周守仁

（四川省社會科學院，四川成都 610041）

試論數(shù)學的文化奇觀
——兼談文化和科學文化

周守仁

（四川省社會科學院，四川成都 610041）

廣義的文化定義主要有“總和說”與“模糊說”兩類。把“總和說”進一步擴展為“超廣義說”，把“模糊說”修改為“自創(chuàng)生說”，將兩者結(jié)合起來稱做“超廣義自創(chuàng)生文化說”。科學文化指科學本身以及科學與社會其他文化相互交融所形成的文化群類。數(shù)學文化指把自然、社會、思維等各個領域中的數(shù)量關系、空間形式、信息符號、能量運轉(zhuǎn)、物質(zhì)結(jié)構(gòu)的哲理精蘊、藝術神采以其微妙深奧的規(guī)律化方式智慧地展現(xiàn)出來。數(shù)學的文化奇觀的表現(xiàn)形式為深蘊的統(tǒng)一性、內(nèi)增的復雜性、天成的藝術性和奇難的懸疑性等四個方面。

數(shù)學的文化奇觀；統(tǒng)一性；復雜性；藝術性；懸疑性

一、文化、科學文化和數(shù)學文化的現(xiàn)代新釋

當人們有幸邁入數(shù)學文化的殿堂，那琳瑯滿目、俯拾即是的數(shù)學珍寶，將以其無比的奇姿美態(tài)奪人心魄。如果能有幸獲得些許珍寶在手，無疑會一生一世享用不盡。可究竟什么是數(shù)學文化呢？筆者才疏學淺，不敢妄加界定。但探索數(shù)學文化為本人的一大快事，也只好不顧被人指點之虞寫出此文。

筆者自忖，若能首先使文化、科學文化、數(shù)學文化在概念解釋方面邏輯一致，則不管對數(shù)學文化理念闡述如何，總可以有一個穩(wěn)當?shù)钠鸩?。文化這個概念是多義的，且很難定義。據(jù)統(tǒng)計，現(xiàn)有關于“文化”定義的表達已超過160多種，筆者不揣冒昧提出“超廣義自創(chuàng)生”文化概念。

這里，直接從人們對文化的廣義定義開始探討。對文化的廣義定義主要有“總和說”與“模糊說”兩類。

例如，有人把文化當作物質(zhì)財富與精神財富的總和，認為文化是人與自然、人與世界全部復雜關系種種表現(xiàn)形式的總和。還有人把文化看成是人類實踐能力方式及成果之總稱，等等。這些都是關于文化含義的“總和說”。另一些研究人員認為，“文化”是一個比較模糊的概念，它猶如許多細胞構(gòu)成的一個整體，邊緣不齊整，內(nèi)涵不確定，外延也不確定，因此只能暫時給出一個模糊的、不完全確定的定義。這就是關于文化定義的“模糊說”。

筆者的看法是，把“總和說”進一步擴展為“超廣義說”，把“模糊說”修改為“自創(chuàng)生說”，把這兩者結(jié)合起來，稱作“超廣義自創(chuàng)生文化說”。筆者的這一看法直接表明文化具有無所不包的性質(zhì)和自我生發(fā)的性質(zhì)。這一看法可表述為：“超廣義自創(chuàng)生”文化是指人類個體或群體的一切思想和行為及其一切自我生發(fā)的過程和結(jié)果。稍加展開地說，“超廣義自創(chuàng)生”文化是與人及其發(fā)展同在的不斷演化的復雜多樣的意識理念及其體系、行為活動及其范式、物化實體及其場景。從一定角度來審視，上面表述了兩項研析工作，前者是關于文化概念的邏輯操作，后者則是開掘文化理念的智能稟賦。與上述觀點相對應，超廣義自創(chuàng)生文化說有如下兩個特征：

（一）超廣義是最大可能的全面性，盡可能無篩漏。文化的定義不能是個有孔的篩子，否則就把本應是文化的要素或現(xiàn)象從篩孔漏出去。因此，對所有文化現(xiàn)象，應該無孔覆蓋。如中央電視臺舉辦的青歌賽曾把原生態(tài)唱法的代表者之一阿寶給忽略了，給漏掉了?！芭c人同在”這一表述是具有最大可能的全面性。例如，人一旦在母體中生成，就具有并表現(xiàn)出文化，如胎教文化。又如，野蠻與文明對立，但野蠻人也有自己的文化。再如，平常我們說文化分為先進文化、落后文化、腐朽文化（我在此加上一個平庸文化）。這就是說，腐朽文化也是一種文化，如同壞人也是人一樣，不能把腐朽文化從文化范疇中排除出去。一個現(xiàn)象或事物是否是文化的，也不能只從是否有意義，有價值來劃界。大家風范，不容置疑是一種個性的同時又有普遍意義的文化現(xiàn)象；但小人物的個人瑣事，雖然平凡無味，但也是一種個性文化，只不過把它叫做平庸文化而已?？傊覀儚摹芭c人同在”的各種事物、現(xiàn)象中很難找出不是文化的東西。

