Mathstudio在弦振動實驗研究中的應(yīng)用

蔡春雨，李鴻明，韓元春，薩仁高娃，程玉梅，苗秀娟，趙翠蘭

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000)

由于弦振動實驗既可以鍛煉學(xué)生作圖能力、分析和解決問題能力，又利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和探索精神，因此，對該實驗的研究始終是教學(xué)研究的熱點之一[1-6]。利用弦振動實驗裝置測量了弦線的波長[7]和線密度[8]、懸掛固體的密度[9]和浸入液體的密度[10，11]。使用最小二乘法，origin或matlab對弦振動實驗進行了一系列研究[7，12-16]。Mathstudio以其便捷、高效、專業(yè)的特點，已逐漸應(yīng)用在大學(xué)物理實驗和數(shù)學(xué)的教學(xué)領(lǐng)域[17-22]。盡管弦振動實驗如此重要，mathstudio又有這么多優(yōu)點，但是從未有學(xué)者將二者結(jié)合起來。在大學(xué)物理實驗教改背景下[23-25]，為了助力大學(xué)物理實驗課程改革，本文研究了mathstudio在驗證弦振動規(guī)律和基于弦振動實驗做進一步測量方面的應(yīng)用，并與現(xiàn)有文獻結(jié)果做了對比分析。

1 弦振動實驗原理

在一根拉緊的弦線上，張力為T，線密度為ρ線，則沿弦線傳播的橫波應(yīng)滿足方程：

(1)

其中，x為波在傳播方向上的位置坐標(biāo)，y為弦線上各點的振動位移；

(2)

假設(shè)弦線的振動頻率為f，橫波波長為λ，則波速理論值為：

u=λ·f

(3)

聯(lián)立式(2)與式(3)，得波長：

(4)

上式可利用駐波原理得出。由駐波實驗規(guī)律知，當(dāng)弦線兩個固定端之間距離L等于半波長整數(shù)倍時，就能形成駐波，記為：

(5)

式中n為弦線上駐波的半波數(shù)。

2 Mathstudio在弦振動實驗中的具體應(yīng)用

2.1 驗證弦振動規(guī)律的正確性

將式(4)兩邊取自然對數(shù)：

(6)

接下來，將分兩種情況來驗證弦振動規(guī)律。

1) 弦線線密度和振動頻率不變情況下

采用文獻[14]中的研究數(shù)據(jù)，利用mathstudio，圖1顯示了弦線張力和波長的自然對數(shù)的關(guān)系。

圖1 ρ線和f一定情況下，利用mathstudio擬合文獻[14]中l(wèi)nT～lnλ關(guān)系

從圖1中可以看出，mathstudio所擬合lnT～lnλ直線的斜率為0.497 592 14，與文獻[14]用最小二乘法所得結(jié)果一致；另外，本文所得結(jié)果具有更高精度，且相關(guān)系數(shù)更接近1，因此擬合效果更好。由于mathstudio僅反饋程序最后一行命令的結(jié)果，因此，在圖1的基礎(chǔ)上，圖2展示了文獻[14]中作圖所需的其他相關(guān)數(shù)據(jù)信息，與文獻[14]中結(jié)果相同。相比文獻[14]中用origin軟件繪圖的方式，用mathstudio計算文獻[14]中弦振動相關(guān)數(shù)據(jù)的方法，更便捷、效率與精度更高。

2) 弦線線密度和張力不變情況下

在這種情況下，通過測量弦線在不同振動頻率f下的波長λ，并以lnf為橫坐標(biāo)、lnλ為縱坐標(biāo)，作lnf～lnλ圖像，若得一斜率值為-1的直線，則驗證了式(4)中λ與f成反比的規(guī)律。

在T=49.720 N，ρ線固定的情況下，以文獻[16]中實驗數(shù)據(jù)為例，利用mathstudio擬合的lnf～lnλ關(guān)系，如圖3所示。容易看出：①圖3中擬合直線的斜率為1.023 478，非常接近1，擬合效果很好地驗證了式(4)中λ與f成反比的規(guī)律；②在驗證式(4)正確性方面，圖3比文獻[16]中使用Matlab軟件繪制的f～λ圖像更恰當(dāng)、更具說服力。

圖2 在圖1基礎(chǔ)上，用mathstudio輸出繪制lnT～lnλ圖像所需數(shù)據(jù)

