馬松柏， 白 ， 陶春生

(北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048)

基于復(fù)合形法的馬鈴薯分級機(jī)優(yōu)化設(shè)計研究

(北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048)

分析了馬鈴薯分級機(jī)振動篩及物料的運(yùn)動及動力學(xué)特性，從而找出其運(yùn)動參數(shù)及約束條件，以復(fù)合形法結(jié)合Matlab程序設(shè)計語言對參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化求解，結(jié)果證明行之有效，可為相關(guān)產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計提供理論方法及借鑒.

復(fù)合形法;優(yōu)化設(shè)計;往復(fù)直線運(yùn)動振動篩;Matlab

馬鈴薯分級機(jī)是利用傳動機(jī)構(gòu)的往復(fù)直線運(yùn)動使有篩孔篩面的振動速度和加速度產(chǎn)生周期性變化，從而篩面上物料產(chǎn)生相對運(yùn)動，并依據(jù)物料大小、重量不同產(chǎn)生不同的運(yùn)動距離進(jìn)行分級的食品機(jī)械，其運(yùn)動參數(shù)的選取至關(guān)重要.傳統(tǒng)設(shè)計中，通過估算、經(jīng)驗類比或試驗來確定，很難求得最佳設(shè)計參數(shù).本文以篩分粒度為50 mm的馬鈴薯分級機(jī)為對象，通過合理簡化建構(gòu)馬鈴薯分級機(jī)篩面及物料往復(fù)振動運(yùn)動及動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，在保證較高篩分效率的前提下，力求提高生產(chǎn)率.選取往復(fù)振動面的平均推進(jìn)速度為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)，借助復(fù)合形法，以Matlab為實現(xiàn)平臺，對往復(fù)振動面的振動圓頻率ω，振動振幅r，振動方向角β，振動面傾角α等參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化求解，以得到盡可能高的平均推進(jìn)速度.結(jié)果表明采用復(fù)合形法取得了比傳統(tǒng)設(shè)計更佳的設(shè)計效果.

1 往復(fù)振動面上物料相對運(yùn)動的分析

設(shè)計實例要求篩分50 mm以下的馬鈴薯，在建立目標(biāo)函數(shù)之前，分析其在振動面上的受力及相對運(yùn)動狀態(tài)，找出物料相對振動面的運(yùn)動規(guī)律.

設(shè)振動面傾角為α，振動方向角為β，振動圓頻率為ω，振動振幅為r，振動面與物料間摩擦角為φ，物料顆粒質(zhì)量為m，重力加速度為g.物料沿往復(fù)振動面的相對運(yùn)動主要方式如圖1.

圖1 物料沿往復(fù)振動面的相對主要運(yùn)動Fig.1 Relative motion of potato on surface of reciprocating vibration sieve

圖1中沿振動方向運(yùn)動建立靜坐標(biāo)系OX;動坐標(biāo)系為xoy，固連于振動面，x軸沿振動方向，向右為正，y軸垂直于振動方向，向上為正，則物料受力有:重力 G=mg，振動慣性力 P=mω2rsinωt，振動面支承反力N，振動面對物料的摩擦力Fmax=Ntanφ.

1.1 物料沿往復(fù)振動面的相對上滑運(yùn)動

1.1.1 物料相對上滑條件［1］

如圖1(a)，要使物料顆粒相對于振動面上滑，必須滿足:

可得:ω2rsinωtcos(β+φ)＞gsin(φ+α).

為使上式有意義，對cos(β+φ)取絕對值，并將|sinωt|max=1代入上式，得:

式(1)即為物料顆粒相對振動面上滑的條件.

1.1.2 物料相對上滑加速度

根據(jù)牛頓定律可得:

式(2)中，au為物料顆粒相對振動面的上滑加速度.

1.1.3 物料相對上滑位移

同理，由式(2)連續(xù)積分可求得相對上滑位移表達(dá)式:

式(3)中，Su為振動面運(yùn)動一個周期物料顆粒相對上滑的位移;tc為物料顆粒相對振動面開始上滑的時刻;td為物料顆粒相對振動面結(jié)束上滑的時刻.

1.2 物料沿往復(fù)振動面的相對下滑運(yùn)動

1.2.1 物料相對下滑條件

如圖1(b)，要使物料顆粒相對于振動面下滑，必須滿足:

若物料顆粒相對于振動面無跳動，應(yīng)有

可得:ω2rsinωtcos(β－φ)＞gsin(φ－α).

為使上式有意義，對 cos(β－φ)取絕對值，并將|sinωt|max=1代入上式，得:

式(4)即為物料顆粒相對振動面下滑的條件.

1.2.2 物料相對下滑加速度

式(5)中，ad為物料顆粒相對振動面的下滑加速度.