（二）自創(chuàng)生表示文化是動態(tài)的，是有生命性的，是有根源、脈絡和演化的。我們不能給文化以永遠不變的具體特性。譬如，我們可以把腐朽文化“化腐朽為新奇”。對原來沒有認知現(xiàn)在才發(fā)現(xiàn)的自然事物，賦予其一定創(chuàng)新文化的意義，等等。

此外，上面提到的關于文化定義的“模糊說”，它注意到文化范疇的不確定性。這種不確定性是文化本身內(nèi)在的自我生成的不確定性。特別是對個性文化而言，其自創(chuàng)生的不確定性特別復雜。我們知道，在審美領域有所謂“談到趣味無爭辯”，與其相類似，在文化觀念上也有“談到文化各自說”。

由上述可見，“超廣義自創(chuàng)生”文化概念可體現(xiàn)出文化演化過程和結(jié)果的統(tǒng)一、歷史和現(xiàn)實的統(tǒng)一、根源和發(fā)展的統(tǒng)一、要素和整體的統(tǒng)一。

接下去簡扼地說一下現(xiàn)代科學文化的實質(zhì)內(nèi)涵?？茖W本身即是一種文化，而科學文化則是指科學本身以及科學與社會其他文化相互交融所形成的文化群類。它是人類文化的重要組成部分。

按照方才關于文化的論述，對科學文化應作如下闡釋：科學文化是人們在進行科學實踐活動和其他社會實踐活動中，由于探索未知、創(chuàng)新研究、發(fā)現(xiàn)真理、把握規(guī)律、生產(chǎn)知識等而形成的不斷演進的包括科學本身在內(nèi)的意識理念及其體系、行為活動及其范式、物化實體及其場景?，F(xiàn)代科學文化的實質(zhì)內(nèi)涵，是由當代大科學決定的科學精神與人文精神、理性與非理性、求實與創(chuàng)新、真與善、美等辯證統(tǒng)一所形成的科學意識理念體系、科學行為活動范式和科學物化實體場景。

數(shù)學文化無疑是一種科學文化，它的文化特征充滿了令人驚奇、贊嘆和向往的魅力。筆者試把數(shù)學文化的意義和基本特點做出如下的表述。

數(shù)學文化把自然、社會、思維等各個領域中的數(shù)量關系、空間形式、信息符號、能量運轉(zhuǎn)、物質(zhì)結(jié)構(gòu)等的哲理精蘊、藝術神采以其微妙深奧的規(guī)律化方式智慧地展現(xiàn)出來。它是具有無限生命力的自創(chuàng)生、自創(chuàng)新的文化，并始終與人同在。

數(shù)學文化的基本特征在它獨具的復雜多樣的數(shù)學意識理念及其體系、數(shù)學行為活動及其范式、數(shù)學物化實體及其場景中充滿奇觀的不斷表達。

數(shù)學文化的意識理念體系包括數(shù)學史上豐富的數(shù)學哲理、數(shù)學思想和數(shù)學方法。在這里只舉一些例子供人們思考。

在數(shù)學文化思想史上，以羅素（B.Russell 1872～1970年）、弗雷格（G.Freg 1848～1926年）等人為代表的邏輯主義學派（Logistic school），以克羅內(nèi)克（L.Kroneker 1823～1891年）、布勞威爾（L.E.J.Brouwer 1881～1967年）等人為代表的直覺主義學派（Intuitionist School），以希爾伯特（D.Hilbert 1862～1943年）為代表的形式主義學派（Formalist School），以魏依（A.Weil 1906～？年）、歇瓦萊（C.Chevalley 1900～1984年）等人為主的布爾巴基學派（Bourbaki School），以我國學者鄭毓信（1944～）提出的數(shù)學真理的層次結(jié)構(gòu)（邏輯合理性、模式真理、現(xiàn)實真理）［1］等數(shù)學文化意識理念，對數(shù)學學科、數(shù)學文化的發(fā)展都在不同程度上起了積極的推動作用。

數(shù)學文化的行為活動范式主要是指數(shù)學愛好者、數(shù)學工作者及數(shù)學家們在對數(shù)學的欣賞、學習和研究中所表現(xiàn)的習慣、舉止、情趣、風貌等方面的共性特征。例如，嚴謹?shù)那笞C學風、頑強的解難毅力、激發(fā)的邏輯樂趣、癡迷的探秘追求以及忘我的理性思考等。他們這種看起來似乎是著魔的神態(tài)，卻具有那些停居于數(shù)學世界以外的人們所難以理解的、難以想像的情智魅力。至于數(shù)學文化的物化實體，至少集中在兩個方面：一是作為數(shù)學計算工具和載體的計算機；一是作為數(shù)學應用領域的大科學技術世界，它包括自然科學、社會科學、人文科學、思維科學、工程技術和教育、醫(yī)衛(wèi)、政治、經(jīng)濟、法律、日常生活等的數(shù)學意義與價值的物化性和精神物化性的具體體現(xiàn)。例如，從第一方面來看，當今世界都在爭相研制極高性能的超級計算機，這實質(zhì)上就是在大力建設數(shù)學文化的物化實體場景。超級計算機是由上百上千的處理器組成。從文化角度來說，它是現(xiàn)代數(shù)學文化奇觀的一種物化實體。在去年，即2011年，日本研制的K Compute以每秒運算峰值可達1.05億億次而成為全球最快速的超級計算機，它也是迄今為止人類首次超越1億億次計算的超級計算機。中國研制成功的“天河一號”超級計算機運行速度也已達到每秒2 573萬億次。這些超級計算機的研發(fā)不僅顯示了計算機科學技術的驚人發(fā)展，同時也表明了數(shù)學文化的長足進步。

