劉 濤，趙國(guó)榮，徐珂文

(海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264001)

0 引言

無(wú)陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)(gyroscope free strap-down inertial navigation system)是僅利用線加速度計(jì)來(lái)完成慣性測(cè)量與導(dǎo)航任務(wù)的導(dǎo)航系統(tǒng)，避免了使用工藝復(fù)雜的陀螺儀，具有低成本、低功耗、長(zhǎng)壽命和高可靠性等優(yōu)點(diǎn)，特別適用于大動(dòng)態(tài)范圍、導(dǎo)航時(shí)間短的載體。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)解算全部來(lái)源于加速度計(jì)的輸出，理論分析和試驗(yàn)表明，加速度計(jì)的安裝誤差對(duì)系統(tǒng)精度的影響十分顯著，不容忽視[1－4]。文中針對(duì)一種具有代表性的九加速度計(jì)配置方案，分析了加速度計(jì)的安裝誤差，研究了實(shí)驗(yàn)標(biāo)定方法和誤差的補(bǔ)償方案，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了其有效性。

1 加速度計(jì)輸出模型

由加速度計(jì)的比力方程:

得到加速度計(jì)位置的3個(gè)軸向比力向量fb為:

其中:

設(shè)加速度計(jì)的敏感方向?yàn)棣?，則加速度計(jì)的輸出為:

2 配置方案及角速度解算方法

圖1為一種具有一定代表性的九加速度計(jì)配置方案，其加速度計(jì)的位置矩陣和方向矩陣分別為:

其中，l為非原點(diǎn)處加速度計(jì)到原點(diǎn)的距離，由式(1)得到加速度計(jì)輸出方程為:

文獻(xiàn)[5－6]分別運(yùn)用開(kāi)方法、輔助算法、Kalman濾波和智能加權(quán)算法進(jìn)行角速度的解算，其中智能加權(quán)算法的解算精度最高。但在解算過(guò)程中都未考慮加速度計(jì)的安裝誤差，而將加速度計(jì)安裝在載體上，不可避免的存在安裝誤差，包括位置誤差和方向誤差，特別是本方案中需要將多個(gè)加速度計(jì)安裝在同一個(gè)理論點(diǎn)上。

3 安裝方向誤差分析及標(biāo)定

方向誤差可以通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)來(lái)表示，如圖2所示，θ和θr分別表示加速度計(jì)的理想和實(shí)際安裝方向，Δα和Δβ為方向誤差角[7]，其正負(fù)符號(hào)規(guī)定為:逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)，則:

其中C1、C2分別為兩次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換陣。

方向誤差向量:

圖2 安裝方向誤差示意圖

其中I為單位陣。

標(biāo)定方案:將慣性系統(tǒng)放置在旋轉(zhuǎn)臺(tái)上，分別以oxy、oyz、oxz為水平面，進(jìn)行靜態(tài)條件(線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)都為0)實(shí)驗(yàn)，得到加速度計(jì)的輸出值A(chǔ)(mn)ri，m=1，2或3，分別表示以oxy、oyz、oxz為水平面，n=1，表示轉(zhuǎn)臺(tái)靜態(tài)條件，i代表加速度計(jì)的序號(hào)。此時(shí)加速度計(jì)的輸出值為重力加速度在其敏感方向的分量，即:

由3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到加速度計(jì)的方向誤差角，從而得到方向誤差向量。以加速度計(jì)1為例求解方向誤差向量 Δ θ1。

得到:

由式(10)得:

表1列出了各加速度計(jì)方向誤差角的計(jì)算公式，表2列出了方向誤差向量。

表1 各加速度計(jì)的方向誤差角計(jì)算公式

表2 各加速度計(jì)的方向誤差向量

4 安裝位置誤差分析及標(biāo)定

4.1 安裝位置誤差標(biāo)定方案

加速度計(jì)的安裝位置誤差可由其坐標(biāo)投影來(lái)表示，如圖3，以加速度計(jì)2為例，P點(diǎn)為加速度計(jì)的理想安裝位置，P'點(diǎn)為加速度計(jì)的實(shí)際安裝位置，Δl為安裝位置誤差向量，其在各坐標(biāo)軸的投影為[Δlx，Δly，Δlz]。

圖3 安裝位置誤差示意圖

標(biāo)定方案:將慣性系統(tǒng)放置在旋轉(zhuǎn)臺(tái)上，分別以oxy、oyz、oxz為水平面，進(jìn)行勻速旋轉(zhuǎn)(ω = ω0)條件下的實(shí)驗(yàn)，得到加速度計(jì)的輸出值A(chǔ)(mn)ri，其中n=2，表示轉(zhuǎn)臺(tái)勻速條件。由式(3)可以得到勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度計(jì)輸出為:

式中采用方向誤差實(shí)驗(yàn)中得到的實(shí)際敏感方向，根據(jù)3次測(cè)量值就可以得到三元方程組 f(Δlx，Δly，Δlz)，從而計(jì)算出每個(gè)加速度計(jì)的安裝位置誤差。