由式(5)連續(xù)積分求得相對下滑位移表達(dá)式:

式(6)中，Sd為振動面運(yùn)動一個周期物料顆粒相對下滑的位移;ta為物料顆粒相對振動面開始下滑的時刻;tb為物料顆粒相對振動面結(jié)束下滑的時刻.

1.3 物料對往復(fù)振動面的相對跳動

只有在圖1(b)狀態(tài)下馬鈴薯物料顆粒才可能相對于振動面跳動，若使物料能跳離振動面，須滿足:

式(7)即為物料顆粒相對振動面跳動的條件.

1.4 物料在往復(fù)振動面上的平均推進(jìn)速度

物料在振動面上僅相動無跳動時的平均推進(jìn)速度應(yīng)為:

2 振動篩參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型及優(yōu)化方法

2.1 設(shè)計變量

綜前所述，往復(fù)振動機(jī)械的基本運(yùn)動參數(shù)有:振動圓頻率ω，振動振幅r，振動方向角β(振動面振動方向與振動面所夾銳角).影響物料在振動面上運(yùn)動的參數(shù)還有:振動面傾角α(振動面與水平面間所夾銳角)及振動面與物料間的靜滑動摩擦角φ.φ值隨振動面及物料種類的確定相對為一定值，本例為馬鈴薯 φ，取 30°，故 ω、r、β、α 為設(shè)計變量:

2.2 目標(biāo)函數(shù)

衡量以輸送物料為主要目的往復(fù)振動機(jī)械工藝性能好壞的重要指標(biāo)是生產(chǎn)率，而具有篩理作用的往復(fù)振動機(jī)械，還要求有篩分效率.生產(chǎn)率高低取決于物料沿振動面的平均推進(jìn)速度，平均推進(jìn)速度快則生產(chǎn)率高;篩分效率主要與物料所獲振動慣性力大小及物料相對振動面的篩理行程有關(guān).為簡化優(yōu)化問題，將篩分效率列入約束條件，建立單一目標(biāo)函數(shù).為了得到較高生產(chǎn)率應(yīng)使物料沿往復(fù)振動面的平均推進(jìn)速度盡可能快，目標(biāo)函數(shù)即為:

2.3 約束條件

馬鈴薯分級機(jī)在實際生產(chǎn)中除應(yīng)滿足較高的生產(chǎn)率外，還應(yīng)具備較高的篩分效率.因此，物料在振動面上應(yīng)做雙向相對運(yùn)動，以增加物料與振動面接觸機(jī)會及篩理行程，故物料在振動面上應(yīng)具相對下滑和上滑運(yùn)動，且下滑位移大于上滑位移，即:

于是得約束條件為:

由于往復(fù)振動篩是利用物料自動分級性進(jìn)行篩選分級的，應(yīng)避免破壞物料的自動分級性，使物料相對于振動面僅滑動無跳動，且獲得盡可能大的振動慣性力，即

若取兩者差值不大于0.1，則約束條件為:

振動方向角β取值0°～90°，約束條件為:

振動面傾角α取值0°～5°，約束條件為:

振動圓頻率ω取值41.88～62.83 rad/s(對應(yīng)轉(zhuǎn)速400～600 r/min)，約束條件為:

2.4 復(fù)合形法

復(fù)合形法［2－5］用于求解非線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)f(x)在多約束條件下最優(yōu)解的問題，數(shù)學(xué)表達(dá)如下:

受約束于

復(fù)合形法的基本思想是，先在n維空間的可行域中產(chǎn)生一個以k個初始點為頂點的不規(guī)則多面體的復(fù)合形，一般(n+1≤k≤2n)，然后比較復(fù)合形各頂點目標(biāo)函數(shù)的大小.其中目標(biāo)函數(shù)值最大的點作為壞點，以壞點之外其余各點的中心為映射中心，尋找壞點的映射點.一般說來，此映射點的目標(biāo)函數(shù)值總小于壞點，也就是說映射點優(yōu)于壞點.這時，以映射點替換壞點與原復(fù)合形除壞點之外其余各點構(gòu)成k個頂點的新的復(fù)合形.如此反復(fù)迭代計算，在可行域中不斷以目標(biāo)函數(shù)值低的新點代替目標(biāo)函數(shù)值最大的壞點從而構(gòu)成新復(fù)合形，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點移動和收縮，直至收縮到復(fù)合形的各頂點與其形心非常接近、滿足迭代精度要求為止.最后輸出復(fù)合形各頂點中的目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點，作為近似最優(yōu)點.

本例中目標(biāo)函數(shù)為式(10)，約束條件為式g1(X)～g11(X)，即式(12)至(22)共11個約束.而由式(9)可知此為一個四維11個約束的多約束優(yōu)化方法求解問題.經(jīng)比較眾多機(jī)械設(shè)計優(yōu)化算法后，決定采用復(fù)合形算法.這是因為復(fù)合形法較為適合解決有約束優(yōu)化問題，僅需比較目標(biāo)函數(shù)值即可決定搜索方向，算法較簡單，對目標(biāo)函數(shù)的要求不苛刻，適用于變量少(小于15維)，約束條件不多的優(yōu)化問題，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中采用廣泛.