二、數(shù)學文化奇觀的探幽闡微

數(shù)學的文化奇觀根源于數(shù)學文化的自創(chuàng)生、自出新這一根本性質(zhì)。依照數(shù)學文化奇觀的表現(xiàn)形式，可把它們歸納為以下幾點：

（一）深蘊的統(tǒng)一性

眾所周知，數(shù)學是有機的統(tǒng)一整體。但數(shù)學的統(tǒng)一性并非是終極的靜態(tài)目標，它是一種具有生命的可生發(fā)的統(tǒng)一性。例如，費馬（P.de Fermat 1601～1665年）和笛卡爾（R.Descartes 1596～1650年）把代數(shù)與幾何統(tǒng)一起來，即把代數(shù)方程和幾何圖形聯(lián)系起來，從而創(chuàng)立了坐標幾何（解析幾何）。當代數(shù)與幾何各自無關發(fā)展時，既緩慢又無生氣。但當二者統(tǒng)一起來時，也就是一方面用代數(shù)語言表示幾何概念，另一方面又用幾何來詮釋代數(shù)語言，這樣就形成了具有鮮活生命的統(tǒng)一性的坐標幾何，從而推動了17世紀數(shù)學的巨大發(fā)展。到了20世紀，現(xiàn)代抽象代數(shù)興起，它包括抽象群、環(huán)、域等概念。以抽象代數(shù)為基礎的代數(shù)幾何更有廣闊的發(fā)展前景。具體的事物無疑具有生動性，但抽象的數(shù)學事物同樣具有，甚至具有無比的生動性。筆者認為，抽象的統(tǒng)一性概括了多樣性和眾多特殊性，這統(tǒng)一性一旦遠離它生成的基礎——多樣性和特殊性，那就可能走向沒有生命力的歧途。因此，數(shù)學的自創(chuàng)生、自出新的抽象統(tǒng)一性必須植根于它的非抽象的能給予其取之不竭生命活力的生成源泉?？巳R因（M.Kline）曾告誡說，“抽象代數(shù)已經(jīng)毀壞了它自己在數(shù)學中所起的作用”［2］。當然，這并非對抽象代數(shù)的否定，而是提醒在抽象代數(shù)領域里的數(shù)學工作者應熟悉抽象結(jié)構(gòu)的來源，要關心其結(jié)果對具體領域的應用［2］。

又如，在第21屆國際數(shù)學家大會上，頒布的四項菲爾茲（Fields）獎分別授予美國的E.Witten、新西蘭的V.F.R.Jones、蘇聯(lián)的B.Γpинфeлъд和日本的森重文。這次頒獎表明了各數(shù)學分支的相互關系，蘊含著數(shù)學內(nèi)在的統(tǒng)一性，并證實了數(shù)學統(tǒng)一性所彰顯的生動性和鮮活性。E.Witten在其研究成果中重新發(fā)現(xiàn)了Jones多項式；編辮群出現(xiàn)在B.Γpинфeлъд、V.F.R.Jones和E.Witten的著作里；森重文的三維代數(shù)簇研究，涉及到物理超弦問題與曲線簇上代數(shù)幾何問題的轉(zhuǎn)譯對應性［3］。

再如，20世紀著名數(shù)學家邁克爾·弗蘭西斯·阿提雅（M.F.Atiyah）曾于1966年莫斯科國際數(shù)學家大會上獲菲爾茲獎，后來擔任過英國皇家學會副主席、主席。他與另一位數(shù)學家辛格（I.M.Singer）合作，證明了“阿提雅—辛格指數(shù)定理”（Atiyah－Singer Index Theorem）。這一定理表明，“橢圓算符的解析指數(shù)等于拓樸指數(shù)”。他們在證明這個定理的過程中用到了很多重要的數(shù)學工具，如K理論，即線性代數(shù)的代數(shù)拓樸，并把握住具有一般意義的狄拉克算符等等。阿提雅—辛格指數(shù)定理是一個普適性程度很高的基本定理，它把分析與拓樸在深層次上統(tǒng)一起來，它在偏微分方程、隨機過程、黎曼幾何、代數(shù)幾何、代數(shù)拓樸以及數(shù)學、物理等領域都獲得廣泛的應用。有人贊譽阿提雅是站在頂峰的拓樸學家，也有人認為，阿提雅—辛格指數(shù)定理就如同英國索爾茲伯里平原上的巨石群一樣將永遠讓歷代人們絡繹不絕地前來瞻仰。阿提雅—辛格指數(shù)定理對數(shù)學統(tǒng)一性的貢獻是難以估量的。許多數(shù)學家都在忙于計算指數(shù)，不容置疑，這是完全應該做的。但如何去探掘深蘊在這個指數(shù)定理之中的數(shù)學統(tǒng)一性，將更是有價值、有意義的科研課題。

