求解,緩和曲線的情況需要借助式(2)及式(3),先求得獨立坐標系下的坐標,再通過坐標轉(zhuǎn)換來完成。
②計算P'1及P'2兩點間的距離S',計算S'與給定弦長S的差值,并對第一步中用于計算近似端點坐標的里程進行修正,修正按照下式進行
根據(jù)式(4)中的L'1及L'2,重新計算弦線近似端點P'1及P'2的大地坐標,然后再次計算近似弦長及其與給定弦長S的差值,如果差值大于某一給定的閾值,則重復(fù)上述的里程修正及坐標計算過程,直到計算弦長與給定弦長的差值小于閾值,則結(jié)束迭代過程。
③由已知弦線的兩端點坐標,計算該弦線的中點坐標,然后應(yīng)用距離公式計算中點坐標與P點的距離,該距離即為正矢值。
由上述計算步驟可見,正矢計算新方法完全基于坐標建模,不涉及漸伸線等復(fù)雜概念,以弦線長度作為逼近準則,能夠?qū)崿F(xiàn)任意弦長的正矢值計算,沒有復(fù)雜的計算過程,數(shù)值計算穩(wěn)定可靠,在應(yīng)用計算機進行正矢的自動化計算過程中具有顯著優(yōu)勢。
為驗證本文提出的正矢計算新方法,選取某客運專線右線的一段設(shè)計平曲線數(shù)據(jù)進行分析。該段數(shù)據(jù)共包含四條曲線,曲線總長約8 315m,曲線半徑各不相同,其中左偏曲線兩條,右偏曲線兩條,具體情況如表1所示。
表1 試驗段曲線情況統(tǒng)計 m
基于上述數(shù)據(jù),以300m為弦長,以2.5m為里程,以1 mm為弦長逼近閾值,采用新方法從每條曲線的起點開始逐點計算正矢值。經(jīng)計算得到的弦線長度與給定弦長的差值及θ角(見圖1)與π/2的差值的分布情況如圖2所示。
圖2 新方法所得之弦長差值及角度差值的分布如
其中Δθ按下式計算:
圖2中數(shù)據(jù)按照表1給定的順序排列。由“逼近弦長與給定弦長的差值”可知,在圓曲線段,弦長的逼近效果非常好,且曲線半徑越大,逼近效果越好(如第四條圓曲線所示之1000~1 500點之間),在400點位置附近有一個凸起,這是由于第二條曲線的圓曲線部分太短且不足300m,導(dǎo)致弦線至少有一段總是處于緩和曲線上,從而對逼近效果造成了影響;另一方面,在三次迭代以內(nèi),即使是緩和曲線段的弦線也能將長度差值控制在給定閾值1 mm以內(nèi),即圖中所示的尖峰部分。同時,由“弦長逼近方法的角度差值”可知,緩和曲線段的θ角與π/2存在差異,且曲線半徑越小,差異越大(如第一條曲線所示之50點及250點附近,角度差值達到最大約0.33°);在波谷所示之圓曲線段,θ角則與π/2非常接近,但是從總體上看,Δθ的值并不大,這表明弦線與正式的垂直關(guān)系良好。
同時,按照正式計算的嚴密模型,解算相同里程點處的正矢,得到的正矢值及兩種方法所得正矢值的差值的分布情況如圖3所示。
圖3 300m弦正矢及兩種方法正矢差值分布
由圖3之“300m弦曲線正矢”可知,隨著半徑的增大,每條曲線的正矢最大值逐步減小,且對每一條曲線而言,正矢值從緩和曲線起點開始逐步增加,在圓曲線段達到最大值且保持為一個常數(shù),然后經(jīng)由緩和曲線段逐步減小,因此從圖中可明顯看出四條曲線的正矢值的分布情況;“兩種算法所得正矢值之差”則表明了嚴密方法與新方法所求得的正矢值的差異,從分布看這種差異非常小,最大值也僅為0.5 mm左右,而相對于約8m的正矢值,相對誤差完全可以忽略不計,且這種差異還會隨著曲線半徑的增大而急劇減小。
經(jīng)上述分析可見,在不同的曲線半徑特別是小曲線半徑的情況下,采用新方法計算得到的300m弦長正矢值,與采用嚴密方法得到的正矢值間不存在顯著差異,從應(yīng)用的角度看可以視為等同;且弦長逼近的精度良好,正矢與弦線的垂直關(guān)系也良好,表明由新方法得到的弦線位置也是正確的。另一方面,文中僅就300m弦長的情況進行了數(shù)值分析,對于弦長小于300m的情況,兩種方法間的數(shù)值差異將會更小,因此不再贅述。
在分析了計算曲線正矢的嚴密模型的基礎(chǔ)上,提出了一種基于弦長逼近的曲線正矢計算新方法,并通過數(shù)值分析表明,兩種方法的數(shù)值計算結(jié)果從應(yīng)用的角度看不存在顯著差異,可以認為是一致的。另一方面,新方法模型簡單,計算簡便,數(shù)值計算的穩(wěn)定性及可靠性均較嚴密模型顯著提高,非常適合計算機自動化處理。在鐵路建設(shè)及運營管理中,軌道的平順性管理是非常重要的一環(huán),而曲線的任意弦長正矢計算則是平順性管理的首要任務(wù)與基礎(chǔ)。
[1]鐵運[2006]146號 鐵路線路修理規(guī)則[S].北京:中國鐵道出版社,2006
[2]鐵道部第二勘察設(shè)計院.鐵路測量手冊[M].北京:中國鐵道出版社,1998
[3]廉永勝.曲線正矢、負矢的計算[J].通化師院學(xué)報(自然科學(xué)),1997(4):32-36
[4]王兆祥.鐵道工程測量[M].北京:中國鐵道出版社,1998
[5]張正祿.工程測量學(xué)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2005
[6]朱方生,李大美,李素貞.計算方法[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2003