圖3 T=49.720 N，ρ線固定的情況下，利用mathstudio擬合文獻[16]中l(wèi)nf～lnλ關(guān)系

圖4 利用mathstudio直接計算文獻[7]中弦線波長及其誤差

2.2 利用弦振動實驗做進一步測量

基于弦振動實驗，本節(jié)將展示如何利用mathstudio計算弦線波長與線密度以及浸入液體和懸掛固體的密度。

1) 測量弦線波長

本節(jié)利用mathstudio分別使用直接法和作圖法計算了弦線波長，并將運算結(jié)果與文獻[7]中結(jié)果做了對比分析。

(1) 直接計算弦線波長

由第1節(jié)弦振動實驗原理知，弦線波長可由式(4)和式(5)分別求出。以文獻[7]中數(shù)據(jù)為例，圖4展示了利用mathstudio直接計算弦線波長及其相對誤差的全部過程。本文所得結(jié)果與文獻[7]中的結(jié)果一致。

(2) 作圖法計算弦線波長

文獻[7]提出了利用作圖法測量弦線波長的方法。受其啟發(fā)，本小節(jié)利用mathstudio和文獻[7]中實驗數(shù)據(jù)，擬合lgT～lgf的變化關(guān)系，來測量弦線波長，如圖5所示。

由圖5看出，lgT～lgf擬合直線的相關(guān)系數(shù)為0.999 002，擬合效果很好，從側(cè)面再次驗證了弦振動規(guī)律的正確性。同時，圖5剩下的兩行命令，計算、輸出了文獻[7]中用origin擬合、繪制lgT～lgf圖像所需的數(shù)據(jù)，與文獻[7]中結(jié)果相同，展示出mathstudio在計算和輸出數(shù)據(jù)方面的強大與便捷。

圖5 l=0.6 m，n=3時，利用mathstudio擬合文獻[7]中l(wèi)gT～lgf的關(guān)系

利用圖5中l(wèi)gT～lgf擬合直線的截距，圖6展示了使用mathstudio進一步計算弦線波長和弦線兩個固定端之間的距離的理論值及其與實驗值相對誤差的詳細過程。計算結(jié)果表明，弦線波長和弦線兩個固定端之間的距離的理論值與其實驗值的相對誤差是相同的，均為5.150 9%，與文獻[7]中用origin擬合、運算的結(jié)果一致。

圖6 在圖5的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用mathstudio和作圖法計算、輸出文獻[7]中弦線波長和兩個固定端之間的距離及其與實驗值的相對誤差

2) 測量弦線的線密度

本節(jié)將分三種情況展示mathstudio在測量弦線線密度中的具體用法，并將計算結(jié)果與現(xiàn)有文獻做了對比分析。第一種情況基于弦線線密度的定義，利用mathstudio直接對其進行計算；第二和三種情況，是在2.1節(jié)驗證弦振動規(guī)律的基礎(chǔ)上，進一步利用所擬合直線的截距信息，計算弦線的線密度，一方面彌補了弦振動該方面的研究，另一方面，對比分析了mathstudio運算結(jié)果與其他軟件或方法所得結(jié)果。

(1) 直接計算弦線線密度的情況

根據(jù)弦線線密度的定義：

(7)

其中，m和L原分別表示弦線的總質(zhì)量和當(dāng)弦線中張力為零時弦線的總長度。

以文獻[14]中數(shù)據(jù)為例，利用mathstudio直接計算弦線ρ線的程序，如圖7所示。從圖容易看出，本文所得結(jié)果與文獻[14]中結(jié)果完全一致；同時，圖7中上、下兩部分內(nèi)容的對比分析，展示了用mathstudio進行單位換算的便捷性。

圖7 利用mathstudio直接計算文獻[14]中弦線線密度

(2) 固定弦線線密度和振動頻率情況下

(8)

圖8展示的是利用式(8)計算文獻[13]中弦線線密度的程序。由于文獻[13]未提供弦線線密度信息，而本文使用mathstudio發(fā)掘了該文獻弦振動實驗數(shù)據(jù)中的隱藏信息。

圖8 ρ線和f一定情況下，利用mathstudio計算文獻[13]中弦線的線密度

(3) 固定弦線線密度和張力情況下

在2.1節(jié)第2)部分的基礎(chǔ)上，將式(6)與lnλ=-lnf+B′對比，利用lnf～lnλ擬合直線的截距B′，就可以通過下式計算該弦線的線密度：

=T·e-2B′

(9)

在圖3基礎(chǔ)上，圖9展示了計算文獻[16]中弦線線密度的過程。因文獻[16]中未給出ρ線相關(guān)參數(shù)，但本文在ρ線和T一定情況下，利用lnf～lnλ圖的截距信息，發(fā)掘了文獻[16]中的隱藏信息，一方面拓展了弦振動實驗的研究，另一方面通過mathstudio在物理實驗中的運用，提升和培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。