最后提一下，模（Module）概念是對數(shù)學統(tǒng)一性非常有用的概念。模是具有算子環(huán)的Abel群，是域K上的線性向量空間，是用環(huán)代替K時的推廣。它生發(fā)繁衍出諸如代數(shù)曲線上的模、曲線族的模、系數(shù)模、復數(shù)的模、實數(shù)的模、有表示的模、帶算子區(qū)的模、不帶算子區(qū)的模等等。前些年日本的數(shù)學家研究并發(fā)展了D—模，這是可用具有解析系數(shù)的偏微分算子作乘積的模。D—模為分析、代數(shù)、幾何（或拓樸）三個核心數(shù)學領域架起了橋梁，使數(shù)學家們逐漸清晰地看出深蘊于數(shù)學本質(zhì)內(nèi)的統(tǒng)一性。

（二）內(nèi)增的復雜性

數(shù)學在其自身的極為深廣的量的關系領域內(nèi)，又有著更深層次的質(zhì)與量的相互聯(lián)系。人們在數(shù)學研究過程中，發(fā)現(xiàn)了由某些自變量的變化引起數(shù)學復雜性的變化。這種復雜性一方面是客觀的、數(shù)學內(nèi)在的復雜性，另一方面也是人們意識理念對數(shù)學世界積極反映的結(jié)果。下面通過一些例子來說明作為數(shù)學文化奇觀的內(nèi)增復雜性。

第一個例子是從較小的自然數(shù)到很大的自然數(shù)再到無窮大。

設一個幾何級數(shù)為1＋2＋22＋23＋24＋25＋26求其和為27－1＝127。這里2的指數(shù)n最大為6，如果這個幾何級數(shù)2的指數(shù)n最大為63，則1＋2＋22＋23＋24＋……＋263＝264－1＝18 446 744 073 709 511 615，相比之下，后者比前者要大到天文數(shù)字。

若進一步，n趨近于無窮大，即n→∞，則此級數(shù)和更是無窮大。

這里的自變量是自然數(shù)n，隨著n的增大，使得這一幾何級數(shù)的復雜性（級數(shù)和的數(shù)目）不斷驟增。

此外，這個簡單的例子還說明，有限和無限的復雜性是截然不同的，很多迷人的數(shù)學文化奇觀大都和無限大（或無限小、無限多）有關。

第二個例子是涉及無窮范疇的一些數(shù)學理念。當考察無窮級數(shù)時，數(shù)學家們探討了無窮級數(shù)的收斂和發(fā)散，以及判別收斂的充分必要條件。在研究無窮級數(shù)的過程中，曾出現(xiàn)過很有生命力的預見性思想，那就是發(fā)散級數(shù)可以用來對函數(shù)進行數(shù)值逼近，級數(shù)可以在解析運算中代表函數(shù)，甚至發(fā)散級數(shù)也可能有這樣的用處［2］。

當踏入數(shù)論領域，我們至少會看到無窮概念施展的新奇的復雜性。在初等數(shù)論中，人們很容易接觸到“素數(shù)的個數(shù)是無限的”這一定理。該定理的證明比較簡單。但進一步把無窮概念放在某些猜想之中時，看似簡明的論斷卻難以證明，甚至至今也沒有找到答案。例如，常被人們提及的哥德巴赫猜想，它是這樣一個猜想：“大偶數(shù)可表為兩個素數(shù)之和?！比绻麅H僅是對某個或某些指定的偶數(shù)而言，不論它們有多大，總可以用超級計算機來確證這個猜想。但是若對無窮個偶數(shù)而言，即使當今最快速的超級計算機對此也無能為力。因為沒完沒了地讓計算機運轉(zhuǎn)下去，最終答案也不會出現(xiàn)。所以，從無窮概念的魔力作用來看，哥德巴赫猜想是向人類高超情智挑戰(zhàn)的數(shù)學內(nèi)增復雜性的一大難題。也許，在代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論之外，可能會以突現(xiàn)出新的數(shù)論奇觀的理論和方法拿下這顆數(shù)學神壇上的明珠。

再舉兩個能說明數(shù)學內(nèi)增復雜性的幾何學方面的例子。

首先是一個簡單的例子，在一個直線上的原點只有兩個方向，而在一個平面上的原點卻有無窮多個方向。它表明，以維數(shù)作為自變量，當它僅僅從一維轉(zhuǎn)到二維時，就出現(xiàn)由有限變?yōu)闊o限的陡增的復雜性質(zhì)變。這個一目了然的簡單例子，會促使人們對高維幾何學的遐想和猜測。因此，這個例子是平凡的也是非凡的。第二個例子要更為復雜些。一個直線可按僅有的一種方法閉合（成為一個圓），但一個平面卻能閉合成許多不同類型的曲面。譬如，通過球極平面射影閉合為一個球面，通過使一個正方形各對邊的粘合閉合成一個環(huán)面等。當從二維轉(zhuǎn)到三維時，將出現(xiàn)某些新現(xiàn)象，此時，一般說來各種有意義的問題變得更困難了。如在二維的情況下，可描述所有可能使平面閉合的方法，但在三維的情況下，這個問題還未被解決［4］。