4.2 方案改進(jìn)

為了提高標(biāo)定精度，減小隨機(jī)誤差的影響，實(shí)驗(yàn)中對(duì)旋轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速ω0進(jìn)行j次取值，這樣每個(gè)加速度計(jì)就可以得到m個(gè)實(shí)驗(yàn)輸出值(m=3j)，得到三元方程組 f(Δlx，Δly，Δlz)，從而進(jìn)行 Δlx、Δly、Δlz的求解。

對(duì)式(15)進(jìn)行分離 Δlx、Δly、Δlz操作:

其中:

由于B1、B2、B3均為一維矩陣，即為數(shù)值形式，其轉(zhuǎn)置形式不變，因此得到:

其中:

由m個(gè)這樣的方程組成的方程組為:

即:

其中ωm為第m次實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速。

可以看出，矩陣方程(20)的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)m ＞3，屬于超定矩陣方程。本方程的形式滿足線性方程Ax=b，而數(shù)據(jù)向量 b含有觀測(cè)數(shù)據(jù)向量，存在測(cè)量誤差，并且其和系數(shù)矩陣A都包含了已經(jīng)計(jì)算得到的加速度計(jì)敏感實(shí)際方向θr，也存在一定的計(jì)算誤差，可以作為噪聲項(xiàng)，且兩者不相關(guān)。求解這種系數(shù)矩陣A和數(shù)據(jù)向量b都存在誤差的超定方程的最佳方法是總體最小二乘法。

4.3 總體最小二乘法

對(duì)于超定方程Ax=b，總體最小二乘法不僅用擾動(dòng)向量e去干擾數(shù)據(jù)向量b，而且用擾動(dòng)矩陣E同時(shí)干擾數(shù)據(jù)矩陣A，以便校正在A和b二者內(nèi)存在的擾動(dòng)?？紤]矩陣方程:

可以寫(xiě)為:

其中，增廣矩陣 B = [－b，A]，擾動(dòng)矩陣 D=[－ e，E]。

對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行奇異值分解，令:

此時(shí)，如果增廣矩陣B的最小奇異值多重(往往表現(xiàn)為最后幾個(gè)奇異值重復(fù)或者非常接近)，假設(shè)有n+1－p個(gè)最小奇異值(p≤n+1)，則矩陣方程會(huì)有p個(gè)總體最小二乘解。然而，可以找出在某種意義下唯一的最小二乘解，包括最小范數(shù)解和最優(yōu)最小二乘近似解。

文中希望得到的是矩陣方程式(20)的所有未知參量，即最小范數(shù)解:

其中，向量v1是矩陣V列分塊形式的第一行，具體求解步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

5 安裝誤差補(bǔ)償

由于加速度計(jì)安裝誤差的存在，不能將實(shí)際的輸出Ar代入公式解算角速度，而應(yīng)該進(jìn)行補(bǔ)償，消除其中的安裝誤差:

由式(3)和式(15)得到:ΔA=Ar－ A=

補(bǔ)償過(guò)程中，ΔA中所涉及的V、˙V、ω、˙ω均采用上一時(shí)刻的解算值。圖4為補(bǔ)償方案的流程圖。

圖4 補(bǔ)償方案示意圖

6 算例仿真

借 助某型導(dǎo)彈前40s的飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，圖 5為其飛行軌跡 圖。 設(shè)加速度計(jì)的精度為5×10－6g，隨機(jī)噪聲為10－5g，仿真步長(zhǎng)為0.01s，l=0.3m，加速度計(jì)的位置誤差矩陣和方向誤差矩陣為:

圖5 某型導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡

利用智能加權(quán)算法對(duì)角速度進(jìn)行解算，以x方向?yàn)槔?，圖6分別給出了對(duì)安裝誤差補(bǔ)償前后的角速度解算誤差曲線，表3為解算誤差數(shù)據(jù)，圖7為安裝誤差補(bǔ)償前后的東向?qū)Ш秸`差。

圖6 安裝誤差補(bǔ)償結(jié)果對(duì)比圖

從仿真結(jié)果可以看出，如果不對(duì)安裝誤差進(jìn)行補(bǔ)償，角速度解算誤差和導(dǎo)航誤差較大。利用文中的補(bǔ)償方案，x軸向角速度解算精度提高明顯，而東向?qū)Ш秸`差最大值也由3.2987m減小到了0.3454m，效果顯著。

圖7 東向?qū)Ш秸`差

表3 安裝誤差補(bǔ)償前后誤差數(shù)據(jù)

7 結(jié)論

加速度計(jì)的安裝誤差對(duì)無(wú)陀螺慣性測(cè)量系統(tǒng)精度的影響十分顯著，不容忽視，利用文中的標(biāo)定和補(bǔ)償方案，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，可以有效的提高角速度的解算精度和系統(tǒng)的導(dǎo)航精度。

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[5]趙國(guó)榮，陳穆清.一種用于九加速度計(jì)GFSINS的姿態(tài)角速度輔助算法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2007，19(14):3350－3353.

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