傅海明 ,戴正德

(1.廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東廣州510935;2.云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南昆明650091)

非線性波方程被廣泛地應(yīng)用于物理、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)等眾多學(xué)科分支中,如非線性光學(xué)、量子論、流體力學(xué)、彈性理論和凝聚態(tài)物理等。隨著非線性科學(xué)的蓬勃發(fā)展,傳統(tǒng)的求解非線性波方程的方法主要有逆散射法[1]、Backlund法[2]、Darboux變換法[3]、Hirota雙線性法[4]、Painlevé展開(kāi)法[5]等。近年來(lái),結(jié)合計(jì)算機(jī)代數(shù)和符號(hào)計(jì)算,人們發(fā)展了許多求解非線性波方程的新方法,如雙曲函數(shù)法[6]、齊次平衡法[7]、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[8]、包絡(luò)變換法[9]、ADM方法[10]和利用分支理論直接積分的方法[11]等。最近,范恩貴[12]提出了一種基于符號(hào)計(jì)算的代數(shù)方法,與絕大多數(shù)方法相比,該方法可用于構(gòu)造各種行波解,包括孤波解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)周期解、有理函數(shù)解、Jacobi和Weierstrass橢圓函數(shù)周期解。

本文利用擴(kuò)展了的Hirota法得到Burgers方程

的新的周期孤波解和一個(gè)新形式的解。

1 Burgers方程的精確解

引進(jìn)雙線性算子

方程(1)通過(guò)式(2)和式(3)可以寫(xiě)成雙線性型形式

把式(5)代入式(4),得到如下代數(shù)方程組

解以上方程組,得:

其中h2,h3,k2,k3,a2為任意常數(shù)。把式(1 7)代入式(5)得

把式(1 9)代入式(2)得方程(1)的解為

把式(2 1)代入式(2)得方程(1)的解為

其中ξ2=k2x+h2y+k2(k-3k)t,ξ3=k3x+h3y+k3(3k-k)t。

情形I I

其中h1,h3,k1,k3,a1為任意常數(shù)。把式(2 3)代入式(5)得

把式(2 5)代入式(2)得方程(1)的解為

其中ξ1=k1x+h1y+k1(k-3k)t,ξ3=k3x+h3y+k3(3k-k)t。

把式(2 7)代入式(2)得方程(1)的解為

其中ξ1=k1x+h1y+k1(k-3k)t,ξ3=k3x+h3y+k3(3k-k)t。

其中h1,k2,k3,a1,a2,a3為任意常數(shù)。把式(2 9)代入式(5)得

把式(3 1)代入式(2)得方程(1)的解為

(2)如果a3<0,令α=ln,則式(24)變?yōu)?/p>

把式(33)代入式(2)得方程(1)的解為

2 結(jié)論

本文擴(kuò)展了Hirota法,即將Hirota法中的測(cè)試函數(shù)用新的測(cè)試函數(shù)來(lái)替代。以Burgers方程為例,給出用這個(gè)擴(kuò)展后的方法求周期孤波解的具體過(guò)程,這些周期孤波解是新的。

[1]ABLOW ITZ M J,CLARKS ON P A.Soliton,nonlinear evolution equations and inverse scattering[M].Cambridge Univ.Press,1991:123-136.

[2]谷超豪.孤立子理論及其應(yīng)用[M].杭州:浙江科技出版社,1990:86-98.

[3]MAT VEEV V B,S ALLEM A.Daroux transformations and solitons[M].Berlin:Sp ringer,1991:326-387.

[4]H I ROT A R.Exact s oluti on of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons[J].Phys Rev lett, 1971,27:1192-1194.

[5]樓森岳.推廣的Painlevé展開(kāi)及KdV方程的非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嘟鈁J].物理學(xué)報(bào),1998,47:1739-1745.

[6]傅海明.一類(lèi)五階KDV方程的行波解[J].雞西大學(xué)學(xué)報(bào),2008,8(6):143-144.

[7]WANGM L,ZHOU YB,LI ZB.Application of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics[J].Phys LettA,1996,213:67-75.

[8]劉式適,傅遵濤,劉式達(dá),等.Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法及其在求解非線性波動(dòng)方程中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2001,50 (11):2068-2073.

[9]傅海明,戴正德.一個(gè)(2+1)-維激光方程的孤波解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,45(1):44-47.

[10]SALAN M,KAYA D.An application of the ADM t o seven-order Sawada-Kotara equations[J].App liedMathematics and Computati on,2004,157:93-101.

[11]LI JI BIN,ZHANG LI JUN.Bifurcations of traveling wave s oluti on in generalized Pochhammer-Chree equation[J]. Chaos,Soitons and Fractals,2002,14:581-593.

[12]HON Y C,FAN E G.Solitarywave and doubly periodic wave solutions for the Kersten-Krasil'shchik coupled KdV-mKdV system[J].Chaos,Solitons &Fractals,2004,19:1141-1146.