（三）天成的藝術性

有人說，數(shù)學是心靈的自然科學。但筆者認為，數(shù)學似應該叫做大科學（包括自然科學、社會科學、人文科學、思維科學等）的量域藝術。人們運用在社會生產(chǎn)、生活以及大科學等實踐中不斷發(fā)達的情智和邏輯演算能力去反映、研究和把握客觀世界的數(shù)學真理。數(shù)學真理不是為表現(xiàn)人們心靈的智慧而存在，它激發(fā)心靈智慧，并讓心靈智慧和客觀的數(shù)學真理漸近一致。我們?yōu)閿?shù)學家在數(shù)學領域驚人的創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)而歡欣若狂，這只能證明人的心靈智慧具有認識包括數(shù)學真理在內(nèi)的客觀規(guī)律的能動性、創(chuàng)造性和獲真性。當然，人們反映客觀事物及其規(guī)律性的過程和形式是多種多樣的，主觀與客觀之間并非只有直接對應的單一形式，譬如說，虛數(shù)單位，在它被人們發(fā)現(xiàn)之初（即當考察方程x2＋1＝0時，由于沒有實數(shù)能滿足這個方程而導入它），其實在性與實用性大受懷疑。后來，人們把能夠按一定規(guī)則進行加減乘除、乘冪與開方運算的平面自由向量系理解為復數(shù)集合，從而建立了復數(shù)與平面上點之間的完全對應關系。到此時，通過復數(shù)的應用，人們已看到了虛數(shù)的價值。要想較為全面的分析虛數(shù)的價值，大致應從三個方面來考察。首先是虛數(shù)的哲學價值，它表示了數(shù)學概念與客觀實在的多樣對應關系；其次是虛數(shù)的科學價值，它通過復數(shù)而獲得廣泛的重要的應用；再次是虛數(shù)的藝術價值。虛數(shù)還有藝術價值嗎？人們會用詫異的眼神向這一提法發(fā)問。筆者試用一個例子，把虛數(shù)魔術般的作用，即它帶有魔術意味的藝術價值展現(xiàn)出來。

圖1 巧妙的虛數(shù)例證

虛數(shù)的藝術價值由天成的藝術性與人為的藝術性兩部分組合。譬如說，人們發(fā)現(xiàn)了金礦，不能說金礦是人為制造的。但工匠制作精美的金飾品（金手鐲、金戒指等）則既包含金的天然價值，也包含金飾品的人工價值。虛數(shù)的天成藝術是由本身固有的奇異性和它與實數(shù)的關聯(lián)所決定。在復數(shù)計算時，其實數(shù)部和虛數(shù)部是分別計算的。但i2＝－1，卻把實數(shù)與虛數(shù)聯(lián)系起來。上述圖1表示的例子，將虛數(shù)有別于實數(shù)的奇異性及它與實數(shù)的關聯(lián)性，都在運算中顯示出來。負數(shù)不能作為任何實數(shù)的平方數(shù)，這本來就限制了開平方的運算，但這虛數(shù)的出現(xiàn)卻偏要使負數(shù)成為它的平方數(shù)，從而沖破了開平方的運算限止，讓人們大吃一驚。于是這就成為虛數(shù)的奇異性。但同時它又包含了虛數(shù)與實數(shù)的關聯(lián)即i2＝－1。我感興趣的是虛數(shù)固有的由它的奇異性和它與實數(shù)的關聯(lián)所共同產(chǎn)生的天成的魔術般的藝術性。圖1作為人為設定的例子，其所說明的M點坐標為虛單位i且與a、b無關的巧妙性質(zhì)，顯然包含關于虛數(shù)的人為藝術性。筆者認為，對此應給予更深入的研究，此處無非是拋磚引玉而已。

圖2 非剛體變換的八面體群對稱性的“多面體嵌入”

數(shù)學中的對稱也有天成的藝術性與人為的藝術性之分。對于人類來說，千姿萬態(tài)的雪花可能是最直接感知的具有素潔和對稱性美的天成藝術品。其正六角形結(jié)構(gòu)形式，讓人們世世代代賞心悅目。當把積雪堆制成雪藝術品時，其隨人所欲的對稱性將是一種人為對稱性藝術美。然而，這里的人為對稱藝術性，就其結(jié)構(gòu)原型來看，仍然屬于數(shù)學中天成的對稱藝術性。下面舉一個較為復雜的對稱性例子。筆者將它視做數(shù)學中具有人為藝術性的結(jié)構(gòu)。如圖2所示，是一個具有非剛體變換的八面體群對稱性的“多面體嵌入”。