圖9 ρ線和T一定情況下，利用mathstudio計算文獻[16]中弦線的線密度

3) 進一步測量密度

通過巧改弦振動裝置，本小節(jié)利用弦振動實驗進一步測量浸入液體的密度以及弦線下方懸掛固體的密度。另外，在測量浸入液體密度的同時，又在其他參數(shù)相同的情況下，利用L2～M圖像的斜率，拓展了弦線線密度的測量方法。

(1) 測量浸入液體的密度

圖10顯示的是測量浸入液體密度的裝置圖[11]。由該圖可知弦線上的張力：

T=Mg-ρ液gV排

(10)

將上式與式(2，3&5)聯(lián)立，得弦線上所拉砝碼及其附件的總質(zhì)量M：

(11)

圖10 巧改弦振動實驗裝置測液體密度

當(dāng)弦線固定、弦線的振動頻率和半波數(shù)分別滿足f=100Hz和n=1時，測得掛在弦線上不同質(zhì)量M下弦線的兩個固定端之間的距離L，若以L2為橫坐標(biāo)，M為縱坐標(biāo)，由擬合直線的截距B?，可間接求出待測液體的密度為：

(12)

同時，在此基礎(chǔ)上，利用擬合直線的斜率k，可進一步測量弦線的線密度：

(13)

在ρ線一定、f=100Hz、n=1情況下，圖11～圖13展示了用mathstudio計算文獻[11]中水、丙醇和甘油三種液體密度的全過程，所得結(jié)果與文獻[11]中用回歸法所得結(jié)果一致；同時，本文結(jié)果不僅具有更高精度，且相似問題僅需更換相應(yīng)數(shù)據(jù)即可完美解決，大大提升了實驗數(shù)據(jù)處理效率；雖然文獻[11]未給弦線的線密度，但是，利用mathstudio和式(13)，文獻[11]中的實驗數(shù)據(jù)為我們提供了測量弦線線密度的機會。因此，本文還利用mathstudio擬合圖像的斜率信息，進一步計算了弦線的線密度。經(jīng)mathstudio計算的文獻[11]中弦線線密度的最大相對誤差和平均值分別約為1.482%和0.000 106 61kg/m，如圖14所示。

圖11 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時，利用mathstudio計算文獻[11]中樣品“水”的密度和弦線線密度

圖12 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時，利用mathstudio計算了文獻[11]中樣品“丙醇”的密度和弦線線密度

圖13 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時，利用mathstudio計算文獻[11]中樣品“甘油”的密度和弦線線密度

圖14 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時，利用mathstudio計算文獻[11]中弦線線密度的最大相對誤差及其平均值

(2) 測量懸掛固體的密度

測量裝置僅需將普通的弦振動實驗裝置弦線下所掛砝碼及其附件替換為待測固體即可。此時，弦線中的張力近似等于其懸掛固體的重力：

T=ρ固gV

(14)

將上式與式(2,3&5)聯(lián)立，可得弦線下方懸掛固體的密度：

(15)

當(dāng)n=2時，利用mathstudio計算了文獻[9]中的實驗數(shù)據(jù)。盡管文獻[9]中采用三根弦線對同一固體的密度進行測量，但mathstudio僅用了13行命令，便完成了文獻[9]中的全部計算，如圖15所示，本文所得結(jié)果與文獻[9]中的結(jié)果一致，且計算效率更高、更便捷。

圖15 n=2時，利用mathstudio計算文獻[9]中懸掛固體的密度

4 結(jié) 語

本文利用mathstudio研究了現(xiàn)有弦振動實驗文獻中的實驗數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論：①利用控制變量法和mathstudio，分兩種情況驗證了弦振動規(guī)律；②基于弦振動實驗及規(guī)律，利用mathstudio擬合了相關(guān)實驗數(shù)據(jù)，并基于所擬合直線的斜率或截距，計算了弦線的波長、線密度以及浸入液體和弦線上懸掛固體的密度，并與現(xiàn)有文獻做了對比分析?？傊ㄟ^mathstudio在弦振動實驗中的應(yīng)用，不僅拓寬了弦振動實驗的研究內(nèi)容，還提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動手能力，是我校大學(xué)物理實驗教學(xué)的一個亮點，為探索大學(xué)物理實驗教學(xué)與課程改革提供一定的參考價值。