3 程序?qū)崿F(xiàn)

算法最終通過Matlab程序設(shè)計語言實現(xiàn)，由1個主程序和6個子程序組成，程序框圖如圖2.

圖2 復(fù)合形法程序Fig.2 Program chart of complex method

3.1 程序構(gòu)成及參數(shù)說明［6－7］

主程序首先給定N，M，K值，然后定義數(shù)組維數(shù).主程序中提供自變量的初始值，輸入已知參數(shù)及打印最后結(jié)果面.

其中 x1，x2，…，xn為獨立自變量，

xn+1～xm為隱式變量，是 x1，x2，…，xn的函數(shù)，Gi，Hi為下界和上界.

各子程序的作用分別為:

CONSX—是一個主要子程序，調(diào)用其他子程序及輸出中間結(jié)果;CHECK—檢查所有的點是否滿足約束條件，對違背約束的點進(jìn)行校正;CENTR—計算中心點;FUNC—目標(biāo)函數(shù);CONST—規(guī)定顯式和隱式約束;RANDU—產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).

1)輸入?yún)?shù)中，N為顯式自變量數(shù);M為約束組數(shù);K為構(gòu)成復(fù)合形的頂點數(shù)，N+1;ITMAX為允許最多迭代次數(shù);IPRINT為打印控制參數(shù)，IPRINT=1，打印中間結(jié)果，IPRINT=0，不打印中間結(jié)果;ALPHA為反射因子，常用1.3;BETA為收斂參數(shù)，函數(shù)的幅值乘1E－4;GAMMA為收斂參數(shù)，整數(shù)，常用值為5;DELTA為顯式約束違反校正，小正數(shù)，如X向量幅值乘1E－4;X(1，J)為自變量初始可行點，等于1，N.

2)輸出變量中，F(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)最大值;X(I)為自變量最優(yōu)值，I=1，N.

3.2 優(yōu)化結(jié)果

ω 為54.43 rad/s，約為 520 r/min;α 為3.25°約合3°;r為 4.52 mm，約為 4.5 mm;β 為 44.85°約為45°.

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的食品機(jī)械設(shè)計方法已經(jīng)無法滿足提高生產(chǎn)率及經(jīng)濟(jì)性等諸多要求，而優(yōu)化設(shè)計方法愈來愈多的得到重視和使用，本文中提到的復(fù)合形法優(yōu)化設(shè)計問題在馬鈴薯分級機(jī)的設(shè)計中取得了較好的效果，由于該方法對目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，程序設(shè)計簡單，算法的收斂速度比較快，非常適合求解中小型機(jī)械的優(yōu)化設(shè)計問題.

［1］梁基照.食品機(jī)械優(yōu)化設(shè)計［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2008:178-183.

［2］祝立萍，張振生，龔義書.基于復(fù)合形法的板翅式換熱器優(yōu)化設(shè)計［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，28(1):63-66.

［3］徐小明，蔣炎坤，劉志恩.基于復(fù)合形法的車用發(fā)動機(jī)配氣機(jī)構(gòu)凸輪型線設(shè)計［J］.柴油機(jī)，2007，29(6):34-36.

［4］陳惠，詹少華，阮進(jìn)華.基于Matlab復(fù)合形法的二級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計［J］.煤礦機(jī)械，2011，32(8):31-33.

［5］韓中合，焦紅瑞.基于復(fù)合形法的風(fēng)力機(jī)槳葉優(yōu)化設(shè)計［J］.華東電力，2009，37(9):1612-1613.

［6］王凌.智能優(yōu)化算法及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

［7］王謙，趙俊利.基于Matlab軟件的振動篩振動研究［J］.煤礦機(jī)械，2011，9(32):38-39.

(責(zé)任編輯:檀彩蓮)

Optimal Design Research of Potatoes Classifier Based on Complex Method

MA Song-bai， BAI Qiao， TAO Chun-sheng
(School of Material and Mechanical Engineering，Beijing Technology and Business University，Beijing 100048，China)

The kinematics parameters and constraints of a typical vibrating sieve which was used as potatoes classifier were analyzed in this paper.And these parameters were optimized by complex method accomplished in the environment of Matlab software.The results proved that the complex method mentioned in this paper is an effective tool for potatoes classifier optimal design，which could offer foundation and method to design some machineries related to potatoes classifier.

complex method;optimization design;vibration sieve;Matlab

TS210.3;TS215

A

1671-1513(2012)02-0070-05

2011-11-28

北京工商大學(xué)青年基金項目資助(QNJJ2010-17).

馬松柏，男，講師，碩士，主要從事食品與包裝機(jī)械設(shè)計、機(jī)電一體化技術(shù)、CAD/CAM應(yīng)用等方面的研究.