它被用作筆者所著《“對稱—整合”思維模式》一書的封面圖案，它是一種隱對稱性。它由288個四邊形、144個頂點組成，在每個項點有8個四邊形相連。它既具有精巧的較為復雜的對稱性，又具有包絡的“嵌入整合”的性質(zhì)，概括形象地表達了該書的主題——“對稱—整合”的含義［5］1。筆者之所以把圖2所表達的對稱性視作人為的對稱藝術性，是因為它在現(xiàn)實中沒有對應物。該對稱性不像雪花的正六角形對稱結(jié)構(gòu)那樣具有自然物本身天成的對稱藝術性。

從事群論（直觀地表達對稱性的數(shù)學工具）研究的數(shù)學家們曾完成有限單群分類及其證明的工作。據(jù)資料記載，從20世紀40年代末到80年代初，有100多位數(shù)學家花費了30多年的時間，寫出數(shù)學史上罕見的長達15 000多頁的浩繁篇幅，才完成此項研究工作［5］136。在有限單群分類中有26個不規(guī)則的散在群，其中Fischer-Griess大魔群（約有8.08×1053個群元素，是最大的散在群）是人們已知的世界上最優(yōu)美、最豐富的對稱性。但是，它怎樣以其尚且未知的奇異方式筑入到宇宙的真實結(jié)構(gòu)中［5］4，那似乎還是遙不可及的事情，所有對群論及其應用感興趣的人們將對此翹首以盼。筆者認為，大魔群是群論研究的一個產(chǎn)物，與圖2中的對稱性只是人為構(gòu)造的不一樣，不過，它是否有客觀對應物尚不得而知。所以，大魔群究竟是具有天成對稱藝術性還是具有人為對稱藝術性，應該是一個有待今后群論研究結(jié)果來確證的未知問題。

數(shù)學家及數(shù)學愛好者都喜歡數(shù)學公式的簡潔性。簡潔性是科學美的一個重要表現(xiàn)形式。《The mathematical intelligencer》雜志在1988年第3期上發(fā)表了一組24個數(shù)學公式和定理，請讀者給這些公式或定理從0到10打分，對它們的數(shù)學美進行比較［6］，參加討論的人對所列24個公式和定理是否是美的、數(shù)學美的標準及他們的審美觀等都不同。筆者認為，對科學數(shù)學美的審視標準至少應有以下幾點：理論價值和意義，應用貢獻的廣度和深度，創(chuàng)新性和簡潔性。后來，在該雜志1990年第3期上公布了68個評分者的平均值，并以多少排了序［7］。因篇幅所限，這里只列出前三名（第二、三名各有兩個并列）：

（歐拉公式：eiφ＝cosφ＋i sinφ，當φ＝π時，有eiπ＝－1）

［多面體的歐拉公式，對于任意多面體（即各面都是平面多邊形，并且沒有洞的立體），假設F、E和V分別表示面、棱（或邊）、角（或頂）的個數(shù)，則有V＋F＝E＋2］

（四）奇難的懸疑性

縱觀數(shù)學發(fā)展的歷史，曾出現(xiàn)過許多奇難的懸疑問題。最早有所謂初等幾何作圖不能的三大問題，即立方倍積、三等分任何一角及改圓為方。直到距第一次提出這三個問題2 000多年后的19世紀才證明，用無度尺和圓規(guī)做工具是不可能解這三個問題的。這個結(jié)論有賴于伽羅華群代數(shù)方程求解的準則及π是超越數(shù)的證明等數(shù)學研究成果。

20世紀伊始，希爾伯特（D.Hilbert 1862～1943年）提出曾引起眾多數(shù)學家為之奮力求解的23個數(shù)學問題一覽表（即1900年的希爾伯特一覽表〈Hilberts list of 1900〉）。后來，其中有幾個問題已獲解決或部分解決。如連續(xù)統(tǒng)假設、兩點間以直線為距離最短線問題、拓樸學成為李群的條件（拓樸群）等問題［8］。

在20世紀末，菲爾茲獎獲得者Steve Smale發(fā)表了包括18個數(shù)學問題的《下一世紀的數(shù)學問題》一文。在這18個問題中，有黎曼假設、龐加萊猜想、P＝NP？二維球上點的分布等數(shù)學問題［9］。

我們知道，提出已逾百年的拓樸學上最重要問題之一的龐加萊猜想已被攻克。在眾多數(shù)學家對這一問題研究成果積累的基礎上，中山大學的我國數(shù)學家朱熹平和美國里海大學的曹懷東于2006年6月在《亞洲數(shù)學期刊》發(fā)表了他們的完整證明。

在這里，筆者只想對另一個研究歷史長達350年左右的費爾馬大定理（Fermat′s Last Theorem亦譯為“費爾馬最后定理”）問題的解決談一點粗淺的感受。費爾馬大定理可表為：不存在整數(shù)x、y、z和n，其中n＞2，xyz≠0，使得xn＋yn＝zn。

英國數(shù)學家維爾斯（A.Wiles）在經(jīng)歷了對費爾馬大定理有所錯誤的研究之后，終于在1994年10月以無可否認的新的證明解決了費爾馬大定理這一奇難的懸疑問題。他以《模橢圓曲線與費爾馬最后定理》（Modular elliptic and Fermat’s Last Theorem）為題，與同一位學生合寫的題為《某些赫克代數(shù)的環(huán)理論性質(zhì)》（Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras）兩篇文章同時發(fā)表在美國《數(shù)學年刊》1995年第3期上。該期只發(fā)表了這兩篇文章，共127頁（第一篇108頁，第二篇19頁）。第二篇文章旨在提供由考慮存在完全交叉的某些最小赫克代數(shù)所確證的，維爾斯曾用到的一個假設的關鍵部分［10］。維爾斯此次在《數(shù)學年刊》上發(fā)表的文章，毫無疑問將載入數(shù)學發(fā)展史冊。維爾斯開始曾試圖利用谷山—志村（Taniyama-Shimura）猜想（這一猜想說的是：所有橢圓曲線均是模曲線）來證明費爾馬大定理。但這一嘗試在接近結(jié)束之時遭到挫折。為了完成證明，維爾斯又試圖構(gòu)造一個歐拉系統(tǒng)，但是這看起來最合乎邏輯的處理方法，用它來解決問題卻是非常困難。后來他繞過歐拉系統(tǒng)及構(gòu)造所用的棘手方法，而在新的結(jié)尾采用了從前他曾放棄過的赫克代數(shù)方法。這是一個精巧而漂亮的方法［11］。

有人把費爾馬大定理比喻為一個長長的艱險的洞穴通道，它終止于無法看見的死巷。探討它的證明，就如同在這個洞穴內(nèi)的攀行運動。但維爾斯對費爾馬大定理的證明，卻像打開了一個全新的拜占廷式的臥室、回廊和迷宮似的通道，經(jīng)過其中一個細細的縫隙返回到原先死巷的入口［12］。筆者覺得，這是一個令人玩味無窮的比喻。它大致描繪了維爾斯在證明費爾馬大定理過程中的創(chuàng)造性思考。筆者認為它給人們以一種新的方法論。筆者稱其為是繞行尋路方法、暫離邏輯方法和累積聚成方法的有機結(jié)合。繞行尋路的方法是指繞過不能直接克服的困難而繼續(xù)前行尋路的方法；暫離邏輯的方法是指維爾斯沒有僵硬的迷戀合邏輯性；累積聚成的方法則是指維爾斯不是完全獨出心裁，他是在前人研究費爾馬大定理所獲成果基礎上獨辟蹊徑。

除了龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、費爾馬大定理這類數(shù)學史上著名的奇難的懸疑問題，還有一些始終使數(shù)學家們?yōu)橹畠A倒的既熟悉又奇特的問題，如數(shù)學分析中的無窮小概念。我們知道，通常的經(jīng)典數(shù)學分析叫做標準分析。上世紀60年代美國數(shù)理邏輯學家羅賓遜（A.Robinson，1918～1974年）提出并建立了非標準分析的數(shù)學理論。他認為，無窮小既然不是一個數(shù)，那么可否把實數(shù)系R擴大成新的數(shù)系R＊，即擴大到非標準域（超實數(shù)集合）。在非標準分析中，變量不僅可取R中的數(shù)，而且還可推廣到無窮小量和無窮大量。根據(jù)非標準分析理論，實數(shù)軸上的點是內(nèi)部有結(jié)構(gòu)的點。非標準分析可將一些定理的證明簡化。但是要想真正把非標準分析理解透，也并非易事。同時，由于非標準分析的數(shù)理邏輯方法很繁瑣，且與標準分析等價，因此人們對它也多有微詞。

在20世紀末，一位叫做J.M.Henle的數(shù)學家在《The Mathematical Intelligencer》上發(fā)表了一篇題為《非—非標準分析：實無窮小》一文。文中Henle的觀點是這樣的：設a為一序列，如果對于所有正實數(shù)d，｜a｜＜d，則序列a就是無窮小的。對于無窮小的a，我們寫成a≈0。如果對于某些實數(shù)r，｜a｜＜r，我們則說a是有限的或有界的。如果a≠0，且a≈0，則序列a是無窮小。這里，用a表示一個序列｛an｝，n∈N。

我們巧妙地處理實數(shù)序列，大多數(shù)情況下把它做為數(shù)來處理，可以使它們相加減，并把它們放在函數(shù)之中，但它們不是數(shù)［13］。

Henle的“非—非標準分析”的數(shù)學價值如何，應由數(shù)學家及廣大數(shù)學工作者通過數(shù)學實踐來查驗。筆者只是從數(shù)學文化的角度，認為“非—非標準分析”的提出有助于加深對無窮小概念的進一步探討，它至少豐富了人們關于“無窮小”思維的內(nèi)涵。

在物理學中，有所謂“上帝不會擲骰子”、“上帝把骰子丟到人們看不到的地方”等說法。實際上，在數(shù)學中確實存在著內(nèi)隨機性。例如一個特殊的丟番圖方程KX2＝2K2Y。當K＝1時，有X2＝2Y；K＝2時，有2X2＝8Y；K＝3，有3X2＝18Y；K＝4，有4X2＝32Y……丟番圖方程KX2＝2K2Y有整數(shù)解（X≠Y）的K值的變化是不可預測的。這就是丟番圖方程的內(nèi)在隨機性。

在計算機科學中，有一個不可判定的停機問題，即試圖設計一臺圖靈機來判定一個圖靈機對任意輸入是否最終運行停止是不可能的。停機問題的不可判定性相當于停機概率在算法上是隨機的結(jié)果。

哥德爾（Kurt G?del）的第一、第二不完全性定理分別指出數(shù)學中內(nèi)在的不完全性和不可證明性，筆者認為，內(nèi)在隨機性也可叫做既約不確定性，它是事物本身所固有的。例如，模糊數(shù)學中的類屬關系的不確定性；混沌動力學中，迭代方程的迭代結(jié)果分布關系的不確定性；超越數(shù)π≈3.141 592 6……，其小數(shù)點后任意位置與它上面數(shù)字之間對應關系的不確定性；多向轉(zhuǎn)化的臨界區(qū)域、多邊共存的結(jié)合部位、多層次交叉的纏繞范圍、多尺度耦合的性態(tài)行為等所表明的動向關系的不確定性，都蘊含著深刻的數(shù)學的內(nèi)在隨機性。數(shù)學的內(nèi)在隨機性是數(shù)學的一大奇觀，它令人要么忘而卻步，或徘徊不決，要么窮追不放。這里面的奇難懸疑性，只有那些具有堅韌不拔的意志、非凡過人的情智并能鍥而不舍實踐的數(shù)學工作者及愛好者，才能探得一些真諦。

此外，筆者在《“對稱—整合”思維模式》一書中，曾試圖用對稱破缺“三分態(tài)”對羅素悖論加以解釋［6］189－192。筆者還想通過把抽象推論與具體實在相結(jié)合的方式去消除向選擇公理挑戰(zhàn)的“分球怪論”的贗悖論，即把關于無窮集的一個定理——一個集是無窮集的充要條件是它能和自己的某一個真子集對等——與兩個實體之間的全同區(qū)別開來。因篇幅所限，這里不詳述。

數(shù)學的文化奇觀數(shù)不勝數(shù)，本文所列無非一孔之見，且筆者水平低下，闡解之中舛誤難免，特懇請讀者指錯糾偏，不吝賜教。

［1］ 徐利治，鄭毓信.略論數(shù)學真理及真理性程度——兼評懷特海的《數(shù)學與善》［M］//鄧東皋，孫小禮，張祖貴.數(shù)學與文化.北京：北京大學出版社，1999：20- 22.

［2］ KLINE M.古今數(shù)學思想［M］.上海：上海科學技術出版社，1981（4）：257.

［3］ HINDRY M.1990年的Fields獎章——今年在京都頒布的四項Fields獎，顯示了數(shù)學基礎的統(tǒng)一和持久性［J］.數(shù)學譯林，1991（3）：243-246.

［4］ ATIYAH M F.Tends in pure mathematics［M］//《Micheal atiyah collected works》Vol.1.265-266.

［5］ 周守仁.“對稱—整合”思維模式［M］.成都：四川教育出版社，1993.

［6］ WELLS D.Beauty in mathematics［J］.The mathematical intelligencer，1988（4）：31.

［7］ WELLS D.Are these the most beautiful？［J］.The mathematical intelligencer，1990（3）：37.

［8］ 張光遠.近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展概論［M］.重慶：重慶出版社，1991：92-96.

［9］ SMALE S.Mathematical problems for the next century［J］.The mathematical intelligencer，1998（2）：7-15.

［10］ TALOR R，WILES A.Ring-theoretic properties of certain hecke algebras［J］.Annals of mathematics，1995（3）：553.

［11］ LEUTWYLER K.再次巧勝費馬［J］.Scientific american（中文版），1995（6）：71-72.

［12］ BROWN P G.No margin would contain it［J］.The sciences，1993（5）：7-9.

［13］ HENLE J M.Non-nonstandard analysis：real infinitesimals［J］.The mathematical intelligencer，1999（1）：67-73.

On Cultural Wonder of Mathematics——Discussing Culture and Scientific Culture

ZHOU Shouren

（Sichuan Academy of Social Science，Chengdu Sichuan 610041，China）

A broad definition of culture mainly includes the summation theory and the vagueness theory.The summation theory can be expanded into the super-generalization theory and the vagueness theory can be transformed into the autopoiesis theory.The two theories combined are called the cultural theory of super-generalization and autopoiesis.Scientific culture refers to science itself and the mixtures of science and other cultures.Mathematical culture shows the lawfulness of philosophy and artistry in quantitative relation，spatial form，information symbols，energy motion and physical structure of nature，human society and thought.Cultural wonder of mathematics is characterized by unity，complexity，artistry and suspense.

cultural wonder of mathematics；unity；complexity；artistry；suspense

B804

A

1673－0453（2012）01－0011－08

2011-10-10

周守仁（1934－），男，吉林長春人，四川省社會科學院研究員，中國自然辯證法研究會全國理事，四川省自然辯證法研究會副理事長，成都市自然辯證法研究會名譽理事長，主要從事自然辯證法研究。

吳 言）